专题22 图形的相似 山东省2023年中考数学一轮复习专题训练

这是一份专题22 图形的相似 山东省2023年中考数学一轮复习专题训练，共40页。试卷主要包含了单选题，填空题，综合题等内容，欢迎下载使用。
专题22 图形的相似 山东省2023年中考数学一轮复习专题训练
一、单选题
1．（2022·东营）如图，点D为△ABC边AB上任一点，DE∥BC交AC于点E，连接BE、CD相交于点F，则下列等式中不成立的是（　　）

A．ADDB=AEEC B．DEBC=DFFC C．DEBC=AEEC D．EFBF=AEAC
2．（2022·东营）如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，点M，N分别是边BC、CD上的动点，∠BAC=∠MAN=60°，连接MN、OM.以下四个结论正确的是（　　）

①△AMN是等边三角形；②MN的最小值是3；③当MN最小时S△CMN=18S菱形ABCD；④当OM⊥BC时，OA2=DN⋅AB.
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
3．（2022·威海）由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为（　　）

A．（43）3 B．（43）7 C．（43）6 D．（34）6
4．（2022·周村模拟）如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是（　　）

A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．2：1
5．（2022·郯城模拟）如图，EF是一个杠杆，可绕支点O自由转动，若动力F动和阻力F阻的施力方向都始终保持竖直向下，当阻力F阻不变时，则杠杆向下运动时F动的大小变化情况是（　　）

A．越来越小 B．不变 C．越来越大 D．无法确定
6．（2022·泰山模拟）如图，在△ABC中，P为AB边上一点．若M为CP的中点，∠PBM=∠ACP，AB=3，AC=2，则BP的长为（　　）

A．1 B．2 C．5 D．3
7．（2022·泰安模拟）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点E，过点C作CG⊥BE，垂足为G，若BC=9，DE=3，EF=2，则线段CG的长为（　　）

A．62 B．923 C．310 D．35
8．（2022·牡丹模拟）如图，在正方形ABCD中，顶点A(-5，0)，C(5，10)，点F是BC的中点，CD与y轴交于点E，AF与BE交于点G，将正方形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点G的坐标为（　　）

A．(4，3) B．(3，4) C．(-4，-3) D．(-3，-4)
9．（2022·龙口模拟）如图，在直角坐标系xOy中，矩形EFGO的两边OE，OG在坐标轴上，以y轴上的某一点P为位似中心，作矩形ABCD，使其与矩形EFGO位似，若点B，F的坐标分别为（4，4），（-2，1），则位似中心P的坐标为（　　）

A．（0，1.5） B．（0，2） C．（0，2.5） D．（0，3）
10．（2022·陵城模拟）如图，正方形ABCD，点E，F分别在边AD，AB上，AF=DE，AF：FB=1：2，DF与CE交于点M，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BC=2BG，连接GM．有如下结论：①CE⊥DF；②AN=24AB；③S△ANF：S四边形CNFB=1：9；④∠ADF=∠GMF．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）

A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④
二、填空题
11．（2022·济宁）如图，点A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD＝13，则AD的长是　 　．

12．（2022·潍坊）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'，若A'B'：AB=2：1，则四边形A'B'C'D'的外接圆的周长为　 　．

13．（2022·东营）如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩形，EH=2EF，AD是△ABC的高．BC=8，AD=6，那么EH的长为　 　．

14．（2022·崂山模拟）如图，在等边ΔABC中，AB=6，BG=12GC，E，F分别为边AB，AC上的点，将ΔAEF沿EF所在直线翻折，点A落在G点，得到三角形ΔEFG，则ΔEFG的面积为　 　．

15．（2022·李沧模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到ΔA'B'C，P为线段A'B'上的动点，以P为圆心、PA'为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径的长为　 　．

16．（2022·临沭模拟）如图，点E、F、G分别在正方形ABCD的边AB、BC、AD上，AF⊥EG．若AB=6，AE=DG=1，则BF=　 　．

17．（2022·泰安模拟）如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，AF⊥DE于点F，已知DF=4EF=4，过C、D、F的⊙O与边AD交于点G，则DG=　 　．

18．（2022·牡丹模拟）如图，已知矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，点P是位似中心，若点B、F的坐标分别为(4，3)、(-2，1)，则点P的坐标为　 　．

19．（2022·章丘模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，AC，BD交于点O，点E为△OAB内的一点，连接AE，BE，CE，OE，若∠BEC＝90°，给出下列四个结论：①∠OEC＝45°；②线段AE的最小值是5﹣1；③△OBE∽△ECO；④2OE+BE＝CE．其中正确的结论有 　 　.（填写所有正确结论的序号）

20．（2022·岚山模拟）如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的边OC在x轴上，边AB与y轴的交点是D，将△AOD沿y轴向右翻折，点A落在E处，连接OE，交BC于点F，已知BF：FC=1：2，△BEF的面积是1．若y=kx(k≠0)的图象经过点E，则k的值是　 　．

三、综合题
21．（2022·济宁）如图，△AOB是等边三角形，过点A作y轴的垂线，垂足为C，点C的坐标为（0，3）．P是直线AB上在第一象限内的一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为D，交AO于点E，连接AD，作DM⊥AD交x轴于点M，交AO于点F，连接BE，BF．

（1）填空：若△AOD是等腰三角形，则点D的坐标为　 　；
（2）当点P在线段AB上运动时（点P不与点A，B重合），设点M的横坐标为m．
①求m值最大时点D的坐标；
②是否存在这样的m值，使BE＝BF？若存在，求出此时的m值；若不存在，请说明理由．
22．（2022·菏泽）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作DG⊥BC于点G，交BA的延长线于点H．

（1）求证：直线HG是⊙O的切线；
（2）若HA=3，cosB=25，求CG的长．
23．（2022·烟台）
（1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．

（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出BDCE的值．
（3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且ABBC＝ADDE＝34．连接BD，CE．
①求BDCE的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
24．（2022·威海）回顾：用数学的思维思考

（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC．
①BD，CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE．
②点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（从①②两题中选择一题加以证明）
（2）猜想：用数学的眼光观察
经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB＝AC，D为边AC上一动点（不与点A，C重合）．对于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，使得BD＝CE．进而提出问题：若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下面的问题：
如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并证明．
（3）探究：用数学的语言表达
如图3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E为边AB上任意一点（不与点A，B重合），F为边AC延长线上一点．判断BF与CE能否相等．若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由．
25．（2022·滨州）如图，已知AC为⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，直线PD经过⊙O上的点B且∠CBD=∠CAB，连接OP交AB于点M．求证：

（1）PD是⊙O的切线；
（2）AM2=OM⋅PM
26．（2022·周村模拟）△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，⊙O是△ABC的外接圆．

（1）如图①，过A作MN∥BC，求证：MN与⊙O相切；
（2）如图②，∠ABC的平分线交半径OA于点E，交⊙O于点D．求⊙O的半径和AE的长．
27．（2022·平阴模拟）在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与点B、C重合），连结AD．

（1）如图1，若∠C＝60°，点D关于直线AB的对称点为点E，连结AE，DE，则∠BDE＝　 　；
（2）如图2，若∠C＝60°，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连结BE．探究CD与BE的数量关系，并证明；
（3）如图3，若ABBC=ADDE＝k，且∠ADE＝∠C．试探究BE、BD、AC之间满足的数量关系，并证明．

答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴ADBD=AEEC，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意；
∴DECB=DFCF=EFBF，DECB=AEAC，故B不符合题意，C符合题意；
∴EFBF=AEAC，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质逐项判断即可。
2．【答案】D
【解析】【解答】解：如图：在菱形ABCD中，AB=BC=AD=CD，AC⊥BD，OA=OC，

∵∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠ACB=∠ADC=60°，△ABC与△ADC为等边三角形，
又∠MAC=∠MAN-∠CAN=60°-∠CAN，
∠DAN=∠DAC-∠CAN=60°-∠CAN，
∴∠MAC=∠DAN，
在△CAM与△DAN中
∠CAM=∠DANAC=AC∠ACM=∠ADN
∴△CAM≌△DAN(ASA)，
∴AM=AN，
即△AMN为等边三角形，
故①符合题意；
∵AC⊥BD，
当MN最小值时，即AM为最小值，当AM⊥BC时，AM值最小，
∵AB=2，BM=12BC=1，
∴AM=AB2-BM2=22-12=3
即MN=3，
故②符合题意；
当MN最小时，点M、N分别为BC、CD中点，
∴MN∥BD，
∴AC⊥MN，
在△CMN中，
CE=CN2-EN2=12-(32)2=12，
∴S△CMN=12×12×3=34，
而菱形ABCD的面积为：2×3=23，
∴18×23=34，
故③符合题意，
当OM⊥BC时，
∠BOC=∠OMC=90°∠OCM=∠BCO
∴△OCM∽△BCO
∴OCBC=CMOC
∴OC2=CM⋅BC
∴OA2=DN⋅AB
故④符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用菱形的性质，等边三角形的判定、三角形全等的判定和性质及三角形相似的判定和性质逐项判断即可。
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°
∴∠AOG＝180°，∠BOH＝180°，
∴A、O、G在同一直线上，B、O、H在同一直线上，
∴与△AOB位似的三角形为△GOH，
设OA=x，
则OB=OAcos30°=23x3=x(233)1，
∴OC=OBcos30°=4x3=x(233)2，
∴OD=OCcos30°=83x9=x(233)3，
…
∴OG=x(233)6，
∴OGOA=(233)6，
∴S△GOHS△AOB=(233)12=(43)6，
∵S△AOB=1，
∴S△GOH=(43)6，
故答案为：C．

【分析】设OA=x，根据位似三角形的性质求出OG=x(233)6，即可得到OGOA=(233)6，再利用相似三角形的性质可得S△GOHS△AOB=(233)12=(43)6，最后求出S△GOH=(43)6即可。
4．【答案】D
【解析】【解答】解：设原来矩形的长为x，宽为y，如图，

∴对折后的矩形的长为y，宽为x2，
∵得到的两个矩形都和原矩形相似，
∴x：y=y：x2，
∴y2=x22，
解得x：y=2：1．
故答案为：D．
【分析】设原来矩形的长为x，宽为y，根据折叠和相似的性质可得x：y=y：x2，再化简可得y2=x22，从而得到x：y=2：1。
5．【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠MOE=∠NOF，∠M=∠ONF，
∴△MOE∽△NOF，
∴MENF=MONO，即ME⋅NO=NF⋅MO，
∵阻力F阻不变，即ME不变，
又∵OM，ON不变，
∴由ME⋅NO=NF⋅MO得，NF不变，即F动的大小不变．
故答案为：B．

【分析】证明△MOE∽△NOF，利用相似三角形的性质可得ME⋅NO=NF⋅MO，由于阻力F阻不变，即ME不变，结合OM，ON不变，可得NF不变，据此判断即可.
6．【答案】C
【解析】【解答】如图所示，取AP中点G，连接MG，

设AG=x，则PG=x，BG=3-x，
∵M为CP的中点，
∴MG∥AC，
∴∠BGM=∠A，
∵∠PBM=∠ACP，
∴△APC∽△GMB，
∴APGM=ACBG，
即2x1=23-x，
解得：x=3±52，
∵AB=3，
∴AP=3-5，
∴BP=5．
故答案为：C．

【分析】取AP中点G，连接MG，设AG=x，则PG=x，BG=3-x，先证明△APC∽△GMB可得APGM=ACBG，将数据代入可得2x1=23-x，求出x的值即可。
7．【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥BC，即DE∥BC，CD∥AB，
∴△DEF∽△CBF，
∴EFBF=DECB，即2BF=39，
∴BF＝6，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵CD∥AB，
∴∠CFB=∠ABF，
∴∠CFB＝∠CBF，
∴CB＝CF＝9，
∵CG⊥BE，
∴FG=BG=12BF=3，
在Rt△BCG中，CG＝BC2-BG2=92-32=62．
故答案为：A．

【分析】先证明△DEF∽△CBF，可得EFBF=DECB，即2BF=39，求出BF的长，再利用中点的性质可得FG=BG=12BF=3，最后利用勾股定理求出CG的长即可。
8．【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=10，∠C=∠ABF=90°，
∵点F是BC的中点，CD与y轴交于点E，
∴CE=BF=5，
∴△ABF≌△BCE（SAS），
∴∠BAF=∠CBE，
∵∠BAF+∠BFA=90°，
∴∠FBG+∠BFG=90°，
∴∠BGF=90°，
∴BE⊥AF，
∵AF=AB2+BF2=102+52=55 ，
∴BG=AB•BFAF=25 ，
过G作GH⊥AB于H，

∴∠BHG=∠AGB=90°，
∵∠HBG=∠ABG，
∴△ABG∽△GBH，
∴BGAB=BHBG ，
∴BG2=BH•AB，
∴BH=(25)210=2
∴HG=BG2+BH2=4，
∴G（3，4），
∵将正方形ABCD绕点O顺时针每次旋转90°，
∴第一次旋转90°后对应的G点的坐标为（4，-3），
第二次旋转90°后对应的G点的坐标为（-3，-4），
第三次旋转90°后对应的G点的坐标为（-4，3），
第四次旋转90°后对应的G点的坐标为（3，4），
…，
∵2022=4×505+2，
∴每4次一个循环，第2022次旋转结束时，相当于正方形ABCD绕点O顺时针旋转2次，
∴第2022次旋转结束时，点G的坐标为（-3，-4）．
故答案为：D．

【分析】先根据前几项的数据与序号的关系可得每4次一个循环，第2022次旋转结束时，相当于正方形ABCD绕点O顺时针旋转2次，再结合2022=4×505+2，可得第2022次旋转结束时，点G的坐标为（-3，-4）。
9．【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD和四边形EFGO均为矩形，点B，F的坐标分别为（4，4）、（-2，1），
∴BC=4，FG=2，点C（0，4），点G（0，1），
∴CG=4-1=3，PC=CG-PG=3-PG，
∵BC//FG，
∴PGPC=FGBC，即PG3-PG=24，
解得PG=1，
∴点P坐标为（0，2），
故答案为：B．
【分析】根据位似图形的性质可得PGPC=FGBC，即PG3-PG=24，求出PG的长，即可得到点P的坐标。
10．【答案】C
【解析】【解答】解：正方形ABCD中，AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，
∵AF=DE，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴∠AFD=∠DEC，
∵∠ADF+∠AFD=90°，
∴∠ADF+∠DEC=90°，
∴∠DME=90°，
∴CE⊥DF，故①符合题意；
设AF=2，则FB=4，AB=CD=AD=6，
∴AC=62，
∵AB∥CD，
∴△AFN∽△CDN，
∴ANCN=AFCD，
∴AN62-AN=26=13，
解得AN=322，
∴ANAB=3226=24，
∴AN=24AB，故②符合题意；
设△ANF的面积为m，
∵AB∥CD，
∴AFCD=FNDN=13，△AFN∽△CDN，
∴△AND的面积为3m，△CDN的面积为9m，
∴△ADC的面积=△ABC的面积=12m，
∴S△ANF：S四边形CNFB=1：11，故③不符合题意；
作GH⊥CE于H，设AF=DE=a，BF=2a，则AB=CD=BC=3a，EC=10a，

由△CMD∽△CDE，可得CM=91010a，
由△GHC∽△CDE，可得CH=91020a，
∴CH=MH=12CM，
∵GH⊥CM，
∴GM=GC，
∴∠GMH=∠GCH，
∵∠FMG+∠GMH=90°，∠DCE+∠GCM=90°，
∴∠FMG=∠DCE，
∵∠ADF=∠DCE，
∴∠ADF=∠GMF，故④符合题意；
故答案为：C．

【分析】根据正方形的性质、相似三角形的判定和性质逐项判断即可。
11．【答案】22a
【解析】【解答】解：如图，连接AB，设AD、BC交于点E，

∵∠ACB＝90°
∴AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵ tan∠CBD＝13，
∴DEDB=13，
在Rt△DEB中，BE=DE2+DB2=10DE ，
∵CD=CD，
∴∠CBD=∠ACD，
∴tan∠CAD=13，
∴CEAC=13
设AC=m
则CE=13m，
∵ AC＝BC，
∴EB=23m，
∴DE=1010BE=21030m，
Rt△ACE中，AE=AC2+CE2=m2+(13m)2=103m，
∴AD=AE+ED=21030m+103m=2510m，
∵DB=DB，
∴∠ECD=∠EAB，
又∠CED=∠AEB，
∴△CED∽△AEB，
∴CDAB=CEAE=13m10m3=110，
∵CD=a，
∴AB=10a，
∵AC=BC=m，
∴AB=2m，
∴2m=10a，
解得m=5a，
∴AD=2510m=2510×5a=22a，
故答案为：22a．
【分析】先求出AB是⊙O的直径，再利用勾股定理，相似三角形的判定与性质求解即可。
12．【答案】42π
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的面积为4，
∴AB=2，
∵A'B'：AB=2：1，
∴A'B'=4，
∴A'C'=42+42=42，
所求周长=42π；
故答案为：42π．

【分析】由正方形ABCD的面积为4，得出AB=2，再求出A'C'的值即可。
13．【答案】245
【解析】【解答】∵四边形EFGH是矩形，
∴EH∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AM和AD分别是△AEH和△ABC的高，
∴AMAD=EHBC，DM=EF，
∴AM=AD-DM=AD-EF=6-EF，
∵EH=2EF，
代入可得：6-EF6=2EF8，
解得EF=125，
∴EH=2×125=245，
故答案为：245．
【分析】先证明△AEF∽△ABC可得AMAD=EHBC，DM=EF，再将数据代入可得6-EF6=2EF8，求出EF=125，即可得到EH=2×125=245。
14．【答案】49203
【解析】【解答】解：如图，过F作FQ⊥EG于Q，

由对折，△ABC为等边三角形可得：
AB=BC=AC=6，∠B=∠A=∠FGE=∠C=60°，AF=FG，AE=GE，
∴∠FGC+∠BGE=120°=∠BGE+∠GEB，
∴∠FGC=∠GEB，
∴△BEG∽△CGF，
∴BECG=EGGF=BGCF，
∵BG=12GC，
∴BG=2，CG=4，
∴6-AE4=AEGF=2CF，
∴GF=4AE6-AE，CF=86-AE，
而FG+CF=CF+AF=6，
∴4AE6-AE+86-AE=6，
解得：AE=2.8，
经检验正确，则AE=GE=2.8，
∴BE=6-2.8=3.2，3.24=2.8GF，
∴GF=3.5，
∴FQ=GF·sin60°=72×32=734，
∴S△EFG=12×145×734=49320.
故答案为：49320.
【分析】过F作FQ⊥EG于Q，由对折，△ABC为等边三角形可得AB=BC=AC=6，∠B=∠A=∠FGE=∠C=60°，AF=FG，AE=GE，利用相似得出△BEG∽△CGF， 得出BECG=EGGF=BGCF， 得出AE、BE、GF、FQ的值，再利用三角形面积公式即可得解。
15．【答案】10213或15625
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，
在Rt△ABC中，由勾股定理：AB=AC2+BC2=13，
由旋转性质可知，A'B'=AB=13，B'C=BC=5，CA'=CA=12，
设⊙P的半径为r，
若⊙P与AC相切，如图，设切点为M，连接PM，

则PM⊥AC，且PM=PA'，∠A=∠A′，
∵PM⊥AC，A'C⊥AC，
∴PM∥CA'，
∴ΔBMP∽ΔB'CA'，
PMA'C=B'PB'A'即r12=13-r13，
∴r=15625．
若⊙P与AB相切，如图，延长PB'交AB于点N，

∵∠A=∠A′，∠B=∠B，
∴△ABC∽△A′BN，
∴ABA'B=ACA'N即1317=122r，
∴r=10213．
故答案为：10213或15625．

【分析】分两种情况求解：当⊙P与直线AC相切于点M时，当⊙P与AB相切于点N时，利用相似三角形的判定和性质求解即可。
16．【答案】65
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，∠BAD=∠B=90°，AB∥BC，
∴∠BAF+∠FAG=90°，AB=AD=6，
∵AE=DG=1，
∴AG=5，
∵AF⊥EG．
∴∠FAG+∠AGE=90°，
∴∠AGE=∠BAF，
∴△AEG∽△BFA，
∴AGAB=AEBF，即56=1BF，
解得：BF=65．
故答案为：65

【分析】先证明△AEG∽△BFA，可得AGAB=AEBF，即56=1BF，求出BF=65即可。
17．【答案】5
【解析】【解答】解：连接CF、GF，如图：

在正方形ABCD中，∠EAD=∠ADC=90∘，AF⊥DE，AD=CD
∵∠AFD=∠EAD，∠ADF=∠ADE，
∴△AFD∼△EAD，
∴ADED=DFAD，即AD2=DE·DF
∵DF=4EF=4，
∴EF=1，DF=4，DE=DF+DE=5，
∴AD=DE·DF=5×4=25=CD，
在Rt△AFD中，则勾股定理得，
AF=AD2-DF2=(25)2-42=20-16=4=2，
∵∠CDF+∠ADF=90∘，∠DAF+∠ADF=90∘，
∴∠DAF=∠CDF，
∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，
∴∠FCD+∠DGF=180∘ ，
∵∠FGA+∠DGF=180∘
∴∠FGA=∠FCD，
∴△AFG∼△DFC，
∴AGCD=AFDF，即AG25=24
∴AG=5，
∴DG=AD-AG=25-5=5，
故答案为：5．

【分析】连接CF、GF，先证明△AFD∼△EAD可得ADED=DFAD，即AD2=DE·DF，求出EF=1，DF=4，DE=DF+DE=5，再证明△AFG∼△DFC可得AGCD=AFDF，即AG25=24，求出AG=5，最后利用线段的和差可得DG=AD-AG=25-5=5。
18．【答案】（0，53）
【解析】【解答】解：∵点B、F的坐标分别为（4，3）、（-2，1），
∴EF=2，AB=4，AE=3-1=2，
∵矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，
∴EF∥AB，
∴△EPF∽△APB，
∴EPAP=EFAB，即EP2-EP=24，
解得，EP=23，
∴OP=1+23=53，
则点P的坐标为（0，53），
故答案为：（0，53）．

【分析】先证明△EPF∽△APB，可得EPAP=EFAB，即EP2-EP=24，求出EP=23，OP=1+23=53，即可得到点P的坐标。
19．【答案】①②④
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOC=90°，∠ACB=∠DBC=45°，
∵∠BEC=90°，
∴∠CEB=∠BOC，
∴点E，点B，点C，点O四点共圆，
∴∠OEC=∠OBC=45°，故①符合题意；
∵∠BEC=90°，
∴点E在直径为BC的圆上，
如图，取BC的中点F，连接AF，EF，

∴EF=BF=FC=1，
在△AFE中，AE＞AF-EF，
∴当点E在AF上时，AE有最小值，
此时：AF=AB2+BF2=4+1=5，
∴AE的最小值为5-1，故②符合题意；
∵点E，点B，点C，点O四点共圆，
∴∠BOE=∠BCE＜∠BCO=45°，∠OEC=∠CBO=45°，
∴∠BOE≠∠OEC，
∴∠COE≠∠BEO，
∴△OBE与△ECO不相似，故③不符合题意；
如图，过点O作OH⊥OE，交CE于H，

∵OH⊥OE，∠OEC=45°，
∴∠OEC=∠OHE=45°，
∴OE=OH，
∴EH=2OE，
∵∠EOH=∠BOC=90°，
∴∠BOE=∠COH，
又∵OB=OC，
∴△COH≌△BOE（SAS），
∴BE=CH，
∴EC=BE+EH=BE+2OE，故④符合题意，
故答案为：①②④．

【分析】根据正方形的性质可得点E，点B，点C，点O四点共圆，∠OEC=∠OBC=45°，故①正确；由题意可知点E在直径为BC的圆上，取BC的中点F，连接AF，EF当点E在AF上时，AE有最小值，根据勾股定理可得AF=AB2+BF2=4+1=5，AE的最小值为5-1，故②正确；有圆周角定理可的∠BOE≠∠OEC，∠COE≠∠BEO，则△OBE与△ECO不相似，故③不正确；过点O作OH⊥OE，交CE于H，可证△COH≌△BOE（SAS），BE=CH，则EC=BE+EH=BE+2OE，故④正确。
20．【答案】9
【解析】【解答】解：如图所示，连接OB，

由折叠的性质可知，AD=ED，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB∥OC，AB=OC
∴△BEF∽△COF，
∴S△COFS△BEF=(FCBF)2=4，OCBE=OFEF=CFBF=2，
∴S△COF=4，BE=12OC，
∵S△BOFS△BEF=OFEF=2，
∴S△BOF=2，
∴S△BOC=S△AOB=6，
∵AD+BD+BE=AB+BE，
∴2AD-BE=OC，
∴AD=34AB=34OC，
∴SDOES△AOB=DEAB=34，
∴S△DOE=92，
∵E是反比例函数图象上，
∴k=2S△DOE=9，
故答案为：9．
【分析】先证明△BEF∽△COF，可得S△COFS△BEF=(FCBF)2=4，OCBE=OFEF=CFBF=2，再求出AD=34AB=34OC可得SDOES△AOB=DEAB=34，所以S△DOE=92，最后利用反比例函数k的几何意义可得k=2S△DOE=9。
21．【答案】（1）(0，233)或（0，2）
（2）解：①设点D的坐标为（0，a），则OD＝a，CD＝3－a，∵△AOB是等边三角形，∴∠AOB=∠OBA=∠BAO=60∘，∴∠COA=90∘-∠AOB=90∘-60∘=30∘，在RtΔAOC中，tan∠COA=CAOC，∴CA=OCtan∠COA=3×33=1，∴OA=2CA=2，∵AD⊥DM，∴∠ADC+∠ODM=90∘，∵∠CAD+∠ADC=90∘，∴∠CAD=∠ODM，∵∠ACD=∠DOM=90∘，∴ΔACD∽ΔDOM，∴CDOM=ACDO，即：3-am=1a，∴m=-a2+3a=-(a-32)2+34，∴当a=32时，m的最大值为34；∴m的最大值为34时，点D坐标为(0，32)；②存在这样的m值，使BE＝BF；作FH⊥y轴于点H，∴AC∥PD∥FH∥x轴，

∴AEEF=CDDH，OHDH=OFEF，∵BF=BE，∴∠BEF=∠BFE，∵∠BEA+∠BEF=180∘，∠BFO+∠BFE=180∘，∴∠BEA=∠BFO，∵∠BAE=∠BOF=60∘，∴ΔBEA≌ΔBFO(AAS)，∴AE=FO，∴OHDH=CDDH，∴CD=HO，设OD=n，则DH=OC-CD-OH=2n-3，HF=HOtan30∘=33(3-n)，∵∠CAD=∠ODM，∠ACD=∠DHF=90∘，∴ΔACD∽ΔDHF，∴HDCA=HFCD，∴2n-31=33(3-n)3-n，解得：n=3 或n=233 ，当n=3时，点P与点A重合，不合题意，舍去，当n=233时，m=-(n-32)2+34=-(233-32)2+34=23 ，∴存在这样的m值，使BE＝BF．此时m=23 ．
【解析】【解答】（1）∵△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AOC=30°，∵AC⊥y轴，点C的坐标为（0，3），∴OC=3，∴AC=OC·tan30°=3×33=1，当△AOD是等腰三角形，OD=AD，∠DAO=∠DOA=30°，∴∠CDA=60°，∴AD=ACsin60°=233，∴OD=AD=233，∴D的坐标为(0，233)，当△AOD是等腰三角形，此时OA=OD时，OA=OCcos30°=2，∴OD=OA=2，∴点D坐标为（0，2），故答案为：(0，233)或（0，2）；
【分析】（1）先求出∠AOB=60°，再分类讨论，利用等腰三角形的性质求解即可；
（2）①利用锐角三角函数，相似三角形的判定与性质计算求解即可；
②结合函数图象，利用相似三角形的判定与性质求解即可。
22．【答案】（1）解：连接OD，

∵DG⊥BC，
∴∠BGH=90°，
∵D是AC的中点，AB为直径，
∴OD∥BC，
∴∠BGH=∠ODH=90°，
∴直线HG是⊙O的切线；
（2）解：由（1）得OD∥BC，
∴∠HBG=∠HOD，
∵cos∠HBG=25，
∴cos∠HOD=25，
设OD=OA=OB=r，
∵HA=3，
∴OH=3+r，
在Rt△HOD中，∠HDO=90°，
∴cos∠HOD=ODOH=r3+r=25，
解得r=2，
∴OD=OA=OB=2，OH=5，BH=7，
∵D是AC的中点，AB为直径，
∴BC=2OD=4，
∵∠BGH=∠ODH=90°，
∴△ODH∼△BGH，
∴OHBH=ODBG，即57=2BG，
∴BG=145，
∴CG=BC-BG=4-145=65．
【解析】【分析】（1）先求出 ∠BGH=90°， 再求出 ∠BGH=∠ODH=90°， 最后证明求解即可；
（2）利用锐角三角函数，相似三角形的判定与性质计算求解即可。
23．【答案】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴ABAE=ABAC=12，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴BDCE=ABAC=12=22；
（3）解：①ABAC=ADDE=34，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，ABAC=ADAE=35，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
∴BDCE=ADAE=35 ；
②由①得：△CAE∽△BAD，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠AGC＝∠BGF，
∴∠BFC＝∠BAC，
∴sin∠BFC=BCAC=45．
【解析】【分析】（1）由△ABC和△ADE都是等边三角形，得出AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，再根据三角形全等的性质证出△BAD≌△CAE（SAS），即可得出结论；
（2）由△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，得出∠BAD＝∠CAE，利用三角形相似证出△BAD∽△CAE，即可得出结论；
（3）①利用三角形相似证出△ABC∽△ADE，得出∠CAE＝∠BAD，再证出△CAE∽△BAD，即可得出答案；②由①得：△CAE∽△BAD，得出∠ACE＝∠ABD，再利用∠AGC＝∠BGF，得出∠BFC＝∠BAC，即可得解。
24．【答案】（1）解：①如图1，∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，

∵BD，CE是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=12∠ABC，∠ACE =12∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
②如图1，∵AB=AC，点D，E分别是边AC，AB的中点，
∴AE=AD，
∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
（2）解：添加条件CD=BE，证明如下：
∵AB=AC，CD=BE，

∴AC+CD=AB+BE，
∴AD=AE，
∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
（3）能.
在AC上取一点D，使得BD=CE，根据BF=CE，得到BD=BF，

当BD=BF=BA时，E与A重合，
∵∠A＝36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=72°，∠A=∠BFA=36°，
∴∠ABF=∠BCF=108°，∠BFC=∠AFB，
∴△CBF∽△BAF，
∴BFAF=CFBF，
∵AB＝AC＝2=BF， 设CF=x，
∴2x+2=x2，
整理，得x2+2x-4=0，
解得x=5-1，x=-5-1（舍去），
故CF= x=5-1，
∴0＜CF＜5-1．
【解析】【分析】（1）①通过证明△ABD≌△ACE，即可得到BD=CE；
②方法同①，通过证明△ABD≌△ACE，即可得到BD=CE；
（2）添加条件CD=BE，再通过证明△ABD≌△ACE，即可得到BD=CE；
（3）在AC上取一点D，使得BD=CE，根据BF=CE，得到BD=BF，先证明△CBF∽△BAF，可得BFAF=CFBF，再设CF=x，可得2x+2=x2，整理得到x2+2x-4=0，求出x的值，即可得到答案。
25．【答案】（1）证明：连接OB，

∵OA=OB=OC，
∴∠OAB=∠OBA，∠OBC=∠OCB，
∵ AC为⊙O的直径，
∴∠ABC=∠OBA+∠OBC，
∵∠CBD=∠CAB，
∴∠OBA=∠CBD，
∴∠CBD+∠OBC=90°=∠OBD，
∴ PD是⊙O的切线；
（2）证明：∵直线PA与⊙O相切于点A，
∴∠OAP=90°，
∵PD是⊙O的切线，
∴∠AMO=∠AMP=∠OAP=90°，
∴∠OAM+∠PAM=∠PAM+∠APM=90°，
∴∠OAM=∠APM，
∴△OAM∼△APM，
∴AMPM=OMAM，
∴AM2=OM⋅PM．
【解析】【分析】（1）连接OB，证明∠CBD+∠OBC=90°=∠OBD，即可得到PD是⊙O的切线；
（2）先证明△OAM∼△APM可得AMPM=OMAM，再化简可得AM2=OM⋅PM。
26．【答案】（1）证明：作直径AD，连接DC，

∵AB＝AC且MN∥BC，
∴∠B＝∠ACB＝∠NAC，
∵∠D＝∠B，∴∠D＝∠NAC，
∵AD是直径，∴∠D＋∠DAC＝90° ，
∴∠NAC＋∠DAC＝90°，
∴∠OAN＝90°，
又∵点A 在⊙O上，∴MN与⊙O相切
（2）解：作直径AF，EG⊥AB，连接OB、OC，

∵OB＝OC，AB＝AC
∴O、A在BC的垂直平分线上，即AF垂直平分BC，
∵BD平分∠ABC， EG⊥AB，FH⊥BC，
∴EG＝EH，BG＝BH＝6，
在Rt△ABH中，∵AB＝10，BH＝6，∴由勾股定理得AH＝8，
设⊙O的半径为x，在Rt△OBH中，
由勾股定理得： (8－x)2＋62＝x2，∴x＝254，即⊙O的半径为254，
∵AB＝10，BG＝6，∴AG＝4 ，
由△AGE∽△AHB得：AGAH=AEAB，
代入解得：AE＝5.
【解析】【分析】（1）作直径AD，连接DC，根据等腰三角形和平行线的性质得到∠B=∠ACB=∠NAC，求得∠D=∠NAC，根据圆周角定理得到∠OAN=90°，于是得到结论；
（2）作直径AF，EG⊥AB，连接OB、OC，根据线段垂直平分线的判定定理得到A、O在BC的垂直平分线上，即AF垂直平分BC，根据角平分线的性质得到EG=EH，BG=BH=6，再利用勾股定理和相似三角形的性质求解即可。
27．【答案】（1）30°
（2）解：CD＝BE，
证明如下：
∵AB＝AC，∠C＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，
∴AD＝AE，∠EAD＝60°，
∴∠BAC＝∠EAD＝60°，
∴∠BAC﹣∠BAD＝∠EAD﹣∠BAD，即∠EAB＝∠DAC，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴CD＝BE；
（3）解：AC＝k（BD+BE），
证明如下：
连接AE，如图：

∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠ADE＝∠C，
∴∠ABC＝∠ADE，
∵ABBC=ADDE，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC，ABAD=ACAE，
∴∠DAE﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD，即∠EAB＝∠DAC，
∵AB＝AC，
∴AE＝AD，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴CD＝BE，
∴BC＝BD+CD＝BD+BE，
而ABBC=ACBC=k，
∴ACBD+BE=k，即AC＝k（BD+BE）．
【解析】【解答】(1)解：∵AB＝AC，∠C＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵点D关于直线AB的对称点为点E，
∴DE⊥AB，
∴∠BDE＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
故答案为：30°；

【分析】（1）易得△ABC是等边三角形，可得∠B＝60°，由对称可得DE⊥AB，根据三角形的内角和即可求出∠BDE的度数；
（2） CD＝BE，证明：根据等边三角形及旋转的性质可证明△EAB≌△DAC ，可得CD=BE；
（3） AC＝k（BD+BE），证明：连接AE，如图 ，先证明△ABC∽△ADE，可得ABAD=ACAE，∠DAE＝∠BAC，再证△EAB≌△DAC（SAS），可得CD＝BE，即得BC＝BD+CD＝BD+BE，由ABBC=ACBC=k，可得ACBD+BE=k，继而得解.