2022-2023学年浙江省杭州市观成教育集团九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省杭州市观成教育集团九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列事件中，属于必然事件的是(    )

A. 射击运动员射击一次，命中环 B. 在一个只装有白球的袋中摸出红球
C. 是实数， D. 一个三角形的三个内角的和大于

2.    如图，点，，在上，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

3.    从拼音“”中随机抽取一个字母，抽中字母的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

4.    把二次函数的图象向左平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后的图象对应的二次函数的关系式为(    )

A.  B.
C.  D.

5.    已知，则下列比例式错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.    如图，在中，点，分别在，上，，如果，，那么：(    )

A.
B.
C.
D.

7.    如图，正八边形中，大小为(    )

A.
B.
C.
D.

8.    如图，方格纸中个小正方形的边长均为，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为(    )

A.
B.
C.
D.

9.    在矩形中，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，长为半径画弧，交于点，若，，则(    )

A.
B.
C.
D.

10. 点，在抛物线上，若对于，，都有，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 四条线段、、、成比例，满足，其中，，，则______
12. 二次函数的对称轴是直线______，最值为______．
13. 小观在数学节中参与知识抢答活动，现有几何题个，概率题个，代数题个，她从中随机抽取个，抽中代数或几何题的概率是______．
14. 我国古代数学经典著作九章算术中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺尺寸问这根圆形木材的直径是______寸．
15. 如图，在水平地面点处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为，小武在直线上点靠点一侧竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶，已知米，米，网球飞行最大高度米，圆柱形桶的直径为米，高为米网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计．
    当竖直摆放个圆柱形桶时，网球______填“能”或“不能”落入桶内．
    当竖直摆放圆柱形桶至少______个时，网球能落入桶内．

16. 如图，为的内接等边三角形，，点为上一动点，于，当点由点沿运动到点时，线段的最小值是______．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    一个不透明的口袋中有个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数，，，摇匀后先从中任意摸出个球不放回，再从余下的个球中任意摸出个球．
    用列表或画树状图的方法表示两次摸球的情况；
    求乒乓球球面上的数之和是正数的概率．
18. 本小题分
    如图，延长弦、弦，交于圆外一点，连接、．
    证明：∽；
    若，，，求．

19. 本小题分
    如图，运动员小成推铅球，铅球在点处出手，出手时球离地面约即铅球落地点在处，铅球运行中在运动员前处即达到最高点，最高点高为即已知铅球经过的路线是抛物线．
    求该抛物线的函数解析式；
    请算出小成的成绩为多少米即长．

20. 本小题分
    如图，四边形内接于，，．
    证明：；
    若，求的半径长．

21. 本小题分
    如图，是的中点，，．
    求的度数；
    求线段的长度．

22. 本小题分
    在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，其中．
    求抛物线的对称轴用含的式子表示；
    当时，求的值；
    若，求的值用含的式子表示．
    若，且，试比较和的大小．
23. 本小题分
    在中，半径为．
    如图一，若为上一个点不与、重合，且的度数为，
    求的度数；
    若为弦的中点，为弦的中点，求线段的长度．
    如图二，若的度数为，的度数为，的度数为，点为弦的中点，点为弦的中点，求线段的长度．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、射击运动员射击一次，命中环，是随机事件，故A不符合题意；
B、在一个只装有白球的袋中摸出红球，是不可能事件，故B不符合题意；
C、为实数，，是必然事件，故C符合题意；
D、一个三角形的三个内角的和大于，是不可能事件，故D不符合题意；
故选：．
根据绝对值的非负性，随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了绝对值，绝对值的非负性，随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
先根据垂直的定义得到，然后根据圆周角定理得到的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

3.【答案】 

【解析】解：单词“”，共有个字母，字母有个，
抽中字母的概率为，
故选：．
“”中共有个字母，字母有个，根据概率公式可得答案．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

4.【答案】 

【解析】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，的图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到：．
故选：．
利用“左加右减，上加下减”的规律求得即可．
考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为，所以，
故A选项正确，不符合题意；
B.因为，所以，
故B选项正确，不符合题意；
C.因为，所以，
故C选项正确，不符合题意；
D.因为，所以，
故D选项错误，符合题意，
故选：．
利用比例的基本性质，把每一个选项的比例式化成等积式即可判断．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
∽．
．
，，
．
．
故选：．
先判断∽，再利用相似三角形的性质得结论．
本题考查了相似三角形的性质和判定，掌握“两角对应相等的两个三角形相似“、“相似三角形的对应边的比等于相似比”是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了正多边形的性质、正方形的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．连接、、，易知四边形为正方形，根据正方形的性质即可求解．
【解答】
解：连接、、，如图所示：

则四边形为正方形，
，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：由图可知，，，
正方形的边长均为，
阴影部分的面积
故选：．
根据直角三角形的两锐角互余求出，再根据正方形的对角线平分一组对角求出，然后根据扇形面积公式列式计算即可得解．
本题考查了中心对称，观察图形，根据正方形的性质与直角三角形的性质求出阴影部分的圆心角是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，则，，

为直角三角形，
，
又，
．
故选：．
连接，可得出，由矩形的性质得到，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，由求出的长，由求出的长即可．
此题考查了矩形的性质，以及勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是分类画出图形，根据二次函数性质列不等式．
分两种情况讨论：当时，需满足时的函数值不大于时的函数值，当时，需满足的函数值不小于的函数值，分别列出不等式即可得到答案．
【解答】
解：，
二次函数图象的对称轴是直线；
对于，，都有，分两种情况：
当时，需满足时的函数值不大于时的函数值，如图：

，
解得；
当时，需满足的函数值不小于的函数值，如图：

，
解得，
综上所述，对于，，都有，则或．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：四条线段、、、成比例，满足，
，
代入，，，
得，
解得：．
故答案为：．
把，，的数值代入等式即可求出．
本题考查了比例线段，掌握若四条线段，，，成比例，则有：：是解决问题的关键．
 

12.【答案】  最小值 

【解析】解：二次函数，
该函数的对称轴是直线，当时，取得最小值，
故答案为：，最小值．
将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴，然后根据二次函数的性质，即可得到最值．
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

13.【答案】 

【解析】解：小观在数学节中参与知识抢答活动，现有几何题个，概率题个，代数题个，一共个题，
她从中随机抽取个，抽中代数或几何题的概率是：．
故答案为：．
直接利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意可知，
为半径，
尺寸，
设半径，
，
，
则中，根据勾股定理可得：，
解得：，
木材直径为寸；
故答案为：．
根据题意可得，由垂径定理可得尺寸，设半径，则，在中，根据勾股定理可得：，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径．
本题考查垂径定理结合勾股定理计算半径长度．如果题干中出现弦的垂线或者弦的中点，则可验证是否满足垂径定理；与圆有关的题目中如果求弦长或者求半径直径，也可以从题中寻找是否有垂径定理，然后构造直角三角形，用勾股定理求解．
 

15.【答案】不能   

【解析】解：以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系如图，

，，
设抛物线的解析式为，
抛物线过点，
，
解得，
抛物线解析式为：，
，且，
，，即点的横坐标是，点的横坐标是，
当时，；当时，；
若竖直摆放个圆柱形桶，则桶高为，
，
网球不能落在桶内，
故答案为：不能；
设竖直摆放的圆柱形桶有个时，网球能落入桶内，
则，
解得：，
为整数，
的值为或或，
当竖直摆放圆柱形桶至少个时，网球能落入桶内．
故答案为：．
根据题意顶点、点，利用待定系数法可求出函数解析式；当桶的左侧最高点位于抛物线以下，右侧最高点位于抛物线以上时，球才能落入桶内，据此可分别计算和时的值，与桶高比较可知；
可设桶的个数为，根据中关系列出不等式，即可求出的范围，从而求出的最小值．
本题主要考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的实际应用，求能否落入桶内时高度的比较关系是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，取中点，连接．
，是中点，
，
在以为圆心，为半径的圆上，
当，，共线且在的延长线上时，的值最大，
延长交于，
为的内接等边三角形，
，，
，
，，，

的最大值为．
故答案为：．
在以为圆心，为半径的圆上，由是等边三角形可得，，，，根据勾股定理可得的长即可求的最大值．
本题考查了三角形外接圆和外心，等边三角形的性质，关键是找到的运动轨迹．
 

17.【答案】解：画树状图如下：

画树状图如下：

共有种等可能的结果数，其中两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的结果数为种，
两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率为． 

【解析】画出树状图即可；
画树状图，共有种等可能的结果数，其中两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的结果数为种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

18.【答案】证明：和是所对的圆周角，
，
，
∽．
∽，
，
，，，
，
的长为． 

【解析】先由圆周角定理证明，而是和的公共角，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明∽；
由∽，得，而，，，即可求得．
此题重点考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地找到相似三角形的对应边和对应角并且根据圆周角定理证明是解题的关键．
 

19.【答案】解：由题意可得，
抛物线与轴的交点为点，顶点坐标为点，
设该抛物线的函数解析式为，
则，
解得，
该抛物线的函数解析式为；
令，得：，
解得，不符合题意，舍去，
答：小成的成绩为米． 

【解析】根据题意和题目中的数据，可以写出该抛物线与轴的交点和顶点坐标，然后设抛物线的解析式，再将点的坐标代入计算即可；
将代入中的解析式，求出相应的的值即可．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
 

20.【答案】证明：连接，
，，
，
，
；
解：，
，
，
，
，
故的半径长为． 

【解析】连接，根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可得到结论；
先根据圆内接四边形对角互补得出，由圆周角定理知，根据可得答案．
本题主要考查圆内接四边形的性质，圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
 

21.【答案】解：如图，延长交于，连接，

是的中点，
，
，，
，
，
，
，
；
，，，
，
，
． 

【解析】延长交于，连接，根据圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形外角性质推出；
解直角三角形求出，根据垂径定理即可解决问题．
本题考查垂径定理，勾股定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：，
抛物线对称轴为直线．
将代入得；
令，整理得，
，
，．


，
，
，
，
，
，
，
当时，，．
当时，，．
当时，，． 

【解析】由抛物线对称轴为直线求解．
将代入解析式求解．
将二次函数解析式化为交点式求解．
由，，，分类讨论的值求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
 

23.【答案】解：如图一，作所对的圆周角，
的度数为，
，
，
，
；
连接，如图，
，，
为等腰直角三角形，
，
为弦的中点，为弦的中点，
；
连接、，过点作于，如图二，
的度数为，的度数为，的度数为，
，，，
，，
点为弦的中点，点为弦的中点，
，，
，，
，
，
在中，，
，
在中，，
在中，，
，
，
在中，，
即的长为． 

【解析】如图一，作所对的圆周角，先根据圆心角定理得到，再根据圆周角定理得到，然后利用圆内接四边形的性质得到的度数；
连接，如图，先判断为等腰直角三角形，则，然后根据三角形中位线性质得到的长；
连接、，过点作于，如图二，先公交卡圆心角定理得到，，，再利用垂径定理得到，，接着利用含度角的直角三角形三边的关系计算出、、、，然后利用勾股定理计算的长．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系、三角形中位线性质和垂径定理．