_辽宁省沈阳市新民市2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)

这是一份_辽宁省沈阳市新民市2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)，共20页。

A．24B．41C．﹣41D．﹣24
2．（2分）同时投掷三枚质地均匀的硬币，至少两枚硬币正面朝上的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）正方形、矩形、菱形都具有的特征是（ ）
A．对角线互相平分B．对角线相等
C．对角线互相垂直D．对角线平分一组对角
4．（2分）关于x的一元二次方程（2﹣a）x2+x﹣1＝0，则a的条件是（ ）
A．a≠4B．a≠3C．a≠2D．a≠1
5．（2分）关于平行四边形ABCD的叙述，正确的是（ ）
A．若AB⊥BC，则平行四边形ABCD是菱形
B．若AC⊥BD，则平行四边形ABCD是正方形
C．若AC＝BD，则平行四边形ABCD是矩形
D．若AB＝AD，则平行四边形ABCD是正方形
6．（2分）用公式法解一元二次方程3x2+x＝7时，首先要确定a，b，c的值，下列叙述中，正确的是（ ）
A．a＝3，b＝﹣1，c＝7B．a＝3，b＝1，c＝﹣7
C．a＝3，b＝﹣1，c＝﹣7D．a＝3，b＝1，c＝7
7．（2分）如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处．若∠ADB＝24°，则∠AEB等于（ ）
A．66°B．60°C．57°D．48°
8．（2分）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的概率稳定在0.2左右，则袋子中黄球的个数最有可能是（ ）
A．4B．10C．12D．16
9．（2分）若a，b是两个实数，定义一种运算“△”，a△b＝a（a+b），则方程x△（x﹣1）＝2x﹣1的实数根是（ ）
A．x1＝，x2＝1B．x1＝2，x2＝1
C．x1＝﹣2，x2＝1D．x1＝﹣，x2＝1
10．（2分）如图，BD是矩形ABCD的一条对角线，点E，F分别是BD，DC的中点．若AB＝8，BC＝6，则AE+EF的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
二、填空题（每小题3分，计18分）
11．（3分）掷一枚均匀的硬币，前五次抛掷结果都是正面朝上，那么第六次抛掷的结果为正面朝上的概率为 ．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，若∠A＝a，则∠BCD的度数为 （用含a的代数式表示）
13．（3分）若某两位数的十位数字是方程x2﹣7x＝0的根，则它的十位数字是 ．
14．（3分）如图所示，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．若AC＝6，BD＝8，AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为 ．
15．（3分）已知2x2﹣3xy+y2＝0（xy≠0），则的值是 ．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为 ．
三.解答题：（共58分）
17．（8分）解方程：
（1）2（x﹣1）2＝18；
（2）3x2﹣5x+2＝0．
18．（8分）已知x＝7是关于x的方程x2﹣（3m+1）x+7m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形的两条边．求m的值及△ABC的周长．
19．（8分）如图，在矩形ABCD中，E是BD上一点，∠BAE＝∠BCE，∠AEB＝∠CEB．
求证：四边形ABCD是正方形．
20．（8分）某超市为了答谢顾客，凡在本超市购物的顾客，均可凭购物小票参与抽奖活动，奖品是三种瓶装饮料，它们分别是：绿茶、红茶和可乐，抽奖规则如下：①一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”、“绿”、“乐”、“茶”、“红”字样；②参与一次抽奖活动的顾客可进行两次“有效随机转动”（当转动转盘，转盘停止后，可获得指针所指区域的字样，我们称这次转动为一次“有效随机转动”）；③假设顾客转动转盘，转盘停止后，指针指向两区域的边界，顾客可以再转动转盘，直到转动为一次“有效随机转动”；④当顾客完成一次抽奖活动后，记下两次指针所指区域的两个字，只要这两个字和奖品名称的两个字相同（与字的顺序无关），便可获得相应奖品一瓶：不相同时，不能获得任何奖品．
根据以上规则，回答下列问题：
（1）求一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率；
（2）有一名顾客凭本超市的购物小票，参与了一次抽奖活动，请你用列表或树状图等方法，求该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的概率．
21．（8分）某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000kg，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜．已知南瓜种植面积的增长率是亩产量增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60000kg，求南瓜亩产量的增长率．
22．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点．
（1）求证：MN⊥BD；
（2）若∠DAC＝64°，∠BAC＝56°，求∠DBM的度数．
23．（10分）如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：
（1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？
（2）△PBQ的面积会等于△ABC的面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由．
四.拓展创新题：（满分24分）
24．（12分）某校数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图1，正方形ABCD中，AB＝4，将三角尺放在正方形ABCD上，使三角尺的直角顶点与D重合三角尺的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．
（1）兴趣小组发现AP＝CQ，请你证明这个结论；
（2）如图2，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并证明；
（3）在（2）的条件下，若AP＝1，求PE的长．
25．（12分）如图，在正方形ABCD中，点K在AD上，连接BK，过点A，C分别作BK的垂线，垂足分别为M，N，点O是正方形对角线交点，连接OM，ON；
（1）求证：AM＝BN；
（2）请判定△OMN的形状，并证明．
2022-2023学年辽宁省沈阳市新民市九年级（上）期中数学试卷
（参考答案与解析）
一.选择题：（每小题2分，计20分）
1．（2分）一元二次方程2x2+x﹣5＝0根的判别式的值是（ ）
A．24B．41C．﹣41D．﹣24
【解答】解：∵a＝2，b＝1，c＝﹣5，
∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×2×（﹣5）＝41．
故选：B．
2．（2分）同时投掷三枚质地均匀的硬币，至少两枚硬币正面朝上的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：画树状图如下：
由图知，共有8种等可能结果，其中至少两枚硬币正面朝上的有4种结果，
所以至少两枚硬币正面朝上的概率为＝，
故选：B．
3．（2分）正方形、矩形、菱形都具有的特征是（ ）
A．对角线互相平分B．对角线相等
C．对角线互相垂直D．对角线平分一组对角
【解答】解：A、三者均具有此性质，故正确；
B、菱形不具有此性质，故不正确；
C、矩形不具有此性质，故不正确；
D、矩形不具有此性质，故不正确；
故选：A．
4．（2分）关于x的一元二次方程（2﹣a）x2+x﹣1＝0，则a的条件是（ ）
A．a≠4B．a≠3C．a≠2D．a≠1
【解答】解：∵（2﹣a）x2+x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，
∴2﹣a≠0，
即a≠2，
故选：C．
5．（2分）关于平行四边形ABCD的叙述，正确的是（ ）
A．若AB⊥BC，则平行四边形ABCD是菱形
B．若AC⊥BD，则平行四边形ABCD是正方形
C．若AC＝BD，则平行四边形ABCD是矩形
D．若AB＝AD，则平行四边形ABCD是正方形
【解答】解：A、错误．若AB⊥BC，则平行四边形ABCD是矩形；
B、错误．若AC⊥BD，则平行四边形ABCD是菱形；
C、正确．
D、错误．若AB＝AD，则平行四边形ABCD是菱形；
故选：C．
6．（2分）用公式法解一元二次方程3x2+x＝7时，首先要确定a，b，c的值，下列叙述中，正确的是（ ）
A．a＝3，b＝﹣1，c＝7B．a＝3，b＝1，c＝﹣7
C．a＝3，b＝﹣1，c＝﹣7D．a＝3，b＝1，c＝7
【解答】解：3x2+x＝7，
移项，得3x2+x﹣7＝0，
这里a＝3，b＝1，c＝﹣7，
故选：B．
7．（2分）如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处．若∠ADB＝24°，则∠AEB等于（ ）
A．66°B．60°C．57°D．48°
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∠ADB＝24°，
∴∠ABD＝66°，
由折叠的性质可得∠ABE＝∠ABD＝33°，
∴∠AEB＝90°﹣∠ABE＝57°．
故选：C．
8．（2分）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的概率稳定在0.2左右，则袋子中黄球的个数最有可能是（ ）
A．4B．10C．12D．16
【解答】解：袋子中黄球的个数最有可能是：20×（1﹣0.2）＝16（个），
故选：D．
9．（2分）若a，b是两个实数，定义一种运算“△”，a△b＝a（a+b），则方程x△（x﹣1）＝2x﹣1的实数根是（ ）
A．x1＝，x2＝1B．x1＝2，x2＝1
C．x1＝﹣2，x2＝1D．x1＝﹣，x2＝1
【解答】解：∵x△（x﹣1）＝2x﹣1，
∴x（x+x﹣1）＝2x﹣1，
方程整理为2x2﹣3x+1＝0，
（2x﹣1）（x﹣1）＝0，
2x﹣1＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝，x2＝1．
故选：A．
10．（2分）如图，BD是矩形ABCD的一条对角线，点E，F分别是BD，DC的中点．若AB＝8，BC＝6，则AE+EF的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【解答】解：∵点E，F分别是BD，DC的中点，
∴FE是△BCD的中位线，
∴EF＝BC＝3，
∵∠BAD＝90°，AD＝BC＝6，AB＝8，
∴BD＝10，
又∵E是BD的中点，
∴Rt△ABD中，AE＝BD＝5，
∴AE+EF＝5+3＝8，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，计18分）
11．（3分）掷一枚均匀的硬币，前五次抛掷结果都是正面朝上，那么第六次抛掷的结果为正面朝上的概率为 ．
【解答】解：掷一枚均匀的硬币，前五次抛掷结果都是正面朝上，那么第六次抛掷的结果为正面朝上的概率为，
故答案为：．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，若∠A＝a，则∠BCD的度数为 90°﹣a （用含a的代数式表示）
【解答】解：∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣a，
∵∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，
∴CD＝AB＝BD，
∴∠BCD＝∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣a，
故答案为：90°﹣a．
13．（3分）若某两位数的十位数字是方程x2﹣7x＝0的根，则它的十位数字是 7 ．
【解答】解：x2﹣7x＝0，
x（x﹣7）＝0，
∴x1＝0，x2＝7，
∴它的十位数字是7，
故答案为：7．
14．（3分）如图所示，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．若AC＝6，BD＝8，AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝3，OB＝OD＝4，
∴AB＝BC＝5，
∵•AC•BD＝BC•AE，
∴AE＝，
故答案为：，
15．（3分）已知2x2﹣3xy+y2＝0（xy≠0），则的值是 1或2 ．
【解答】解：∵2x2﹣3xy+y2＝0，
∴（x﹣y）（2x﹣y）＝0，
则x﹣y＝0或2x﹣y＝0，
解得x＝y或2x＝y，
当x＝y时，＝＝1；
当2x＝y时，＝＝2；
综上，的值是1或2；
故答案为：1或2．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为 4 ．
【解答】解：设BE＝x，则CE＝BC﹣BE＝16﹣x，
∵沿EF翻折后点C与点A重合，
∴AE＝CE＝16﹣x，
在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，
即82+x2＝（16﹣x）2，
解得x＝6，
∴AE＝16﹣6＝10，
由翻折的性质得，∠AEF＝∠CEF，
∵矩形ABCD的对边AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CEF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF＝10，
过点E作EH⊥AD于H，则四边形ABEH是矩形，
∴EH＝AB＝8，
AH＝BE＝6，
∴FH＝AF﹣AH＝10﹣6＝4，
在Rt△EFH中，EF＝＝＝4．
故答案为：4．
三.解答题：（共58分）
17．（8分）解方程：
（1）2（x﹣1）2＝18；
（2）3x2﹣5x+2＝0．
【解答】解：（1）2（x﹣1）2＝18，
（x﹣1）2＝9，
x﹣1＝±3，
解得x1＝4，x2＝﹣2；
（2）3x2﹣5x+2＝0，
∵a＝3，b＝﹣5，c＝2，
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×3×2＝1＞0，
∴x＝＝，
解得x1＝1，．
18．（8分）已知x＝7是关于x的方程x2﹣（3m+1）x+7m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形的两条边．求m的值及△ABC的周长．
【解答】解：把x＝7代入方程x2﹣（3m+1）x+7m＝0得49﹣7（3m+1）+7m＝0，
解得m＝3；
∴方程为x2﹣10x+21＝0，解得x1＝3，x2＝7，
∵3+3＜7，
∴等腰三角形ABC的腰长为7，底边长为3，
∴△ABC的周长为7+7+3＝17．
19．（8分）如图，在矩形ABCD中，E是BD上一点，∠BAE＝∠BCE，∠AEB＝∠CEB．
求证：四边形ABCD是正方形．
【解答】方法一：
证明：连接AC交BD于O点，如图，
在△AEO与△CEO中，
，
∴△AEO≌△CEO（AAS），
∴AE＝CE，
∴△AEC为等腰三角形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，
∴OE⊥AC，
即AC⊥BD，
∴AC和BD互相垂直平分，
∴四边形ABCD为菱形，
而∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是正方形．
方法二：
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（AAS），
∴BA＝BC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形．
20．（8分）某超市为了答谢顾客，凡在本超市购物的顾客，均可凭购物小票参与抽奖活动，奖品是三种瓶装饮料，它们分别是：绿茶、红茶和可乐，抽奖规则如下：①一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”、“绿”、“乐”、“茶”、“红”字样；②参与一次抽奖活动的顾客可进行两次“有效随机转动”（当转动转盘，转盘停止后，可获得指针所指区域的字样，我们称这次转动为一次“有效随机转动”）；③假设顾客转动转盘，转盘停止后，指针指向两区域的边界，顾客可以再转动转盘，直到转动为一次“有效随机转动”；④当顾客完成一次抽奖活动后，记下两次指针所指区域的两个字，只要这两个字和奖品名称的两个字相同（与字的顺序无关），便可获得相应奖品一瓶：不相同时，不能获得任何奖品．
根据以上规则，回答下列问题：
（1）求一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率；
（2）有一名顾客凭本超市的购物小票，参与了一次抽奖活动，请你用列表或树状图等方法，求该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的概率．
【解答】解：（1）∵转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”、“绿”、“乐”、“茶”、“红”字样；
∴一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率为：；
（2）画树状图得：
∵共有25种等可能的结果，该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的有2种情况，
∴该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的概率为：．
21．（8分）某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000kg，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜．已知南瓜种植面积的增长率是亩产量增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60000kg，求南瓜亩产量的增长率．
【解答】解：设南瓜亩产量的增长率为x，则南瓜种植面积的增长率为2x，
依题意得：2000（1+x）×10（1+2x）＝60000，
整理得：2x2+3x﹣5＝0，
解得：x1＝1＝100%，x2＝﹣（不符合题意，舍去）．
答：南瓜亩产量的增长率为100%．
22．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点．
（1）求证：MN⊥BD；
（2）若∠DAC＝64°，∠BAC＝56°，求∠DBM的度数．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，
∴BM＝AC，DM＝AC，
∴BM＝DM，
又∵N是BD的中点，
∴MN⊥BD；
（2）∴∠ABC＝∠ADC＝90°，M是 AC的中点，
∴BM＝AM，DM＝AM，．
∴∠ABM＝∠BAC＝56°，∠ADM＝∠DAC＝64°，
∴∠DMB＝360°﹣56°×2﹣64°×2＝120°．
23．（10分）如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：
（1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？
（2）△PBQ的面积会等于△ABC的面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由．
【解答】解：（1）设经过t秒△PBQ的面积等于8cm2，由题意，得
（6﹣t）×2t＝8，
解得：t1＝2，t2＝4
答：当运动2秒或4秒时，△PBQ的面积等于8cm2；
（2）设经过a秒△PBQ的面积等于△ABC的面积的一半，由题意，得
（6﹣a）×2a＝×6×8，
6a﹣a2﹣12＝0，
a2﹣6a+12＝0，
△＝36﹣48＜0，
∴方程无实根，因此△PBQ的面积不会等于△ABC的面积的一半．
四.拓展创新题：（满分24分）
24．（12分）某校数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图1，正方形ABCD中，AB＝4，将三角尺放在正方形ABCD上，使三角尺的直角顶点与D重合三角尺的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．
（1）兴趣小组发现AP＝CQ，请你证明这个结论；
（2）如图2，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并证明；
（3）在（2）的条件下，若AP＝1，求PE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝∠A＝∠B＝∠BCD＝∠DCQ＝90°，AD＝BC＝CD＝AB＝4，
∵∠PDQ＝90°，
∴∠ADP＝∠CDQ，
在△APD和△CQD中，
，
∴△APD≌△CQD（ASA），
∴AP＝CQ；
（2）解；结论：PE＝QE，理由如下：
由（1）得：△APD≌△CQD，
∴PD＝QD，
∵DE平分∠PDQ，
∴∠PDE＝∠QDE，
在△PDE和△QDE中，
，
∴△PDE≌△QDE（SAS），
∴PE＝QE；
（3）解：由（2）得：PE＝QE，由（1）得：CQ＝AP＝1，
∴BQ＝BC+CQ＝5，BP＝AB﹣AP＝3，
设PE＝QE＝x，则BE＝5﹣x，
在Rt△BPE中，由勾股定理得：32+（5﹣x）2＝x2，
解得：x＝3.4，
即PE的长为3.4．
25．（12分）如图，在正方形ABCD中，点K在AD上，连接BK，过点A，C分别作BK的垂线，垂足分别为M，N，点O是正方形对角线交点，连接OM，ON；
（1）求证：AM＝BN；
（2）请判定△OMN的形状，并证明．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABM+∠CBM＝90°，
∵AM⊥BM，CN⊥BN，
∴∠AMB＝∠BNC＝90°，
∴∠MAB+∠MBA＝90°，
∴∠MAB＝∠CBM，
∴△ABM≌△BCN（AAS），
∴AM＝BN；
（2）△OMN是等腰直角三角形，
理由如下：如图，连接OB，
∵点O是正方形ABCD的中心，
∴OA＝OB，∠OBA＝∠OAB＝45°＝∠OBC，AO⊥BO，
∵∠MAB＝∠CBM，
∴∠MAB﹣∠OAB＝∠CBM﹣∠OBC，
∴∠MAO＝∠NBO，
又∵AM＝BN，OA＝OB，
∴△AOM≌△BON（SAS），
∴MO＝NO，∠AOM＝∠BON，
∵∠AON+∠BON＝90°，
∴∠AON+∠AOM＝90°，
∴∠MON＝90°，
∴△MON是等腰直角三角形．