沪科版八年级下册第20章 数据的初步分析20.2 数据的集中趋势与离散程度同步达标检测题

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2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【沪科版】
专题20.3数据的离散程度
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021秋•青羊区校级期末）甲、乙、丙、丁四名学生近4次数学测验成绩的平均数都是110分，方差分别是S甲2＝6，S乙2＝24，S丙2＝25.5，S丁2＝36，则这四名学生的数学成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵S甲2＝6，S乙2＝24，S丙2＝25.5，S丁2＝36，
∴S甲2＜S乙2＜S丙2＜S丁2，
∴这四名学生的数学成绩最稳定的是甲，
故选：A．
2．（2021秋•浑南区期末）某校八年级人数相等的甲、乙、丙三个班，同时参加了一次数学测试，对成绩进行了统计分析，平均分都是72分，方差分别为S甲2＝206，S乙2＝198，S丙2＝156，则成绩波动最小的班级（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵S甲2＝206，S乙2＝198，S丙2＝156，
∴S丙2＜S乙2＜S甲2，
∴成绩波动最小的班级是丙，
故选：C．
3．（2021秋•高台县期末）若一组数据3，x，4，5，7的平均数为5，则这组数据中x的值和方差为（　　）
A．3和2 B．4和3 C．5和2 D．6 和2
【分析】根据平均数的计算方法求出x的值，再根据方差的计算方法求出结果即可．
【解答】解：由题意得，3+x+4+5+7＝5×5，
解得x＝6，
∴这组数据为3、4、5、6、7，
∴这组数的方差为：[（3﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（7﹣5）2]＝2，
即x＝6，方差为2，
故选：D．
4．（2021秋•榆林期末）班级准备推选一名同学参加学校演讲比赛，在五轮班级预选赛中，甲、乙、丙三名同学五轮预选赛成绩的平均数和方差如表所示：

甲
乙
丙
平均数/分
96
95
97
方差
0.4
2
2
丁同学五轮预选赛的成绩依次为：97分、96分、98分、97分、97分，根据表中数据，要从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名成绩好又发挥稳定的同学参赛，应该选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】先根据方差和平均数的定义求出丁的平均成绩和方差，再根据方差的意义判断即可．
【解答】解：丁的平均成绩为＝97（分），
丁的方差为×[3×（97﹣97）2+（96﹣97）2+（98﹣97）2]＝0.4，
∵丙、丁的平均成绩大于甲、乙，且丁的方差最小，
∴丁的成绩好且发挥稳定，
故选：D．
5．（2021秋•沙坪坝区校级期末）2022年冬季奥运会将在北京市张家口举行，下表记录了四名短道速滑选手几次选拔赛成绩的平均数和方差s2：

小明
小红
小芳
小米
平均数（单位：秒）
53
m
52
49
方差s2（单位：秒2）
5.5
n
12.5
17.5
根据表中数据，可以判断小红是这四名选手中成绩最好且发挥最稳定的运动员，则m、n的值可以是（　　）
A．m＝48，n＝4 B．m＝48，n＝18 C．m＝55，n＝4 D．m＝55，n＝18
【分析】根据算术平均数和方差的意义求解即可．
【解答】解：根据小红是这四名选手中成绩最好且发挥最稳定的运动员知m＜49，n＜5.5，
所以符合此条件的是m＝48，n＝4，
故选：A．
6．（2021秋•市南区期末）通过统计甲、乙丙丁四名同学某学期的四次数学测试成绩，得到甲、乙、丙丁三名同学四次数学测试成绩的方差分别为S甲2＝24，S乙2＝18，S丙2＝21，丁同学四次数学测试成绩（单位：分）如表：

第一次
第二次
第三次
第四次
丁同学
100
100
110
110
则这四名同学四次数学测试成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】求得丁同学的方差后与前三个同学的方差比较，方差最小的成绩最稳定．
【解答】解：丁同学的平均成绩为：×（100+100+110+110）＝105；
方差为S丁2＝×[2×（100﹣105）2+2×（110﹣105）2]＝25，
所以四个人中乙的方差最小，成绩最稳定，
故选：B．
7．（2019秋•海陵区校级期中）小明和小丽在计算一组数据的方差时，小丽计算的结果为a，小明把其中每个数据都加上2，算出的方差为b，则（　　）
A．b＝a B．b＝2a C．b＝a2 D．b＝4a
【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．
【解答】解：∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，方差不变，
∴所得到的一组新数据的方差b＝a．
故选：A．
8．（2020•河南一模）2020年春节新冠肺炎袭扰中国，习近平指挥全民战“疫”，全世界各国积极响应，纷纷捐款捐物献策，今年春节不串门，武汉加油显精神．科研人员夜以继日寻良药，白衣天使逆行而上抗病魔．某兴趣小组了解到一组关于新冠肺炎治愈的数据，从1月30日到2月4日的治愈人数不断增长，每日增长率分别为37.9%，42.1%，35.0%，44.8%，33.1%，41.1%．关于这组数据，下列说法正确的是（　　）
A．方差是0 B．众数是42.0%
C．平均数是39.0% D．中位数是39.9%
【分析】直接利用方差的意义以及平均数的求法和中位数、众数的定义分别分析得出答案．
【解答】解：A、∵5个数据不完全相同，∴方差不可能为零，故此选项错误；
B、∵5个数据都不相同，∴众数不是42.0%，故此选项错误；
C、（37.9%+42.1%+35.0%+44.8%+33.1%+41.1%）＝39.0%，故此选项正确；
D、按大小顺序排序为：33.1%，35.0%，37.9%，41.1%，42.1%，44.8%，则中位数是：＝39.5%，故此选项错误；
故选：C．
9．（2020秋•莱州市期末）如图，是学校举行“爱国主义教育”比赛活动中获得前10名学生的参赛成绩，对于这些成绩，下列说法正确的是（　　）

A．众数是90分 B．中位数是95分
C．平均数是95分 D．方差是15
【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义和统计图中提供的数据分别列出算式，求出答案．
【解答】解：A、众数是90分，人数最多，正确；
B、中位数是90分，错误；
C、平均数是＝91（分），错误；
D、×[（85﹣91）2×2+（90﹣91）2×5+（100﹣91）2+2（95﹣91）2]＝19（分2），错误；
故选：A．
10．（2021•盘锦）甲、乙、丙、丁四人10次随堂测验的成绩如图所示，从图中可以看出这10次测验平均成绩较高且较稳定的是（　　）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】利用平均数和方差的意义进行判断．
【解答】解：由折线统计图得：丙、丁的成绩在92附近波动，甲、乙的成绩在91附近波动，
∴丙、丁的平均成绩高于甲、乙，
由折线统计图得：丙成绩的波动幅度小于丁成绩的波动幅度，
∴这四人中丙的平均成绩好又发挥稳定，
故选：C．
二、 填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021秋•龙华区期末）甲、乙、丙三位同学参加演讲比赛，经过三轮比赛后，三人的成绩平均分相同，方差分别是S甲2＝1.2，S乙2＝3.3，S丙2＝1.5．你认为成绩比较稳定的是 　甲　（填“甲”或“乙”或“丙”）．
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵S甲2＝1.2，S乙2＝3.3，S丙2＝1.5，
∴S甲2＜S丙2＜S乙2，
∴成绩比较稳定的是甲，
故答案为：甲．
12．（2021秋•徐州期末）抽查甲、乙两种消毒用品的净含量，若其方差分别为S甲2＝1.5ml2，S乙2＝1.1ml2，则净含量较为稳定的是 　乙　．（填“甲”或“乙”）
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵S甲2＝1.5ml2，S乙2＝1.1ml2，
∴S乙2＜S甲2，
∴净含量较为稳定的是乙，
故答案为：乙．
13．（2022•东城区校级开学）第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬奥会，将于2022年2月4日至2月20日，在北京市和张家口市同时举行．为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，小冬从初中三个年级各随机抽取10人，进行了相关测试，获得了他们的成绩（单位：分），序号为1～10的学生是七年级的，他们的成绩的方差记为s12；序号为11～20的学生是八年级的，他们的成绩的方差记为s22，序号为21～30的学生是九年级的，他们的成绩的方差记为s32，直接写出，s12，s22，s32的大小关系 　s22＞s12＞s32　．

【分析】从图的数据分布的离散程度进行判断即可
【解答】解：∵方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大，
由图可知，八年级数据波动最大，九年级波动最小，
∴s22＞s12＞s32；
故答案为：s22＞s12＞s32．
14．（2021秋•芝罘区期末）一组数据的方差计算如下：S2＝[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+…+（xn﹣2）2]，则这组数据的和是 　12　．
【分析】由方差的计算算式知，这组数据共有6个，且这组数据的平均数为2，再根据平均数的概念可得答案．
【解答】解：由方差的计算算式知，这组数据共有6个，且这组数据的平均数为2，
所以这组数据的和为6×2＝12，
故答案为：12．
15．（2020•潍坊三模）张老师随机抽取6名学生，测试他们的文字输入能力，测得他们每分钟打字个数分别为：100，80，80，90，60，70，那么这组数据的方差是　　．
【分析】先求出这组数据的平均数，再根据方差的计算方法计算方差即可．
【解答】解：这组数据的平均数为＝80（个），
∴S＝[（100﹣80）2+（80﹣80）2+（80﹣80）2+（60﹣80）2+（90﹣80）2+（70﹣80）2]＝，
故答案为：．
16．（2021秋•栖霞市期末）已知一组数据x1，x2，x3，…xn的方差是3，则另一组数据2x1+3，2x2+3，2x3+3，…2xn+3的方差是 　12　．
【分析】先设这组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为，由方差S2＝3，则另一组新数据2x1+3，2x2+3，2x3+3，…2xn+3的平均数为2+3，方差为S′2，代入公式S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]计算即可．
【解答】解：设这组数据x1，x2，x3，…xn的平均数为，则另一组新数据2x1+3，2x2+3，2x3+3，…2xn+3的平均数为2+3，
∵S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]
＝3，
∴方差为S′2＝[（2x1+3﹣2﹣3）2+（2x2+3﹣2﹣3）2+…+（2xn+3﹣2﹣3）2]
＝[4（x1﹣）2+4（x2﹣）2+…+4（xn﹣）2]
＝4×3
＝12，
故答案为12．
17．（2020•山西）某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会，组织了6次预选赛，其中甲，乙两名运动员较为突出，他们在6次预选赛中的成绩（单位：秒）如下表所示：
甲
12.0
12.0
12.2
11.8
12.1
11.9
乙
12.3
12.1
11.8
12.0
11.7
12.1
由于甲，乙两名运动员的成绩的平均数相同，学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是　甲　．
【分析】分别计算、并比较两人的方差即可判断．
【解答】解：甲的平均成绩为：（12.0+12.0+12.2+11.8+12.1+11.9）＝12秒，
乙的平均成绩为：（12.3+12.1+11.8+12.0+11.7+12.1）＝12秒；
分别计算甲、乙两人的百米赛跑成绩的方差为：
S甲2＝[（12.2﹣12）2+（11.8﹣12）2+（12.1﹣12）2+（11.9﹣12）2]＝，
S乙2＝[（12.3﹣12）2+2（12.1﹣12）2+（11.8﹣12）2+（11.7﹣12）2]＝，
∵＜，
∴甲运动员的成绩更为稳定；
故答案为：甲．
18．（2020秋•济南期末）2022年将在北京﹣﹣张家口举办冬季奥运会，北京将成为世界上第一个既举办夏季奥运会，又举办冬季奥运会的城市．某队要从两名选手中选取一名参加比赛，为此对这两名队员进行了五次测试，测试成绩如图所示，　A　选手的成绩更稳定．

【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【解答】解：根据统计图可得出：SA2＜SB2，
则A选手的成绩更稳定，
故答案为：A．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021•江都区模拟）为了从小华和小亮两人中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击水平进行测试，两人在相同条件下各射击6次，命中的环数如下（单位：环）：
小华：7，8，7，8，9，9；小亮：5，8，7，8，10，10．
（1）下面表格中，a＝　8　；b＝　8　；c＝　　；

平均数（环）
中位数（环）
方差（环2）
小华
a
8
c
小亮
8
b
3
（2）根据以上信息，你认为教练会选择谁参加比赛，理由是什么？
（3）若小亮再射击2次，分别命中7环和9环，则小亮这8次射击成绩的方差　变小　．（填“变大”、“变小”、“不变”）
【分析】（1）根据平均数、中位数、方差的计算方法分别计算即可；
（2）通过平均数、方差的大小，得出结论；
（3）计算出小亮再射击2后8次的平均数、方差，通过方差的比较得出答案．
【解答】解：（1）小华的平均成绩a＝（7+8+7+8+9+9）÷6＝8（环），
小华的方差c＝[（7﹣8）2×2+（8﹣8）2×2+（9﹣8）2×2]＝（环2），
把小亮的成绩从小到大排列为5，7，8，8，10，10，
则中位数b＝＝8（环），
故答案为：8，8，；

（2）∵小亮的方差是3，小华的方差是，即3＞，
又∵小亮的平均数和小华的平均数相等，
∴选择小华参赛．

（3）小亮再射击后的平均成绩是（8×6+7+9）÷8＝8（环），
射击后的方差是：[（5﹣8）2+（7﹣8）2×2+（9﹣8）2+（10﹣8）2×2]＝2.5（环2），
∵2.5＜3，
∴小亮这8次射击成绩的方差变小．
故答案为：变小．
20．（2021春•怀化期末）县射击队要从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省里比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）：

第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
甲
10
8
9
8
10
9
乙
10
7
10
10
9
8
（1）根据表格中数据，分别计算甲、乙的平均测试成绩是多少环？乙运动员测试数据的中位数是多少？
（2）分别计算甲、乙测试成绩的方差；
（3）根据（1）、（2）的计算结果，你认为推荐谁参加省里比赛较合适？请说明理由．
【分析】（1）根据平均数的计算公式和中位数的定义即可得出答案；
（2）根据方差的公式进行计算即可得出答案；
（3）根据方差的意义即方差越小越稳定即可得出答案．
【解答】解：（1）＝×（10+8+9+8+10+9）＝9（环），
＝×（10+7+10+10+9+8）＝9（环），
乙的测试成绩由小到大为：7、8、9、10、10、10，
则乙的中位数是：＝9.5（环）．

（2）S甲2＝×[（10﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（8﹣9）2+（10﹣9）2+（9﹣9）2]＝；
S乙2＝×[（10﹣9）2+（7﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2+（9﹣9）2+（8﹣9）2]＝；

（3）∵甲、乙的测试平均成绩都是9环，而S甲2＝＜，即甲的成绩相对来说比较稳定，
∴推荐甲运动员参加省里比赛较合适．
21．（2021春•宁波期末）博才中学要从甲、乙两名同学中选拔一名同学代表学校参加“华罗庚金杯”数学竞赛活动．这两位活动同学最近四次的数学测验成绩如下表：（单位：分）

第一次
第二次
第三次
第四次
甲
75
70
85
90
乙
85
82
75
78
（1）根据表中数据，分别求出甲、乙两名同学这四次数学测验成绩的平均分；
（2）经计算，甲、乙两位同学这四次数学测验成绩的方差分别为S甲2＝62.5，S乙2＝14.5，学校决定选派成绩较为稳定的同学去参加比赛，你认为应选哪位同学？请说明理由．
【分析】（1）由平均数的公式计算即可；
（2）方差越小，成绩越稳定，反之，方差越大，成绩越不稳定．
【解答】解：（1）甲＝×（75+70+85+90）＝80，
乙＝×（75+78+85+82）＝80；
（2）∵S甲2＝62.5，S乙2＝14.5，
∴S甲2＞S乙2，
∴乙的成绩更稳定，应选派乙同学．
22．（2020•老河口市模拟）某工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
收集数据从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百分制）如表：
甲
78
86
74
81
75
76
87
70
75
90
75
79
81
70
74
80
86
69
83
77
乙
93
73
88
81
72
81
94
83
77
83
80
81
70
81
73
78
82
80
70
40
整理、描述数据按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
成绩x
人数
部门
40≤x≤49
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
甲
0
0
1
11
7
1
乙
1
0
0
7
10
2
（说明：成绩80分及以上为生产技能优秀，70～79分为生产技能良好，60～69分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格）
分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：
部门
平均数
中位数
众数
方差
甲
78.3
77.5
m
33.61
乙
78
n
81
117.5
得出结论a．上表中m＝　75　，n＝　80.5　；
b．甲、乙两个部门员工的生产技能水平比较均衡的是　甲　部门，估计乙部门生产技能优秀的员工人数为　240　；
c．可以推断出　甲　部门员工的生产技能水平较高，理由为　①甲平均分较高；②甲没有技能不合格的员工　．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
【分析】a．众数是指一组数据出现次数最多的数据；偶数个数据的中位数是指中间两个数据相加再除以2．据此结合表中数据可解；
b．方差小的数据均衡，则比较两组数据的方差即可得出生产技能水平比较均衡的部门；用400乘以样本数据中乙部门的优秀率即可；
c．从平均分及有无不合格的员工可推断出甲部门员工的生产技能水平较高．
【解答】解：a．由题中第一个表格可知：
甲中出现次数最多的是75，则众数为75，即m＝75；
由第二个表格可知：乙的第10和11个数据在80≤x≤89范围内；
再观察第一个表可知，第10个数为80，第11个数为81，故中位数为＝80.5，即n＝80.5．
故答案为：75，80.5；
b．∵甲的方差为33.61，乙的方差为117.5，
∴甲的方差＜乙的方差，
∴甲、乙两个部门员工的生产技能水平比较均衡的是甲部门；
∵成绩80分及以上为生产技能优秀，乙符合此条件的有10+2＝12（人），
∴估计乙部门生产技能优秀的员工人数为：400×＝240（人）．
故答案为：甲，240；
c．可以推断出甲部门员工的生产技能水平较高，理由为：
①甲平均分较高；②甲没有技能不合格的员工．
故答案为：甲；①甲平均分较高；②甲没有技能不合格的员工．
23．（2021•柯桥区模拟）某厂生产A，B两种产品，其单价随市场变化而相应调整，营销人员根据前三次单价变化的情况，绘制了如下统计表：

第一次
第二次
第三次
A产品单价（元/件）
6
5.2
6.5
B产品单价（元/件）
3.5
4
3
并求得了A产品三次单价的平均数和方差：
＝5.9；SA2＝[（6﹣5.9）2+（5.2﹣5.9）2+（6.5﹣5.9）2]＝
（1）求B产品三次单价的方差，并比较哪种产品的单价波动小；
（2）该厂决定第四次调价，A产品的单价仍为6.5元/件，B产品的单价比3元/件上调m%（m＞0），使得A产品这四次单价的中位数是B产品四次单价中位数的2倍少1，求m的值．
【分析】（1）根据平均数的计算公式先求出B产品的平均数，再代入方差公式求出B的方差，最后与A的方差进行比较，即可得出答案；
（2）首先确定这四次单价的中位数，然后确定第四次调价的范围，根据“A产品这四次单价的中位数是B产品四次单价中位数的2倍少1”列式求m即可．
【解答】解：（1）＝（3.5+4+3）＝3.5，
SB2＝[（3.5﹣3.5）2+（4﹣3.5）2+（3﹣3.5）2]＝，
∵＜，
∴B产品的单价波动小；

（2）第四次调价后，对于A产品，这四次单价的中位数为＝；
对于B产品，∵m＞0，
∴第四次单价大于3，
∵﹣1＞，
∴第四次单价小于4，
∴×2﹣1＝，
∴m＝25．
24．（2021秋•临清市期末）下面的表格是小明一学期数学成绩的记录，根据表格提供的信息回答下面的问题．
考试类别
平时
期中考试
期末考试
第一单元
第二单元
第三单元
第四单元
成绩
88
92
90
86
90
96
（1）小明6次成绩的众数是 　90　分；中位数是 　90　分；
（2）计算小明平时成绩的平均分；
（3）计算小明平时成绩的方差；
（4）按照学校规定，本学期的综合成绩的权重如图所示，请你求出小明本学期的综合成绩，要写出解题过程．

【分析】（1）将6次成绩重新排列，再根据中位数和众数的概念求解即可；
（2）根据算术平均数的定义列式计算即可；
（3）根据方差的定义列式计算即可；
（4）根据加权平均数的定义列式计算即可．
【解答】解：（1）成绩从大到小排列为96，92，90，90，88，86，
则中位数是：＝90分，众数是90分，
故答案是：90，90；
（2）小明平时成绩的平均分为＝89（分）；
（3）小明平时成绩的方差为×[（88﹣89）2+（92﹣89）2+（90﹣89）2+（86﹣89）2]＝5；
（4）89×10%+90×30%+96×60%＝93.5（分）．
答：小明的总评分应该是93.5分．