初中数学沪科版八年级下册第17章 一元二次方程综合与测试课后测评

2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【沪科版】

专题17.5一元二次方程根的判别式

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2021秋•韩城市期末）请判断一元二次方程x2﹣5x0的实数根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 

C．没有实数根 D．不能确定

【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．

【解析】∵Δ＝（﹣5）2﹣40，

∴方程有两个相等的实数根．

故选：B．

2．（2021秋•朝阳区期末）一元二次方程x2+2x+3＝0的根的情况是（　　）

A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 

C．有两个不相的实数根 D．没有实数根

【分析】先计算根的判别式△，再根据根的判别式进行判断即可．

【解析】∵△＝22﹣4×1×3

＝4﹣12

＝﹣8＜0，

∴一元二次方程无解．

故选：D．

3．（2021秋•大东区期末）关于x的一元二次方程x2+4x+2＝0根的情况是（　　）

A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 

C．只有一个实数根 D．有两个相等的实数根

【分析】先求出Δ的值，再判断出其符号即可．

【解析】∵Δ＝42﹣4×1×2＝8＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：B．

4．（2021秋•和平区期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（　　）

A．x2﹣2x＝0 B．x2+4x＝﹣4 C．2x2﹣4x+3＝0 D．3x2＝5x﹣2

【分析】先把各方程化为一般式，再分别计算四个方程的根的判别式，然后根据根的判别式判断各方程根的情况．

【解析】A．Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意；

B．x2+4x+4＝0，Δ＝42﹣4×1×4＝0，则方程有两个相等的实数根，所以B选项符合题意；

C．Δ＝（﹣4）2﹣4×2×3＝﹣8＜0，则方程没有实数根，所以C选项不符合题意；

D．3x2﹣5x+2＝0，Δ＝（﹣5）2﹣4×3×2＝1＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项不符合题意．

故选：B．

5．（2021秋•富裕县期末）方程kx2﹣6x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k≤9 B．k≤9且≠0 C．k≠0 D．k＞9

【分析】由于k的取值范围不能确定，故应分k＝0和k≠0两种情况进行解答：①当k＝0时得x；②当k≠0时根据△≥0且k≠0，求得k的取值范围．

【解析】①当k＝0时，﹣6x+1＝0，

解得x；

②当k≠0时，此方程是一元二次方程，

∵关于x的方程kx2﹣6x+1＝0有实数根，

∴Δ＝（﹣6）2﹣4k≥0，解得k≤9；

故k的取值范围是k≤9．

故选：A．

6．（2021春•大连期末）关于x的一元二次方程﹣kx2﹣6x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k＞﹣3 B．k＜3 C．k＜3且k≠0 D．k＞﹣3且k≠0

【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到﹣k≠0且Δ＝（﹣6）2﹣4×（﹣k）×3＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．

【解析】根据题意得﹣k≠0且Δ＝（﹣6）2﹣4×（﹣k）×3＞0，

解得k＞﹣3且k≠0．

故选：D．

7．（2019秋•中山市期末）若方程x2+3x+c＝0没有实数根，则c的取值范围是（　　）

A．c B．c C．c D．c

【分析】根据根的判别式即可求出答案．

【解析】由题意可知：Δ＝9﹣4c＜0，

∴c，

故选：D．

8．（2021秋•竹山县期中）关于x的一元二次方程2x2+5x﹣1＝0根的说法，正确的是（　　）

A．方程没有实数根 

B．方程有两个相等实数根 

C．方程有两个不相等实数根 

D．方程有一个实数根

【分析】计算方程根的判别式，求其符号进行判断即可．

【解析】∵2x2+5x﹣1＝0，

∴Δ＝52﹣4×2×（﹣1）＝25+8＝33＞0，

∴该方程有两个不相等实数根．

故选：C．

9．（2020秋•伍家岗区期末）方程2x2﹣x+m＝0的根的判别式的值为9，则常数m的值为（　　）

A．2 B．1 C．0 D．﹣1

【分析】利用根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝9，建立关于m的方程求得m的值．

【解析】∵方程2x2﹣x+m＝0的根的判别式的值为9，

∴（﹣1）2﹣4×2m＝9，

解得m＝﹣1．

故选：D．

10．（2021秋•沁阳市月考）若使关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个不相等实数根，则a的值可以为（　　）

A．1 B． C．0 D．﹣1

【分析】根据一元二次方程根的定义和根的判别式的意义得到a≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4a×2＞0，然后求出a的范围，从而可对各选项进行判断．

【解析】根据题意得a≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4a×2＞0，

解得a且a≠0．

故选：D．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2020秋•赤峰期末）已知关于x的一元二次方程5x2+2x+m＝0有实数根，则m的取值范围是 　m　．

【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝22﹣4×5×m≥0，然后解不等式即可．

【解析】根据题意得Δ＝22﹣4×5×m≥0，

解得m，

即m的取值范围是m．

12．（2021秋•二道区校级月考）一元二次方程x2+4x+6＝0的根的判别式的值为 　﹣8　．

【分析】直接计算b2﹣4ac的值即可．

【解析】Δ＝42﹣4×1×6＝﹣8．

故答案为：﹣8．

13．（2021秋•兴庆区校级期中）已知关于x的方程（a+1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是 　﹣1　．

【分析】当二次项系数为零时，原方程为一元一次方程，解之可得出该方程的解，进而可得出a＝﹣1符合题意；当二次项系数非零时，由根的判别式Δ≥0，可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，综上，可得出a的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．

【解析】当a+1＝0时，原方程为﹣2x+3＝0，解得x，

∴a＝﹣1符合题意；

当a+1≠0时，Δ＝（﹣2）2﹣4×（a+1）×3≥0，

解得：a，

∴a且a≠﹣1．

综上所述，a．

又∵a为整数，

∴a的最大值为﹣1．

故答案为：﹣1．

14．（2021秋•孝南区月考）关于x的方程（1﹣m）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则整数m的最大值是 　0　．

【分析】利用二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，取其中的最大整数值即可得出结论．

【解析】∵关于x的方程（1﹣m）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，

∴，

解得：m＜2且m≠1，

又∵m为整数，

∴m的最大值为0．

故答案为：0．

15．（2021秋•兰州期中）关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等的实数根，则a的值为 　　．

【分析】利用根的判别式的意义得到a≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4×a×2＝0，然后解关于a的一次方程即可．

【解析】根据题意得a≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4×a×2＝0，

解得a．

故答案为：．

16．（2021秋•蕲春县月考）关于x的方程kx2x+2＝0有实根，则k的取值范围是 　k　．

【分析】分k＝0和k≠0分别求解，其中k≠0是利用判别式列出不等式，解之可得．

【解析】若k＝0，则方程为x+2＝0，显然方程有解；

若k≠0，则Δ≥0，k+1≥0，即（）2﹣4×k×2≥0，

解得：k且k≠0．

∴k的取值范围为：k．

故答案为：k．

17．（2021•云南模拟）已知关于x的不等式组无解，且关于y的一元二次方程my2+4y+1＝0有两个实数根，则整数m的值可以是 　3≤m≤4　．

【分析】根据不等式组的解法关于x的不等式组无解，得到m≥3，再根据判别式的意义得到m≠0且Δ＝16﹣4m≥0，解得m≤4且m≠0，然后写出它们的公共部分即可得到m的取值范围．

【解析】不等式组整理得，

∵关于x的不等式组无解，

∴m≥3，

∵关于y的一元二次方程my2+4y+1＝0有两个实数根，

∴m≠0且Δ＝16﹣4m≥0，解得m≤4且m≠0，

∴m的取值范围为3≤m≤4．

故答案为：﹣3≤m≤4．

18．（2021•大庆模拟）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），有下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，其中说法正确的有 　①②④　．（填序号）

【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．

【解析】①当x＝1时，a×12+b×1+c＝a+b+c＝0，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2﹣4ac≥0成立，那么①一定正确．

②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则﹣4ac＞0，那么b2﹣4ac＞0，故方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②正确．

③由c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，得ac2+bc+c＝0．当c≠0，则ac+b+1＝0；当c＝0，则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定正确．

④（2ax0+b）2＝4a2x02+b2+4abx0，由b2﹣4ac＝4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0．由x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则ax02+bx0+c＝0成立，那么④正确．

综上：说法正确的有①②④．

故答案为：①②④．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2021秋•吉林期末）关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0．

（1）若方程有两个不相等的实数根，且m＝﹣4，求n的取值范围；

（2）若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n．

【分析】（1）利用根的判别式得到（﹣4）2﹣4n＞0，然后解不等式即可；

（2）根据根的判别式得Δ＝m2﹣4n＝0，然后把m表示n即可．

【解析】（1）根据题意得Δ＝m2﹣4n＞0，

而m＝﹣4，

所以（﹣4）2﹣4n＞0，

解得n＜4，

即n的取值范围为n＜4；

（2）根据题意得Δ＝m2﹣4n＝0，

所以nm2．

20．（2021秋•南关区期末）已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有两个实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）若k为正整数，求此时方程的解．

【分析】（1）由方程有两个实数根可得（﹣2）2﹣4×1•（2k﹣1）≥0，解不等式即可求出k的取值范围；

（2）由k为正整数和k≤1可得k＝1，从而可得原方程为x2﹣2x+1＝0，解方程即可求出方程的解．

【解析】（1）∵x2﹣2x+2k﹣1＝0有两个实数根，

∴Δ≥0，

∴（﹣2）2﹣4×1•（2k﹣1）≥0，

解得k≤1；

（2）由（1）知k≤1，

∵k为正整数，

∴k＝1，

∴原方程为：x2﹣2x+1＝0，

∴（x﹣1）2＝0，

∴x1＝x2＝1．

21．（2021秋•海淀区校级期末）已知关于x的方程2x2+（m+2）x+m＝0；

（1）证明：方程总有实数根；

（2）若方程有一个根大于1，求m的范围．

【分析】（1）先计算判别式的值得到Δ＝（m﹣2）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；

（2）利用因式分解法解方程得到x1＝﹣1，x2m，则m＞1，然后解不等式即可．

【解析】（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣4×2×m

＝m2﹣4m+4

＝（m﹣2）2≥0，

即△≥0，

∴方程总有实数根；

（2）∵（x+1）（2x+m）＝0，

x+1＝0或2x+m＝0，

∴x1＝﹣1，x2m，

∴m＞1，

解得m＜﹣2．

22．（2021秋•海淀区校级期末）关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根

（1）求m的取值范围；

（2）若m是满足条件的最大整数，求方程的根．

【分析】（1）根据判别式的意义得到（2m﹣1）2﹣4（m2﹣1）＞0，然后解不等式得到m的范围；

（2）取满足条件的最大整数代入方程，再解方程即可．

【解析】（1）根据题意知，Δ＝（2m﹣1）2﹣4（m2﹣1）＞0，

解得m；

（2）当m＝1时，方程为x2+x＝0，

解得x1＝﹣1，x2＝0．

23．（2021秋•农安县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0

（1）若x＝﹣1是这个方程的一个根，求m的值和方程的另一根；

（2）对于任意的实数m，判断方程的根的情况，并说明理由．

【分析】（1）把x＝﹣1代入已知方程，得到关于m的一元一次方程，通过解该方程来求m的值；

（2）由根的判别式的符号来判定原方程的根的情况．

【解析】（1）将x＝﹣1代入方程x2﹣mx﹣2＝0，得1+m﹣2＝0，

解得m＝1，

解方程x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2；

（2）∵Δ＝m2+8＞0，

∴对于任意的实数m，方程有两个不相等的实数根．

24．（2020秋•浦东新区校级期末）已知关于x的方程（m﹣1）x2+2mx+m+3＝0有两个实数根，请求出m的最大整数值．

【分析】根据方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于0，确定出m的范围，进而求出最大整数值即可．

【解析】∵关于x的方程（m﹣1）x2+2mx+m+3＝0有两个实数根，

∴b2﹣4ac＝（2m）2﹣4（m﹣1）（m+3）＝4m2﹣（4m2+8m﹣12）＝4m2﹣4m2﹣8m+12＝﹣8m+12≥0，m﹣1≠0，

解得：m且m≠1，

则m的最大整数值为0．