沪科版八年级下册第19章 四边形综合与测试课后练习题

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2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【沪科版】
专题19.10平行四边形的性质判定大题专练
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一．解答题（共24小题）
1．（2020秋•朝阳区校级月考）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于点O．
（1）求证：AD与BE互相平分；
（2）若AB⊥AC，AC＝BF，BE＝8，FC＝2，求AB的长．

【分析】（1）先证△ABC≌△DEF（ASA），得AB＝DE，再证四边形ABDE是平行四边形，即可得出结论；
（2）先求出BF＝3，则AC＝BF＝3，BC＝BF+FC＝5，然后由勾股定理即可得出答案．
【解答】（1）证明：如图，连接BD、AE，
∵FB＝CE，
∴BC＝EF，
又∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB＝DE，
又∵AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AD与BE互相平分；
（2）解：∵FB＝CE，
∴BE＝2BF+FC，
∴BF＝＝＝3，
∴AC＝BF＝3，BC＝BF+FC＝3+2＝5，
∵AB⊥AC，
∴由勾股定理得：AB＝＝＝4．

2．（2021春•庐阳区期末）如图，在▱ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE、CF，若BF＝DE，求证：∠BAE＝∠DCF．

【分析】由题意可证△ABE≌△CDF，可得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵BF＝DE，
∴BF﹣EF＝DE﹣EF，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠BAE＝∠DCF．
3．（2021•永嘉县校级模拟）如图，E，F是▱ABCD对角线BD上两点，且BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）连接AC，若∠BAF＝90°，AB＝4，AF＝AE＝3，求AC的长．

【分析】（1）连接AC，交BD于点O，由平行四边形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，证得OE＝OF，则即可得出结论；
（2）由勾股定理求出BF＝5，证出四边形AECF是菱形，得AC⊥EF，由勾股定理的OA2＝AB2﹣OB2＝AE2﹣OE2，解得OF＝1.8，则OA＝2.4，得AC＝2OA＝4.8．
【解答】（1）证明：连接AC，交BD于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，
∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）解：∵∠BAF＝90°，AB＝4，AF＝3，
∴BF＝＝＝5，
∵四边形AECF是平行四边形，AE＝AF，OE＝OF，OA＝OC，
∴四边形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，
∴OA2＝AB2﹣OB2＝AE2﹣OE2，
∴42﹣（5﹣OF）2＝32﹣OF2，
解得：OF＝1.8，
∴OA＝＝2.4，
∴AC＝2OA＝4.8．

4．（2021秋•南岗区校级期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF，且分别交对角线于点E、F，连接ED、BF．

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AE＝EF，请直接写出图2中面积等于四边形ABCD的面积的的所有三角形．
【分析】（1）首先连接BD，交AC于点O，由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得OA＝OC，OB＝OD，又由AE＝CF，可得OE＝OF，然后根据对角线互相相平分的四边形是平行四边形；
（2）根据等底等高的三角形的面积相等即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵BE∥DF，
∴∠BEF＝∠DFE，
∴∠BEA＝∠DFC，
在△BEA和△DFC中，
，
∴△BEA≌△DFC（AAS），
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）∵△BEA≌△DFC，
∴AE＝CF，
∵AE＝EF，
∴AE＝EF＝CF，
∴S△ADE＝S△DEF＝S△CDF＝S△ABE＝S△BEF＝S△BCF＝S△ABC，
∴S△ABF＝S△BCE＝S△ADF＝S△DCE＝S△ABC，
∵S△ABC＝S平行四边形ABCD，
∴S△ABF＝S△BCE＝S△ADF＝S△DCE＝S△ABC＝×S平行四边形ABCD，
∴S△ABF＝S△BCE＝S△ADF＝S△DCE＝S平行四边形ABCD，
∴图中所有面积等于四边形ABCD的面积的的所有三角形为△ADF，△DCE，△ABF，△BCE．
5．（2021春•九龙坡区期中）在四边形ABCD中，AD＝BC，点O是对角线AC的中点，点E是BC边上一点，连接EO并延长交AD于点F，交BA的延长线于点G，且OE＝OF．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若∠D＝63°，∠G＝42°，求∠GEC的度数．

【分析】（1）证△AOF≌△COE（SAS），得∠OAF＝∠OCE，则AD∥BC，再由AD＝BC，即可得出四边形ABCD是平行四边形；
（2）由平行四边形的性质得∠B＝∠D＝63°，再由三角形的外角性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵点O是对角线AC的中点，
∴OA＝OC，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（SAS），
∴∠OAF＝∠OCE，
∴AD∥BC，
又∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：由（1）得：四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝63°，
∴∠GEC＝∠B+∠G＝63°+42°＝105°．
6．（2021秋•任城区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝2∠ABE，求∠ABE的度数．

【分析】（1）证△AOD≌△COB（ASA），得AD＝CB，再由AD∥BC，即可得出结论；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得BE＝DE，则∠EBD＝∠EDB，再证∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝2x，然后由三角形内角和定理得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝CB，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：设∠ABE＝x，则∠DBF＝2x，
由（1）得：四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，
∵EF⊥BD，
∴BE＝DE，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵AD∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∴∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝2x，
∵∠BAD+∠ABE+∠EBD+∠EDB＝180°，
∴100°+x+2x+2x＝180°，
解得：x＝16°，
即∠ABE＝16°．
7．（2021•聊城）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．

【分析】（1）证△AOE≌△COD（ASA），得OD＝OE，再由AO＝CO，即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质得OB⊥AC，则平行四边形AECD是菱形，再由勾股定理求出OD＝3，则DE＝6，即可求解．
【解答】（1）证明：在△AOE和△COD中，
，
∴△AOE≌△COD（ASA），
∴OD＝OE，
又∵AO＝CO，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）解：∵AB＝BC，AO＝CO，
∴OB⊥AC，
∴平行四边形AECD是菱形，
∵AC＝8，
∴CO＝AC＝4，
在Rt△COD中，由勾股定理得：OD＝＝＝3，
∴DE＝2OD＝6，
∴菱形AECD的面积＝AC×DE＝×8×6＝24．
8．（2021春•饶平县校级期中）如图，分别延长▱ABCD的边CD，AB到E，F，使DE＝BF，连接EF，分别交AD，BC于G，H，连接CG，AH．求证：CG∥AH．

【分析】由平行四边形的对边平行且相等，再利用平行线的性质得到一对角相等，利用AAS得到三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到DG＝BH，进而得到AG＝HC，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到AGCH为平行四边形，即可得证．
【解答】证明：在▱ABCD中，
AB∥CD，AD∥CB，AD＝CB，
∴∠E＝∠F，∠EDG＝∠DCH＝∠FBH，
又 DE＝BF，
∴△EGD≌△FHB（AAS），
∴DG＝BH，
∴AG＝HC，
又∵AD∥CB，
∴四边形AGCH为平行四边形，
∴AH∥CG．
9．（2018•石阡县模拟）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝2，求平行四边形ABCD的面积．

【分析】（1）由平行四边形的性质得AB＝CD，AD∥BE，再证∠BAE＝∠E得到AB＝BE，即可得出BE＝CD；
（2）先证△ABE为等边三角形得到AE＝2，且AF＝EF＝1，则根据勾股定理得BF＝，易证△ADF≌△ECF，得出平行四边形ABCD的面积等于△ABE的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AEB＝∠DAE，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD；
（2）解：∵AB＝BE，∠BEA＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝2，
∵BF⊥AE，
∴AF＝EF＝1，
∴BF＝＝＝，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠ECF，∠DAF＝∠E，
在△ADF和△ECF中，，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴△ADF的面积＝△ECF的面积，
∴平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积＝AE•BF＝×2×＝．
10．（2021•高青县一模）如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A＝∠F，∠C＝∠D．
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）已知DE＝3，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．

【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明；
（2）根据平行四边形的性质和角平分线定义可以证明CN＝CB＝DE．
【解答】（1）证明：∵∠A＝∠F，
∴DF∥AC，
∴∠C＝∠FEC，
又∵∠C＝∠D，
∴∠FEC＝∠D，
∴DB∥EC，
∴四边形BCED是平行四边形；
（2）解：∵BN平分∠DBC，
∴∠DBN＝∠CBN，
∵BD∥EC，
∴∠DBN＝∠BNC，
∴∠CBN＝∠BNC，
∴CN＝BC，
又∵BC＝DE＝3，
∴CN＝3．
11．（2017•蓬江区校级开学）如图，已知△ABC和△ADE均是等边三角形，点D在线段BC上，过点E作EF∥BC，交B于点F，交AC于点G，连接CF、DG．
（1）求证：EF＝CD；
（2）求证：四边形BFGD是平行四边形．

【分析】（1）由SAS证明△ACD≌△ABE得出CD＝BE，∠ACD＝∠ABE，由平行线的性质得出∠ABC＝∠EFB，得出∠ABE＝∠EFB，证出EB＝EF，得出EF＝CD，即可得出结论；
（2）由（1）得到EF＝CD，∠EBF＝∠ABC＝∠ACB＝60°，根据平行线的判定定理得到BE∥CG，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接BE，
∵△ABC和△ADE均是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠DAC＝∠EAB，
在△ACD和△ABE中，
，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴CD＝BE，∠ACD＝∠ABE＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠ABC＝∠EFB，
∴∠ABE＝∠EFB，
∴EB＝EF，
∴EF＝CD；
（2）解：由（1）知，EF＝CD，∠EBF＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠EBC+∠ACB＝180°，
∴BE∥CG，
∵EF∥BC，
∴四边形BEGC是平行四边形，
∴EG＝BC，
∴EG﹣EF＝BC﹣CD，
∴FG＝DB，
∵FG∥DB，
∴四边形BFGD是平行四边形．

12．（2021春•阿荣旗期末）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求▱ABCD的周长．

【分析】（1）根据平行四边形的性质得出OD＝OB，DC∥AB，推出∠FDO＝∠EBO，证出△DFO≌△BEO即可；
（2）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，由线段垂直平分线的性质得出AE＝CE，由已知条件得出BC+AB＝10，即可得出▱ABCD的周长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，DC∥AB，
∴∠FDO＝∠EBO，
在△DFO和△BEO中，，
∴△DFO≌△BEO（ASA），
∴OE＝OF．

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，
∵EF⊥AC，
∴AE＝CE，
∵△BEC的周长是10，
∴BC+BE+CE＝BC+BE+AE＝BC+AB＝10，
∴▱ABCD的周长＝2（BC+AB）＝20

13．（2021•柳南区校级模拟）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，E是AB延长线上一点且BE＝AB，连接CE，BD．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）连接DE，若AB＝BD＝4，DE＝2，求平行四边形BECD的面积．

【分析】（1）由平行四边形的性质得到CD＝AB，CD∥AE，由AB＝BE得到CD＝BE，根据平行四边形的判定即可证得结论；
（2）过D作DH⊥AE于H，根据勾股定理得到BD2﹣BH2＝DE2﹣EH2＝DH2，可求得BH，再由勾股定理求得DH，根据平行四边形的面积公式即可求得结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AE，
∵AB＝BE，
∴CD＝BE，CD∥BE，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）解：过D作DH⊥AE于H，
∵AB＝BD＝4，
∴BE＝AB＝4，
∴BD2﹣BH2＝DE2﹣EH2＝DH2，
∴42﹣BH2＝（2）2﹣（4﹣BH）2，
∴BH＝3，
∴DH＝＝＝，
∴平行四边形BECD的面积＝BE•DH＝4×＝4．

14．（2021春•滨湖区期中）如图，已知四边形ABCD，AD＝BC，AB＝DC，对角线AC、BD相交于点O，点E是四边形ABCD外一点．
（1）求证：AC、BD互相平分；
（2）若∠AEC＝∠BED＝90°，请判断四边形ABCD的形状，并给予证明．

【分析】（1）证四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论；
（2）由（1）得：四边形ABCD是平行四边形，则OA＝OC，OB＝OD，再由直角三角形斜边上的中线性质得OE＝AC，OE＝BD，则AC＝BD，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AD＝BC，AB＝DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC、BD互相平分；
（2）解：四边形ABCD是矩形，证明如下：
连接OE，如图所示：
由（1）得：四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵∠AEC＝∠BED＝90°，
∴OE＝AC，OE＝BD，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．

15．（2021春•苏州期中）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AC与EF交于点O，且AO＝CO．
（1）求证：AF＝EC；
（2）连接AE，CF，若AC＝8，EF＝6，且EF⊥AC，求四边形AECF的周长．

【分析】（1）先由ASA证明△AOF≌△COE，得出FO＝EO，再由AO＝CO，即可得出结论；
（2）根据平行四边形的对角线互相平分确定OE＝3，OA＝4，然后求得AE＝5，从而求得答案．
【解答】（1）证明：连接AE，CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA）
∴FO＝EO，
又∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF＝EC；

（2）解∵四边形AECF是平行四边形，AC＝8，EF＝6，
∴OA＝OC＝4，OE＝OF＝3，
∵EF⊥AC，
∴AE＝EC＝CF＝FA＝＝5，
∴四边形AECF的周长为4×5＝20．

16．（2021春•宜兴市期中）如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE．求证：
（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形．

【分析】（1）利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS），这一判定定理容易证明△AFD≌△CEB．
（2）由△AFD≌△CEB，容易证明AD＝BC且AD∥BC，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【解答】证明：（1）∵DF∥BE，
∴∠DFE＝∠BEF．
在△ADF和△CBE中，
，
∴△AFD≌△CEB（SAS）；

（2）由（1）知△AFD≌△CEB，
∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，
∴AD∥BC．
∴四边形ABCD是平行四边形．

17．（2021•饶平县校级模拟）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF，连接AE并延长，交BC于点G，连接CF并延长，交AD于点H．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AC平分∠HAG，判断四边形AGCH的形状，并证明你的结论．

【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形证明△AOE≌△COF，即可得结论；
（2）结合（1）证明四边形AGCH是平行四边形，再根据已知条件证明GA＝GC，即可得结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，
即OE＝OF，
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF．
（2）四边形AGCH是菱形．理由如下：
∵△AOE≌△COF，
∴∠EAO＝∠FCO，
∴AG∥CH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴四边形AGCH是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴∠HAC＝∠ACB，
∵AC平分∠HAG，
∴∠HAC＝∠GAC，
∵∠GAC＝∠ACB，
∴GA＝GC，
∴平行四边形AGCH是菱形．
18．（2021•雨花区一模）如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE．
（2）若∠BAF＝90°，BC＝5，EF＝3，求CD的长．

【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，证出∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF，由AAS证明△ADE≌△FCE即可；
（2）由全等三角形的性质得出AE＝EF＝3，由平行线的性质证出∠AED＝∠BAF＝90°，求出DE，即可得出CD的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF，
∵E是▱ABCD的边CD的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（AAS）；
（2）∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF＝3，
∵AB∥CD，
∴∠AED＝∠BAF＝90°，
在△ADE中，AD＝BC＝5，
∴DE＝＝4，
∴CD＝2DE＝8．
19．（2020•秦淮区二模）如图，点E、F分别在▱ABCD的边AB、CD的延长线上，且BE＝DF，连接AC、EF、AF、CE，AC与EF交于点O．
（1）求证：AC、EF互相平分；
（2）若EF平分∠AEC，判断四边形AECF的形状并证明．

【分析】（1）要证明线段AC与EF互相平分，可以把这两条线段作为一个四边形的对角线，然后证明这个四边形是平行四边形即可；
（2）要证四边形AECF是菱形，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC．
又∵BE＝DF，
∴AB+BE＝DC+DF，
即AE＝CF．
∵AE＝CF，AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
∴AC、EF互相平分．
（2）四边形AECF是菱形．
证明：∵AB∥DC，
∴∠AEO＝∠CFO．
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEO＝∠CEO．
∴∠CEO＝∠CFO．
∴CE＝CF．
∵四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形．
20．（2020春•扬中市期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA＝OC，AB∥CD．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若BE平分∠ABC，交AD于E，BC﹣AB＝2，求DE长．
（3）若∠AOB＝2∠ADB时，则平行四边形ABCD为　矩　形．

【分析】（1）运用ASA证明△ABO≌△CDO得AB＝CD，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可证得结论；
（2）根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE＝∠AEB，继而可得AB＝AE，然后根据已知可求得DE的长度；
（3）由∠AOB＝2∠ADB可得∠OAD＝∠ADO，由平行四边形的性质可得AC＝BD，从而可得结论．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BAO＝∠DCO，
在△ABO和△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO（ASA），
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE∥BC，AD＝BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∴DE＝AD﹣AE＝BC﹣AB，
∵BC﹣AB＝2，
∴DE＝2；
（3）∵∠AOB是△ADO的外角，
∴∠AOB＝∠OAD+∠ODA，
∵∠AOB＝2∠ADB，
∠OAD＝∠ODA，
∴AO＝DO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，DO＝BO，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
故答案为：矩．
21．（2020春•高新区期末）如图，四边形ABCD中AC、BD相交于点O，延长AD至点E，连接EO并延长交CB的延长线于点F，∠E＝∠F，AD＝BC．
（1）求证：O是线段AC的中点：
（2）连接AF、EC，证明四边形AFCE是平行四边形．

【分析】（1）证明四边形ABCD是平行四边形，则结论得出；
（2）证明△OAE≌△OCF（ASA）．则OE＝OF，可得出结论．
【解答】证明：（1）∵∠E＝∠F，
∴AD∥BC，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC，BD互相平分；
即O是线段AC的中点．
（2）∵AD∥BC，
∴∠EAC＝∠FCA，
在△OAE和△OCF中，
，
∴△OAE≌△OCF（ASA）．
∴OE＝OF，
又∵OA＝OC，
∴四边形AFCE是平行四边形．
22．（2020•江都区二模）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）过点D作DG⊥AE于点G，H为DG的中点．判断CH与DG的位置关系，并说明理由．

【分析】（1）根据平行四边形的性质，利用ASA即可证明．
（2）结论：CH⊥DG．利用三角形中位线定理，证明CH∥AF即可解决问题．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠B＝∠ECF
∵E为BC的中点，
∴BE＝CE，
在△ABE和△FCE中，

∴△ABE≌△FCE．

（2）结论：CH⊥DG．理由如下：
∵△ABE≌△FCE，
∴AB＝CF，
∵AB＝CD，
∴DC＝CF，
∵H为DG的中点，
∴CH∥FG
∵DG⊥AE，
∴CH⊥DG．

23．（2021春•甘孜州期末）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，M，N分别是AB、AD的中点．
（1）求证：四边形AMON是平行四边形；
（2）若AC＝6，BD＝4，∠AOB＝90°，求四边形AMON的周长．

【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AO＝BO，BO＝CO，AB∥CD，AD∥BC，根据三角形中位线的性质得到∴MO∥BC，NO∥CD，根据平行四边形的判定可证得结论；
（2）由勾股定理求得AB＝，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到OM＝AM＝，进而可求得结论．
【解答】（1）根据平行四边形的性质得到AO＝OC，BO＝OD，AB∥CD，AD∥BC，
由三角形的中位线的性质得到MO∥AD，NO∥AB，
∴MO∥AN，NO∥AM，
∴四边形AMON是平行四边形；
（2）解：∵AC＝6，BD＝4，
∴AO＝3，BO＝2，
∵∠AOB＝90°，
∴AB＝＝＝，
∴ON＝AM＝MB＝，
∴MO＝AN＝，
四边形AMON的周长＝AM+OM+AN+NO＝2．
24．（2020•道里区三模）已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，连接AE并延长至点G，使EG＝AE，连接CF、CG．
（1）如图1，求证：EG＝FC；
（2）如图2，连接BG、OG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的四个平行四边形，使写出每个平行四边形的面积都等于平行四边形ABCD面积的一半．

【分析】（1）由平行四边形的性质得AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，由平行线的性质得∠ABE＝∠CDF，易证BE＝DF，由SAS证得△ABE≌△CDF（SAS），得出AE＝FC，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得OA＝OC，AB∥CD，AB＝CD，S四边形ABCD＝4S△ABO，易证AG、OB互相平分，则四边形ABGO是平行四边形，S四边形ABGO＝2S△ABO＝S四边形ABCD，易证OE是△ACG的中位线，则OE∥CG，易证四边形BOCG是平行四边形，S四边形BGCO＝2S△BGO＝2S△ABO＝S四边形ABCD，证GO∥CD，GO＝CD，则四边形CDOG是平行四边形，S四边形CDOG＝2S△CDO＝2S△ABO＝S四边形ABCD，证CG∥EF，EF＝CG，则四边形EFCG是平行四边形，S四边形EFCG＝S四边形CDOG＝S四边形ABCD．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝OB，DF＝OD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝FC，
∵EG＝AE，
∴EG＝FC；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB∥CD，AB＝CD，S四边形ABCD＝4S△ABO，
∵EG＝AE，点E为OB的中点，
∴AG、OB互相平分，
∴四边形ABGO是平行四边形，
∴S△ABO＝S△BGO，
∴S四边形ABGO＝2S△ABO＝S四边形ABCD，
∵OA＝OC，EG＝AE，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE∥CG，
∵四边形ABGO是平行四边形，
∴BG∥AC，
∴四边形BOCG是平行四边形，
∴S四边形BGCO＝2S△BGO＝2S△ABO＝S四边形ABCD，
∵四边形ABGO是平行四边形，
∴GO∥AB，GO＝AB，
∵AB∥CD，
∴GO∥CD，GO＝CD，
∴四边形CDOG是平行四边形，
∴S四边形CDOG＝2S△CDO＝2S△ABO＝S四边形ABCD，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴EF＝BD＝OD，
∵四边形CDOG是平行四边形，
∴CG∥EF，CG＝OD，
∴EF＝CG，
∴四边形EFCG是平行四边形，
∴S四边形EFCG＝S四边形CDOG＝S四边形ABCD，
∴图中的平行四边形ABGO、平行四边形BOCG、平行四边形CDOG、平行四边形EFCG四个平行四边形，每个平行四边形的面积都等于平行四边形ABCD面积的一半．