高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.2 集合间的基本关系优质第2课时学案设计

1.1　集合的概念

第2课时　集合的表示

【学习目标】

【自主学习】

一．列举法

把集合的元素         出来，并用         括起来表示集合的方法叫做列举法．

思考1：列举法的特点有哪些?

二．    描述法

（1）定义：用集合所含元素的       表示集合的方法称为描述法．

（2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的       及          ，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的           .

思考2：(1)不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？

(2){x|x>1}与{y|y>1}是不是相同的集合？

思考3：描述法的特点有哪些?

注意：(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}.

(2)所有描述的内容都要写在花括号内.例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}.

(3)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}.

【小试牛刀】

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)一个集合可以表示为{s，k，t，k}． (　　)

(2)集合{－5，－8}和{(－5，－8)}表示同一个集合．(　　)

(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．(　　)

(4)集合{x|x＞3，且x∈N}与集合{x∈N|x＞3}表示同一个集合．(　　)

(5)集合{x∈N|x3＝x}可用列举法表示为{－1,0,1}．(　　)

2．(1)由方程x2－9＝0的所有实数根组成的集合为________；

(2)不等式4x－5＜3的解集为________．

【经典例题】

题型一　用列举法表示集合

点拨：使用列举法表示集合的四个注意点

（1）元素间用“，”分隔开；

（2）元素不重复，满足元素的互异性；

（3）元素无顺序，满足元素的无序性；

（4）对于含有有限个元素且个数较少的集合，采取该方法较合适；若元素个数较多或有无限个且集合中的元素呈现一定的规律，在不会产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.

例1　用列举法表示下列集合：

(1)小于10的所有自然数组成的集合；

(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；

(3)由120以内的所有质数组成的集合．

【跟踪训练】1 用列举法表示下列集合：

(1)绝对值小于5的偶数；

(2)24与36的公约数；

(3)方程组的解集．

题型二　用描述法表示集合

点拨：用描述法表示集合时的三个注意点

（1）用描述法表示集合，应先弄清楚集合中元素的属性，是数集、点集还是其他的类型.一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示其元素.

（2）用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，则需对新字母说明其含义或取值范围.

（3）多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内.

例2　用描述法表示下列集合：

(1)正偶数集；

(2)被3除余2的正整数的集合；

(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．

【跟踪训练】2 下面三个集合：

①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．

(1)它们各自的含义是什么？

(2)它们是不是相同的集合？

题型三　列举法与描述法的综合运用

例3 已知集合中所含元素的个数为（       ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【跟踪训练】3  若、、且、，集合，则用列举法可表示为______.

【当堂达标】

1.用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为(　　)

A．{1,1}           B．{1}       C．{x＝1}     D．{x2－2x＋1＝0}

2.已知集合A＝{x|－1＜x＜，x∈Z}，则一定有(　　)

A．－1∈A　　     B.∈A        C．0∈A       D．1∉A

3.给出下列说法：

①任意一个集合的正确表示方法是唯一的；

②集合P＝{x|0≤x≤1}是无限集；

③集合{x|x∈N ，x<5}＝{0,1,2,3,4}；

④集合{(1,2)}与集合{(2,1)}表示同一集合．

其中正确说法的序号是(　　)

A．①②  B．②③  C．②  D．①③④

4.集合用列举法表示为______.

5.选择适当的方法表示下列集合：

(1)不小于1且不大于17的质数组成的集合A；

(2)所有正奇数组成的集合B；

(3)绝对值不大于3的所有整数组成的集合C；

(4)直角坐标平面上，抛物线上的点组成的集合D．

6.用列举法表示如图中阴影部分的点(含边界)的集合；

【课堂小结】

1.掌握2种方法——列举法和描述法

表示一个集合可以用列举法，也可以用描述法，一般地，若集合元素为有限个，常用列举法，集合元素为无限个，多用描述法．

2.规避1个易错点——点集与数集的区别

处理描述法给出的集合问题时，首先要明确集合的代表元素，特别要分清数集和点集；其次要确定元素满足的条件是什么．

【参考答案】

【自主学习】

1．一一列举   花括号“{}”

思考1：集合中的元素一目了然，适合表示元素较少的集合.

2．（1）共同特征   （2）一般符号   取值(或变化)范围    共同特征

思考2：(1)元素的共同特征为x∈R，且x<5.

(2) 相同，只是代表元素的符号不同，但是元素相同.．

思考3：运算的规律与性质能清楚地表示出来，适合表示无限集或元素较多的集合.语言简洁、抽象.

【小试牛刀】

1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×

2.(1){－3,3}或{x|x2－9＝0} 解析：由x2－9＝0得x＝±3，所以方程x2－9＝0的所有实数根组成的集合为{－3,3}．也可用描述法表示为{x|x2－9＝0}．

(2){x|x＜2}  解析：由4x－5＜3得x＜2.所以不等式4x－5＜3的解集为{x|x＜2}．

【经典例题】

例1 解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．

(2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}．

(3)设由1 20以内的所有质数组成的集合为C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．

【跟踪训练】1解：(1)绝对值小于5的偶数集为{－2，－4,0,2,4}，是有限集．

(2){1,2,3,4,6,12}，是有限集．

(3)由得

∴方程组的解集为{(x，y)|}＝{(x，y)|}

＝{(1,1)}，是有限集．

例2　解：(1)偶数可用式子x＝2n，n∈表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N ，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N }．

(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈ ，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．

(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．

【跟踪训练】2 解：(1)集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，满足条件y＝x2＋1中的x∈R，所以实质上{x|y＝x2＋1}＝R；

集合②的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以实质上{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}；

集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可以认为是满足y＝x2＋1的数对(x，y)的集合，也可以认为是坐标平面内的点(x，y)构成的集合，且这些点的坐标满足y＝x2＋1，所以{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1上的点}．

(2)由(1)中三个集合各自的含义知，它们是不同的集合．

例3  C 解析：因为，所以中含6个元素．

故选：C.

【跟踪训练】3 解析：当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

所以用列举法可表示为.故答案为：.

【当堂达标】

1．B　

2.C 解析：因为－1＜0＜，且0∈Z，所以0∈A.

3.C

4.{2,3}或{3,2} 解析：方程的两个解为2或3，故集合

故答案为：{2,3}或{3,2}.

5.解：(1)不小于1且不大于17的质数有，用列举法表示：；

(2)所有正奇数有无数个，用描述法表示：；

(3)绝对值不大于3的所有整数只有，用列举法表示：；

(4)直角坐标平面上，抛物线上的点，用描述法表示：．

6.解：题图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为.