人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式优质第1课时学案设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式优质第1课时学案设计，共11页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，课堂小结，参考答案等内容，欢迎下载使用。
2.2 基本不等式第1课时 基本不等式的证明【学习目标】课程标准学科素养1.理解基本不等式的内容及证明(重点)；2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小；3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式(难点).1、逻辑推理2、数学运算 【自主学习】一．重要不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R),当且仅当      时，等号成立.二．基本不等式(1)有关概念：当a，b均为正数时，把叫做正数a，b的           ，把叫做正数a，b的            ．(2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤，当且仅当      时，等号成立．解读：基本不等式≥(a>0，b>0)(1)不等式成立的条件：a，b都是正数．(2)“当且仅当”的含义：①当a＝b时，≥的等号成立， 即a＝b⇒＝；②仅当a＝b时，≥的等号成立， 即＝⇒a＝b.思考1：不等式a2＋b2≥2ab与≤成立的条件相同吗？如果不同各是什么？ 思考2： a＋≥2(a≠0)是否恒成立？ 【小试牛刀】1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab、a＋b≥2均成立．(　　)(2)若a≠0，则a＋≥2 ＝4.(　　)(3)若a，b∈R，则ab≤.(　　)(4)若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64.(    )2.当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________(填序号)．①≥；②a－b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.【经典例题】题型一 对基本不等式的理解例1 给出下面三个推导过程：①因为a，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2 ＝2；②因为a∈R，a≠0，所以＋a≥2 ＝4；③因为x，y∈R，xy<0，所以＋＝－≤－2 ＝－2.其中正确的推导过程为(　　)A．①②  B．②③  C．②  D．①③【跟踪训练】1 不等式＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是(　　)A．x＝3   B．x＝－3C．x＝5   D．x＝－5题型二　利用基本不等式比较大小点拨：基本不等式的几种常见变形及结论(1)a＋b≥2(a＞0，b＞0)；(2)ab≤(a，b∈R)；(3)ab≤2，(a，b∈R)；(4)＋≥2(ab＞0)；(5)a＋≥2(a＞0，k＞0)；(6)≤≤≤ (a，b都是正实数)．例2 如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是(　　)A．P＞Q＞M   B．M＞P＞QC．Q＞M＞P   D．M＞Q＞P【跟踪训练】2 已知x>0，y>0，x≠y，则下列四个式子中值最小的是(　　)A.   B.C.    D.题型三　用基本不等式证明不等式点拨：在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.例3 已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c>＋＋.   【跟踪训练】3已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证≥9.   【当堂达标】1．若0<a<b且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是(　　)A.       B．a2＋b2        C．2ab D．a3.(多选)下列不等式不一定成立的是(　　)A．x＋≥2　 B．≥C.   D．2－3x－≥24.设a＞0，b＞0，给出下列不等式：①a2＋1＞a；  ②≥4；   ③(a＋b)≥4；  ④a2＋9＞6a.其中恒成立的是________(填序号).5．  已知a>b>c，则与的大小关系是            5.若不等式≥2恒成立，则当且仅当x＝________时取“＝”号．6.设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.    【课堂小结】1.记牢2个不等式(1)a2＋b2≥2ab；(2)≥(a，b都是正数)．2.应用基本不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a>0，b>0时，才会有≤.对于“当且仅当……时，‘＝’成立”这句话要从两个方面理解：一方面，当a＝b时，＝；另一方面，当＝时，也有a＝b.       【参考答案】【自主学习】一．    a＝b 二.算术平均数  几何平均数 a＝b 思考1：不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；≤成立的条件是a，b均为正实数。思考2：只有a>0时，a＋≥2，当a<0时，a＋≤－2【小试牛刀】1. (1)×　(2)×　(3)√  (4)√2.③ 解析：根据≥ab，≥成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．【经典例题】例1  D 解析 ①因为a，b∈(0，＋∞)，所以，∈(0，＋∞)，符合基本不等式成立的条件，故①的推导过程正确；②因为a∈R，a≠0不符合基本不等式成立的条件，所以＋a≥2 ＝4是错误的；③由xy<0得，均为负数，但在推导过程中将＋看成一个整体提出负号后，，均变为正数，符合基本不等式成立的条件，故③正确．【跟踪训练】1 C解析：由基本不等式知等号成立的条件为＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)．例2 B解析：显然＞，又因为＜(由a＋b＞也就是＜1可得)，所以＞＞.故M＞P＞Q.【跟踪训练】2  C 解析：解法一：∵x＋y>2，∴<，排除D；∵＝＝>＝，∴排除B；∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy<2(x2＋y2)，∴>，排除A.解法二：取x＝1，y＝2.则＝；＝；＝；＝＝.其中最小．例3 解：∵a>0，b>0，c>0，∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0.∴2(a＋b＋c)≥2(＋＋)，即a＋b＋c≥＋＋.由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．∴a＋b＋c>＋＋.例3 解：∵a>0，b>0，c>0，∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0.∴2(a＋b＋c)≥2(＋＋)，即a＋b＋c≥＋＋.由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．∴a＋b＋c>＋＋.【跟踪训练】3 证明：证法一：因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以1＋＝1＋＝2＋，同理1＋＝2＋，故＝＝5＋2≥5＋4＝9.所以≥9(当且仅当a＝b＝时取等号)．证法二：因为a，b为正数，a＋b＝1.所以＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋，ab≤2＝，于是≥4，≥8，因此≥1＋8＝9(当且仅当a＝b＝时取等号)．【当堂达标】B解析：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2·2＝.∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，∵0<a<b且a＋b＝1，∴a<，∴a2＋b2最大．2. AD　解析：A项，当x<0时，x＋<0<2，∴A错误；B项，＝≥，∴B正确；C项，，其中x2>0，满足基本不等式的要求，∴C正确；D项，      变形为，当x取正数时，不成立，∴D错误．3.①②③ 解析：由于a2＋1－a＝＋＞0，故①恒成立；由于＝ab＋＋＋≥2＋2＝4.当且仅当即a＝b＝1时，“＝”成立，故②恒成立；由于(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4.当且仅当＝，那么a＝b＝1时“＝”成立，故③恒成立；当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立.综上，恒成立的是①②③.4. ≤ 解析：∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0.∴＝≥，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号．5.0 解析：　＝＝＋≥2＝2，其中当且仅当＝⇔x2＋1＝1⇔x2＝0⇔x＝0时成立．6.证明：因为a，b，c都是正数，所以，，也都是正数．所以＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b，三式相加得2≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时取等号．