2022-2023学年湖北省黄冈市浠水县方铺中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省黄冈市浠水县方铺中学九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    一元二次方程的根是(    )

A.  B.
C. ， D. ，

2.    若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D. 或

3.    已知、、为常数，点在第二象限，则关于的方程根的情况是(    )

A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断

4.    某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．主干，支干和小分支的总数是，则每个支干长出多少个小分支？设每个支干长出个小分支，所列方程是(    )

A.  B.
C.  D.

5.    已知二次函数的对称轴为，点，在此函数的图象上，则有(    )

A.  B.  C.  D.

6.    将抛物线，向上平移个单位长度，再左平移个单位长度，所得新抛物线的函数表达式为(    )

A.  B.
C.  D.

7.    如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴只有一个交点，与平行于轴的直线交于点、，若，则点到直线的距离为(    )

A.
B.
C.
D.

8.    已知二次函数是常数，且的自变量与函数值的部分对应值如表：

当时，与其对应的函数值，给出下列四个结论：关于的方程的两个根是和；；为任意实数其中正确结论是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.   已知一元二次方程，则它的二次项系数为______，一次项为______，常数项为______．
10. 若是关于的一元二次方程，则的值是______．
11. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______．
12. 若，是方程的两根，则的值______．
13. 将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，那么所得的抛物线的表达式为______．
14. 有一个抛物线形拱桥，其最大高度为，跨度为，现把它的示意图放在平面直角坐标系中如图，求抛物线的解析式是______．

15. 二次函数的图象如图所示．当时，自变量的取值范围是______．

16. 如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在，之间包含端点，有下列结论：；；；当时，；其中正确的序号是______．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    解方程：
    ；
    ．
18. 本小题分
    已知关于的一元二次方程，
    求证：方程总有两个实数根；
    若方程有一根为，求实数的值及另外一个根．
19. 本小题分
    关于的一元二次方程有两个实数根和．
    求实数的取值范围；
    当时，求的值．
20. 本小题分
    如图，点，在函数的图象上，已知点、的横坐标分别为，，直线与轴交于点，连接、．
    求直线的函数解析式；
    求的面积．

21. 本小题分
    已知：二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．
    求抛物线的解析式；
    若有一直线：经过点、，直接写出不等式的解集；
    若抛物线上有一动点，使三角形的面积为，请直接写出点的坐标．

22. 本小题分
    端午节前夕，某超市从厂家分两次购进、两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进品牌粽子袋和品牌粽子袋，总费用为元；第二次购进品牌粽子袋和品牌粽子袋，总费用为元．
    求、两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
    当品牌粽子销售价为每袋元时，每天可售出袋，为了促销，该超市决定对品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低元，则每天的销售量将增加袋．当品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？
23. 本小题分
    如图所示，中，，，点从点开始沿边向以速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．
    如果，分别从，同时出发，那么几秒后，的长度等于？
    如果，分别从，同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
    若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，经过几秒后，的面积为？

24. 本小题分
    已知：如图，抛物线经过原点和点，为抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，并与直线交于点．
    求抛物线的解析式；
    当点在直线上方时，求线段的最大值；
    过点作轴于点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
或，
所以，．
故选：．
先移项得到，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想．
 

2.【答案】 

【解析】解：方程为一元二次方程，
，
．
将代入，得：，
解得，不合题意，舍去．
故选：．
根据一元二次方程的定义可得出，进而可得出，将代入原方程可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，代入求出的值是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
先利用第二象限点的坐标特征得到，则判断，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】

解：点在第二象限，
，，
，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选B．

4.【答案】 

【解析】解：依题意得：，
故选：．
根据主干、支干、小分支的总数为，即可得出关于的一元二次方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：二次函数的对称轴为，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
点，在此函数的图象上，，，，
，
故选：．
根据题目中二次函数的对称轴、二次函数的性质，可以判断出、、大小关系，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的性质，以及二次函数图象上点的坐标特征．
 

6.【答案】 

【解析】解：由“上加下减，左加右减”的原则可知，将抛物线，向上平移个单位长度，再左平移个单位长度，所得新抛物线的函数表达式为，即．
故选：．
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：函数顶点坐标为，
设：点到直线的距离为，
则：，解得：，
即：，，
，
，
解得：，
即点到直线的距离为．
故选：．
函数顶点坐标为，设：点到直线的距离为，则：，求出、坐标即可求解．
本题考查了抛物线与轴的交点、抛物线上点的坐标特征、坐标与图形性质；求出抛物线的对称轴是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：抛物线对称轴为，
和关于对称轴对称，
，
关于的方程的两个根是和，
故正确；
抛物线对称轴为，，
，
当时，与其对应的函数值，
，
，
当时，，
，
故错误；
抛物线对称轴为，图象开口向上，
，
，
故正确．
故选：．
根据题意先求出函数的对称轴，再根据函数的性质逐项判断即可．
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出对称轴是解题的关键．
 

9.【答案】     

【解析】解：一元二次方程化成一般式为，
二次项系数，一次项，常数项分别为，，，
故答案是：，，．
根据一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案．
本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：是常数且在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
 

10.【答案】 

【解析】解：是关于的一元二次方程，
，
解得．
故答案为：．
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．
此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得，
即的值为．
故答案为：
根据根的判别式的意义得到，然后解方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

12.【答案】 

【解析】解：，是方程的两根，
，，
．
故答案为：．
利用根与系数的关系，可得出，，再将其代入中，即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线向左平移个单位所得抛物线的解析式为：，即；
由上加下减的原则可知，将抛物线向下平移个单位所得到的抛物线的表达式为，即，
故答案为：．
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：设解析式是：，
根据题意得：，
解得．
函数关系式，
即．
故答案为：．
根据图象得到：顶点坐标是，因而可以利用顶点式求解析式．
利用待定系数法求二次函数解析式，如果已知三点坐标可以利用一般式求解；若已知对称轴或顶点坐标利用顶点式求解比较简单．
 

15.【答案】 

【解析】解：由图象可得出：二次函数对称轴为：直线，故图象与轴的另一个交点为；，
故当时，自变量的取值范围是：．
故答案为：．
利用二次函数的性质得出其图象与轴交点，进而得出自变量的取值范围．
此题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，利用数形结合得出是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：由图象知抛物线的开口向下，
，
说法错误，
抛物线得对称轴为直线，
，
，
，
说法正确，
取，则，由图象得，
说法错误，
设抛物线与轴的另一个交点为，
则，
解得，
当时，，
说法正确，
若抛物线经过，则，
把代入抛物线的解析式，得，
，
解得，
，
当时，，
若抛物线经过，则，
，
解得，
，
当时，，
，
说法正确，
正确的有，
故答案为：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
 

17.【答案】解：，
，
，
，
，
所以，；
，
或，
所以，． 

【解析】利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
 

18.【答案】证明：，，，
，
方程总有两个实数根；
解：将代入原方程得，
解得：，
原方程为，
即，
解得：，，
方程的另外一个根为． 

【解析】根据方程的系数结合根的判别式，即可求出，进而可证出方程总有两个实数根；
将代入原方程可求出的值，将值代入原方程，利用因式分解法解之即可得出方程的另外一个根．
本题考查了根的判别式、一元二次方程的解以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个实数根”；代入，求出的值．
 

19.【答案】解：，
关于的一元二次方程有两个实数根和，
，
解得：，
即实数的取值范围是；

，
由根与系数的关系得：，，
，
，
解得：． 

【解析】根据根的判别式得出，再求出答案即可；
根据根与系数的关系得出，，根据得出，再求出方程的解即可．
本题考查了根与系数的关系和根的判别式，能熟记根与系数的关系和根的判别式的内容是解此题的关键，已知一元二次方程、、为常数，的两根为，，则，，已知一元二次方程、、为常数，，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
 

20.【答案】解：点，在函数的图象上，、的横坐标分别为、，
，，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为；
在中，令，则，
的坐标为，
，
． 

【解析】由抛物线的解析式求得、的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式；
由直线的解析式求得的坐标，然后根据，利用三角形面积公式即可求得．
本题考查了二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，二次函数图象上的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

21.【答案】解：设抛物线的解析式为：，
把代入得，
解得，
抛物线的解析式为：，
即；
由函数图象可知，当抛物线不在直线上方时，或，

的解集为或；
设，
三角形的面积为，
，
解得或或或，
或或或． 

【解析】用待定系数法解答便可；
根据函数图象，抛物线不在直线下方时的自变量的取值范围便是不等式的解析；
设，根据三角形的面积公式列出方程解答便可．
本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，函数图象与不等式的关系，三角形的面积，关键是掌握二次函数的图象与性质．
 

22.【答案】解：种品牌粽子每袋的进价是元，种品牌粽子每袋的进价是元，
根据题意得，，
解得，
答：种品牌粽子每袋的进价是元，种品牌粽子每袋的进价是元；
设品牌粽子每袋的销售价降低元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大，利润为元，
根据题意得，，
，
当品牌粽子每袋的销售价降低元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是元． 

【解析】种品牌粽子每袋的进价是元，种品牌粽子每袋的进价是元，根据两次进货情况，可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
根据：利润每台实际售价每台进价销售量，列函数关系式，配方成二次函数的顶点式可得函数的最大值；
本题主要考查二元一次方程组及二次函数的实际应用，理解题意准确抓住相等关系，据此列出方程或函数关系式是解题的关键．
 

23.【答案】解：由题意得：，，
则，
在中，，
当时，，
整理得，，
解得，，，
则当或时，的长度等于；
线段不能将分成面积相等的两部分，
理由如下：设经过秒，线段能将分成面积相等的两部分，
依题意得，，
整理得，，
，
此方程无实数根，
线段不能将分成面积相等的两部分；
设经过秒后，的面积为，
点在线段上，点在射线上，，
整理得，，
解得，，
或时，的面积为；
点在射线上，点在射线上，，
整理得，
解得，，，
当时，不合题意，
综上所述，经过秒或秒或秒后，的面积为． 

【解析】根据勾股定理列出方程，解一元二次方程得到答案；
根据三角形的面积公式列出方程，解方程得到答案；
分点在线段上，点在射线上、点在射线上，点在射线上两种情况，根据三角形的面积公式列出方程，解一元二次方程得到答案．
本题考查的是三角形的面积计算、勾股定理的应用、一元二次方程的解法，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
 

24.【答案】解：把和点代入得到
，解得，
抛物线的解析式为．
解：，，
，轴，在上，在上，，
，
，
，开口向下，
有最大值，
当时，，
答：当点在直线的上方时，线段的最大值是．
由可知，，当点在直线的上方时，线段的最大值是．
点在直线的下方，
过点作交抛物线于和，此时四边形和四边形是平行四边形，

直线的解析式为，
直线的解析式为，
由，解得或，
的值为． 

【解析】本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的判定和性质，二次函数的最值等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建一次函数，利用方程组确定两个函数的交点坐标，属于中考压轴题．
利用待定系数法即可解决问题；
设，可得，利用二次函数的性质即可解决问题；
由可知，由，当点在直线的上方时，线段的最大值是推出点在直线的下方，过点作交抛物线于和，此时四边形和四边形是平行四边形，求出直线的解析式，利用方程组即可解决问题；