数学八年级下册第16章 二次根式综合与测试同步训练题

2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【沪科版】

专题16.6二次根式的求值问题大题专练（重难点培优）

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，解答24道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、解答题（本大题共24小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

1．（2021春•仙居县期末）已知x1，y＝1，求x2﹣xy+y2的值．

【分析】直接利用二次根式的性质结合二次根式的混合运算法则计算得出答案．

【解析】∵x1，y＝1，

∴x﹣y1﹣（1）1﹣12，

xy＝（1）（1）＝2，

原式＝（x﹣y）2+xy

＝（﹣2）2+2

＝4+2

＝6．

2．（2021春•下城区月考）计算

（1）；

（2）当x，y时，求代数式x2﹣xy+y2的值．

【分析】（1）根据二次根式的性质把各个二次根式化简，合并同类二次根式，得到答案；

（2）根据二次根式的加法法则求出x+y，根据二次根式的乘法法则求出xy，把原式根据完全平方公式变形，代入计算即可．

【解析】（1）原式＝32；

（2）∵x，y，

∴x+y＝（）+（）＝2，xy＝（）（）＝3﹣2＝1，

∴原式＝（x+y）2﹣3xy＝（2）2﹣3×1＝9．

3．（2021•仙桃校级模拟）（1）计算：．

（2）已知x2＝2x+15，求代数式的值．

【分析】（1）根据算术平方根、负整数指数幂、绝对值可以解答本题；

（2）根据完全平方公式可以将所求式子化简，然后根据x2＝2x+15，可以得到x的值，然后代入化简后的式子即可解答本题．

【解析】（1）

＝29﹣2

＝9；

（2）

＝x2+2x+2﹣（x2﹣2x+2）

＝x2+2x+2﹣x2+2x﹣2

＝4x，

由x2＝2x+15，可得x1＝﹣3，x2＝5，

当x＝﹣3时，原式＝﹣12；

当x＝5时，原式＝20．

4．（2020秋•新化县期末）已知a＝1，b＝1，求：

（1）求a2﹣2a﹣1的值；

（2）求a2﹣2ab+b2的值．

【分析】（1）根据完全平方公式把原式变形，把a的值代入计算即可；

（2）根据完全平方公式把原式变形，把a、b的值代入计算即可．

【解析】（1）原式＝a2﹣2a+1﹣2

＝（a﹣1）2﹣2，

当a＝1时，原式＝（11）2﹣2＝0；

（2）a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，

当a＝1，b＝1时，原式＝（11）2＝8．

5．（2019春•西湖区校级月考）计算：

（1）

（2）已知，，求a2+ab+b2的值．

【分析】（1）根据二次根式的乘法和加减法可以解答本题；

（2）根据，，可以得到a+b、ab的值，从而可以求得所求式子的值．

【解析】（1）

22

＝﹣3；

（2）∵，，

∴a+b＝2，ab＝1，

∴a2+ab+b2

＝（a+b）2﹣ab

＝（2）2﹣1

＝12﹣1

＝11．

6．（2021春•硚口区月考）（1）已知：a2，b2，求代数式a2b﹣ab2的值．

（2）运用乘法公式计算：

①（23）2．

②（2）（2）+（）2．

（3）已知实数x、y满足x2+10x25＝0，则（x+y）2021的值是多少？

【分析】（1）先求出a﹣b和ab的值，再求出答案即可；

（2）①根据完全平方公式求出答案即可；

②先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再求出答案即可；

（3）先求出x、y的值，再求出答案即可．

【解析】（1）∵a2，b2，

∴a﹣b＝（2）﹣（2）＝﹣4，

ab＝（2）×（2）＝3﹣4＝﹣1，

∴a2b﹣ab2

＝ab（a﹣b）

＝（﹣4）×（﹣1）

＝4；

（2）①（23）2

＝（2）2+2×23（3）2

＝8+1227

＝35+12；

②（2）（2）+（）2

＝4﹣3+3﹣22

＝6﹣2；

（3）∵实数x、y满足x2+10x25＝0，

∴（x+5）20，

∴x+5＝0，y﹣4＝0，

解得：x＝﹣5，y＝4，

∴（x+y）2021

＝（﹣5+4）2021

＝﹣1．

7．（2021春•江汉区期中）（1）已知x2，y2，求下列各式的值：

①；

②x2﹣xy+y2；

（2）若8，则　±2　．

【分析】（1）①根据x2，y2，可以得到xy、x+y的值，然后即可求得所求式子的值；

②将所求式子变形，然后根据x2，y2，可以得到xy、x+y的值，从而可以求得所求式子的值；

（2）根据完全平方公式和换元法可以求得所求式子的值．

【解析】（1）①，

∵x2，y2，

∴x+y＝2，xy＝3，

当x+y＝2，xy＝3时，原式；

②x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy，

∵x2，y2，

∴x+y＝2，xy＝3，

当x+y＝2，xy＝3时，原式＝（2）2﹣3×3＝19；

（2）设x，y，则39﹣a2＝x2，5+a2＝y2，

∴x2+y2＝44，

∵8，

∴（x+y）2＝64，

∴x2+2xy+y2＝64，

∴2xy＝64﹣（x2+y2）＝64﹣44＝20，

∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝44﹣20＝24，

∴x﹣y＝±2，

即±2，

故答案为：±2．

8．（2021•越秀区校级开学）计算：

（1）．

（2）．

（3）已知实数a、b、c满足|a+3|，求（b+a）2的值．

【分析】（1）根据二次根式的乘除法法则计算；

（2）根据完全平方公式、平方差公式计算；

（3）根据二次根式的性质求出b，根据非负数的性质分别求出a、c，根据有理数的乘方法则计算即可．

【解析】（1）原式

＝5+23

＝5；

（2）原式＝9+62+1﹣2＝10+6；

（3）由题意得，b﹣5≥0，5﹣b≥0，

∴b＝5，

∴|a+3|0，

∴a＝﹣3，c＝2，

∴（b+a）2＝（5﹣3）2＝4．

9．（2020秋•永年区期末）已知x．

（1）求代数式x；

（2）求（7﹣4）x2+（2）x的值．

【分析】（1）根据分母有理化把x的值化简，计算即可；

（2）根据二次根式的混合运算法则计算，得到答案．

【解析】（1）x2，

则2，

∴x224；

（2）（7﹣4）x2+（2）x

＝（7﹣4）（2）2+（2）（2）

＝（7﹣4）（7+4）+（2）（2）

＝49﹣48+4﹣3

＝2．

10．（2019秋•浦东新区校级月考）已知x，y都是有理数，并且满足，求的值．

【分析】观察式子，需求出x，y的值，因此，将已知等式变形：，x，y都是有理数，可得，求解并使原式有意义即可．

【解析】∵，

∴．

∵x，y都是有理数，

∴x2+2y﹣17与y+4也是有理数，

∴

解得

∵有意义的条件是x≥y，

∴取x＝5，y＝﹣4，

∴．

11．（2019秋•浦东新区校级月考）已知，求代数式的值．

【分析】将的值直接代入代数式，运用完全平方公式和平方差公式计算可得．

【解析】当时，

原式＝（17+4）（2）2﹣（2）（2）﹣2

＝（17+4）（17﹣4）﹣（12﹣5）﹣2

＝172﹣（4）2﹣7﹣2

＝289﹣240﹣9

＝40．

12．（2020春•南宁期末）先化简，再求值：（a）（a）+a（a﹣6），其中a．

【分析】原式利用平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．

【解析】原式＝a2﹣3+a2﹣6a

＝2a2﹣6a﹣3，

当a时，原式＝4﹣63＝1﹣6．

13．（2021春•江岸区校级月考）化简并求值：，其中x＝3，y＝2．

【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再合并得到原式＝6，然后把x、y的值代入计算．

【解析】原式5

＝6，

当x＝3，y＝2，原式＝66．

14．（2021春•嘉陵区校级期末）计算：

（1）（）2+23；

（2）已知a2，b2，求a2﹣b2的值．

【分析】（1）根据完全平方公式、二次根式的乘法法则计算即可；

（2）根据二次根式的加减法法则分别求出a+b，a﹣b，根据平方差公式把原式变形，代入计算得到答案．

【解析】（1）原式＝3﹣22+23

＝5﹣22

＝5；

（2）a+b＝（2）+（2）＝2，a﹣b＝（2）﹣（2）＝4，

则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝24＝8．

15．（2019春•沙雅县期中）已知：a2，b2，分别求下列代数式的值

（1）a2+2ab+b2

（2）a2﹣b2

【分析】（1）根据完全平方公式和a2，b2，可以求得所求式子的值；

（2）根据平方差公式和a2，b2，可以求得所求式子的值．

【解析】（1）∵a2，b2，

∴a+b＝2，

∴a2+2ab+b2

＝（a+b）2

＝（2）2

＝12；

（2）∵a2，b2，

∴a+b＝2，a﹣b＝4，

∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝24＝8．

16．（2021秋•市中区期中）若x，y，求x2﹣xy+y2的值．

【分析】先计算出x+y与xy的值，再利用完全平方公式得到原式＝（x+y）2﹣3xy，然后利用整体代入的方法计算．

【解析】∵x2，y2，

∴x+y＝4，xy＝1，

∴原式＝（x+y）2﹣3xy＝42﹣3×1＝13．

17．（2021•兴宁区校级开学）已知a1，b1，求值：

（1）；

（2）a2b+ab2．

【分析】先计算出a+b＝2，ab＝1，再利用通分和完全平方公式得到（1）；利用因式分解得到（2）a2b+ab2＝ab（a+b），然后利用整体代入的方法进行计算．

【解析】∵a1，b1，

∴a+b＝2，ab＝2﹣1＝1，

（1）6；

（2）a2b+ab2＝ab（a+b）＝1×22．

18．（2021春•淮北月考）已知x2，y2，求代数式的值．

【分析】先计算出x﹣y＝4，xy＝3，再利用约分得到原式，然后利用整体代入的方法计算．

【解析】∵x2，y2，

∴x﹣y＝4，xy＝7﹣4＝3，

∴原式．

19．（2021春•阜阳月考）已知x，y，求代数式2y（x2+3x2y﹣xy）﹣6x2y2的值．

【分析】先计算出x﹣y＝﹣2，xy＝﹣1，再去括号合并得到原式＝2x2y﹣2xy2，然后因式分解得到原式＝2xy（x﹣y），最后利用整体代入的方法计算．

【解析】∵x，y，

∴x﹣y＝﹣2，xy＝2﹣3＝﹣1，

∴2y（x2+3x2y﹣xy）﹣6x2y2

＝2x2y+6x2y2﹣2xy2﹣6x2y2

＝2x2y﹣2xy2

＝2xy（x﹣y）

＝2×（﹣1）×（﹣2）

＝4．

20．（2021春•阳谷县期末）x2，求：

（1）x2y+xy2；

（2）的值．

【分析】（1）先对所求式子化简，然后根据x2，即可得到xy和x+y的值，然后即可求得所求式子的值；

（2）先对所求式子化简，然后根据x2，即可得到xy和x+y的值，然后即可求得所求式子的值．

【解析】（1）x2y+xy2

＝xy（x+y），

∵x2，

∴xy＝﹣1，x+y＝2，

当xy＝﹣1，x+y＝2时，原式＝﹣1×22；

（2）

，

∵x2，

∴xy＝﹣1，x+y＝2，

当xy＝﹣1，x+y＝2时，原式14．

21．（2021春•江汉区月考）已知：x，y．求下列各式的值．

（1）x2﹣xy+y2；

（2）．

【分析】（1）根据二次根式的加法法则求出x+y，根据二次根式的乘法法则求出xy，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可；

（2）根据分式的减法法则、平方差公式把原式变形，代入计算即可．

【解析】（1）∵x，y，

∴x+y＝（）+（）＝2，x﹣y＝（）﹣（）＝2，

xy＝（）（）＝7﹣5＝2，

∴x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy＝28﹣6＝22；

（2）2．

22．（2021春•浦北县期末）已知a1，b1，试求a2+2ab+b2的值．

【分析】直接利用乘法公式将原式变形，再利用二次根式的性质计算得出答案．

【解析】∵a1，b1，

∴a2+2ab+b2

＝（a+b）2

＝（11）2

＝（2）2

＝20．

23．（2019春•番禺区月考）已知x1，y1，求下列各式的值：

（1）x2+2xy+y2，

（2）

【分析】（1）将所求式子因式分解得到x2+2xy+y2＝（x+y）2，再将已知代入即可；

（2）化简所求式子得到，再将已知代入．

【解析】（1）∵x1，y1，

∴x2+2xy+y2＝（x+y）2＝（11）2＝（2）2＝12；

（2）2．

24．（2021•市中区校级一模）观察下面的式子：

S1＝1，S2＝1，S3＝1Sn＝1

（1）计算：　　，　　；猜想　　（用n的代数式表示）；

（2）计算：S（用n的代数式表示）．

【分析】（1）分别求出S1，S2，…的值，再求出其算术平方根即可；

（2）根据（1）的结果进行拆项得出1111，再转换成n+（1）

即可求出答案．

【解析】（1）解：∵S1＝1，

∴；

∵S2＝1，

∴；

∵S3＝1，

∴；

∵Sn＝1，

∴，

故答案为：，，；

（2）解：S

＝1111

＝n+（1）

＝n+1，

．