沪科版八年级下册第18章 勾股定理综合与测试单元测试习题

2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【沪科版】

专题18.6第18章勾股定理单元测试（能力过关卷）

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2021秋•文山市期末）直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高　　

A．6 B．8 C． D．

【分析】首先根据勾股定理，得：斜边．再根据直角三角形的面积公式，求出斜边上的高．

【解析】由题意得，斜边为．所以斜边上的高．

故选：．

2．（2021秋•北碚区校级期末）已知，，是的三条边，则下列条件不能判定是直角三角形的是　　

A．，， B． 

C． D．

【分析】依据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理进行计算和判断，即可得出结论．

【解析】．由，，可得，能判定是直角三角形，不合题意；

．由可得，能判定是直角三角形，不合题意；

．由可得，能判定是直角三角形，不合题意；

．由可得，不能判定是直角三角形，符合题意；

故选：．

3．（2020秋•岐山县期中）下列四组数中，是勾股数的是　　

A．0.3，0.4，0.5 B．，， C．30，40，50 D．，，

【分析】根据勾股数的定义逐一计算即可得出答案．

【解析】．0.3，0.4，0.5不是整数，不是勾股数；

．，，，不是勾股数；

．，、40、50是勾股数；

．且，，均不是整数，，，不是勾股数；

故选：．

4．（2021春•新罗区期末）两只小鼹鼠在地下从同一处开始打洞，一只朝北面挖，每分钟挖，另一只朝东面挖，每分钟挖，10分钟之后两只小鼹鼠相距　　

A． B． C． D．

【分析】由已知两只鼹鼠打洞的方向的夹角为直角，其10分钟内走路程分别等于两直角边的长，利用勾股定理可求斜边即其距离．

【解析】两只鼹鼠10分钟所走的路程分别为，，

正北方向和正东方向构成直角，

由勾股定理得，

其距离为．

故选：．

5．（2021春•安徽月考）已知，为正数，且，如果以，的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为　　

A．10 B．100 C．14 D．196

【分析】由绝对值和偶次方的非负性质解出、的值，再由勾股定理求出斜边的长，斜边长的平方即为正方形的面积．

【解析】，为正数，且，

，，

，，

以，的长为直角边作一个直角三角形的斜边长为，

以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为，

故选：．

6．（2021秋•禅城区期末）如图有一个水池，水面的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是　　

A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺

【分析】先设水池的深度为尺，则这根芦苇的长度为尺，根据勾股定理可得方程，再解即可．

【解析】设水池的深度为尺，由题意得：

，

解得：，

所以．

即：这个芦苇的高度是17尺．

故选：．

7．（2020秋•姑苏区期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，大正方形面积为64，小正方形面积为9，若用，表示直角三角形的两直角边长，请观察图案，下列关系式中不正确的是　　

A． B． C． D．

【分析】根据勾股定理得出方程组，进而解答即可．

【解析】根据勾股定理可得：①，②，

①②可得③，

，，

①③得，

，

选项、、不符合题意，选项符合题意，

故选：．

8．（2021春•德城区期末）如图，中，，若，则正方形和正方形的面积和为　　

A． B． C． D．无法计算

【分析】小正方形的面积为的平方，大正方形的面积为的平方．两正方形面积的和为，对于，由勾股定理得．长度已知，故可以求出两正方形面积的和．

【解析】正方形的面积为：，

正方形的面积为：；

在中，，，

则．

故选：．

9．（2021春•林州市期末）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为　　

A． B． C． D．

【分析】根据折叠的条件可得：，在直角中，利用勾股定理就可以求解．

【解析】将此长方形折叠，使点与点重合，．

．

，

根据勾股定理可知．

解得．

的面积为．故选：．

10．（2021秋•苏家屯区期中）如图有一个圆柱，它的高等于，底面上圆的周长等于，在圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是　　

A． B． C． D．

【分析】要想求得最短路程，首先要把和展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短求出蚂蚁爬行的最短路程．

【解析】如图，将圆柱体展开，连接、，根据两点之间线段最短，

根据题意可得：，是圆周的一半，

，

，

沿圆柱侧面爬行的最短路程是．

故选：．

二．填空题（共8小题）

11．（2021秋•市中区期末）如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形．若右边的直角三角形中，，，则阴影部分的面积是 　64　．

【分析】根据勾股定理求出，根据正方形的性质得到，根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可．

【解析】由勾股定理得，，

四边形为正方形，

，

阴影部分的面积，

故答案为：64．

12．（2021秋•兰考县期末）若一个直角三角形的两边长分别是，，则第三条边长是 　5或　．

【分析】分长为的边是直角边、长为的边是斜边两种情况，根据勾股定理计算即可．

【解析】当长为的边是直角边时，斜边长，

当长为的边是斜边时，另一条直角边，

综上所述，第三条边长为或，

故答案为：5或．

13．（2021秋•西湖区校级期末）如图，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若米，一男孩经扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，共经过了　　米．

【分析】首先在直角三角形中求得和，即可得到的长，然后在直角三角形中求得的长即可得到结论．

【解析】扶梯的坡比与长度之比）为，米，

（米，

（米，

米，的坡比与长度之比）为，米，

（米，

（米，

经过的路程（米，

故答案为：．

14．（2020春•金牛区期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，将绕点逆时针旋转后得到△，当点恰好落在直线上时，，，则△的面积为　或　．

【分析】分两种情况：①绕点逆时针旋转小于时，连接，由证得，得出，，证，，由三角形面积公式即可得出结果；

②绕点逆时针旋转大于时，连接，由证得，得出，，证，，由三角形面积公式即可得出结果．

【解析】分两种情况：

①绕点逆时针旋转小于时，如图1所示：

连接，

、都是等腰直角三角形，，，将绕点逆时针方向旋转后得△，

，，，，，

，

在和中，，

，

，，

，

，

，

；

②绕点逆时针旋转大于时，如图2所示：

连接，

、都是等腰直角三角形，，，将绕点逆时针方向旋转后得△，

，，，，

，

，

在和中，，

，

，，

，

，

，

，

，

；

故答案为：或．

15．（2021春•汉寿县期中）如图，每个小正方形的边长都为1，则的周长为　　．

【分析】根据题意和勾股定理，可以求得、、的长，然后即可得到的周长．

【解析】由题意可得，

，，，

的周长为：，

故答案为：．

16．（2020秋•海曙区期末）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了　9　米．（假设绳子是直的）

【分析】在中，利用勾股定理计算出长，再根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长．

【解析】在中：

，米，米，

（米，

此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，

（米，

（米，

（米，

答：船向岸边移动了9米．

故答案为：9．

17．（2021春•天津期中）如图，已知在中，，分别以，，为直径作半圆，面积分别记为，，，若，则等于　　．

【分析】根据勾股定理和圆的面积公式，可以得到的值，从而可以解答本题．

【解析】，

，

，，，

，

，

，

故答案为：．

18．（2021•高新区一模）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则的值为　　．

【分析】由，可得为大正方形面积的．设为，表示出空白部分的面积，即，则，再在中使用勾股定理得到关于，的方程，可求得的值．

【解析】，大正方形面积为，

．

设图2中，依题意则有：

，

即，

解得：（负值舍去）．

在中，

，

，

解得：（负值舍去）．

．

故答案为：．

三．解答题（共6小题）

19．（2021春•越秀区期末）如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．

【分析】先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．

【解析】，，，

，

在中，，

是直角三角形，且，

．

故四边形的面积为．

20．（2021秋•德惠市期末）《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪正前方30米的处，过了2秒后，小汽车行驶至处，若小汽车与观测点间的距离为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？

【分析】求出的距离，根据时间求出速度，从而可知道是否超速．

【解析】由勾股定理可得：，

40米千米，

2秒小时．

．

所以超速了．

21．（2021秋•任城区期中）如图，高速公路上有，两点相距，，为两村庄，已知，，于点，于，现要在上建一个服务站，使得，两村庄到站的距离相等，求的长．

【分析】根据题意设出的长为，再由勾股定理列出方程求解即可．

【解析】设，则，

由勾股定理得：

在中，

，

在中，

，

由题意可知：，

所以：，

解得：．

所以，的长是．

22．（2021秋•东坡区期末）如图，在中，点是边的中点，交于点，且．

（1）求证：；

（2）若，，求的长度．

【分析】（1）连接，由线段垂直平分线的性质可求得，再结合可求得，可证得结论；

（2）由是的中点可求得，在中，利用勾股定理结合已知条件可得到关于的方程，可求得的长．

【解答】（1）证明：连结，

是的中点，，

，

，

，

，

是直角三角形，即；

（2）解是的中点，，

，

，，

，

在中，，

，

，

解得：，

的长为．

23．（2018春•岱岳区期中）如图，已知一艘轮船以20海里时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里时的速度由南向北移动，距台风中心海里的圆形区域（包括边界）都属台风区．当轮船到处时，测得台风中心移到位于点正南方向处，且海里，若这艘轮船自处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由．

【分析】设途中会遇到台风，且最初遇到台风的时间为小时，此时轮船位于处，台风中心移到处，连接，根据勾股定理列方程求解即可．

【解析】设途中会遇到台风，且最初遇到的时间为，此时轮船位于处，台风中心移到处，连接，

则，

，

．

，

解得，（不合题意舍去）．

答：最初遇到的时间为．

24．（1）如图1，已知是的中线，，把沿所在直线对折，点落在点的位置（如图，则等于　45　度．

（2）如图2，有一直角三角形纸片，两直角边，，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，求的长．

【分析】（1）由折叠的性质可知，即，，又为的中线，故，即，为等腰直角三角形，可得；

（2）由折叠的性质可知，，，在中，由勾股定理求，由，设，则，在中，由勾股定理求即可．

【解析】（1）依题意，得，即，

又，为的中线，

，即，为等腰直角三角形，

；

（2）令，则，

由于是直角三角形且是折叠，所以，，

，，因为，

故在中运用勾股定理得：

，

，解得，即．