2021学年2.3 二次函数与一元二次方程、不等式优质第1课时学案及答案

这是一份2021学年2.3 二次函数与一元二次方程、不等式优质第1课时学案及答案，共10页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，课堂小结，参考答案等内容，欢迎下载使用。
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第1课时  二次函数与一元二次方程、不等式【学习目标】  课程标准学科素养1．理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．2．掌握图象法解一元二次不等式．(重点)3．通过解不等式，体会数形结合、分类讨论的思想方法．（难点）1、数学抽象2、数学运算【自主学习】一．一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有    未知数，并且未知数的最高次数是  的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是         或            ，其中a，b，c均为常数，a≠0.二．二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的       叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．解读：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．三．“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2有两个相等的实数根x1，x2没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集   ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集   解读：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．【小试牛刀】1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．(　　)(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．(　　)(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1<x2)，则一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1<x<x2}．(　　)(4)不等式x2－2x＋3>0的解集为R.(　　)2.不等式3x2－2x＋1＞0的解集为(　　)A.　　　B．     C．∅       D．R3.若有意义，则实数x的取值范围为________．【经典例题】题型一  不含参数的一元二次不等式的解法点拨：解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化为基本形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)；(2)计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解；(3)有根求根；(4)根据图象写出不等式的解集.例1 解下列不等式：(1)－x2＋7x>6；                             (2)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)。    【跟踪训练】1  解下列不等式(1)2x2－3x－2>0；(2)x2－4x＋4>0；(3)－x2＋2x－3<0；(4)－3x2＋5x－2>0.      题型二 一元二次不等式解法的逆向问题（已知解集求参数）点拨：已知以a，b，c为参数的不等式，如ax2＋bx＋c＞0的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：(1)根据解集来判断二次项系数的符号；(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；(3)约去 a， 将不等式化为具体的一元二次不等式求解.例2 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集．点拨：由x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，可知1,2是方程x2＋ax＋b＝0的两根，可求出a，b的值，从而得解．    【跟踪训练】2 关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是.求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．    题型三 含参数的一元二次不等式的解法点拨：解含参数的一元二次不等式时(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．例3 解关于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R)．点拨：先求出方程x2－ax－2a2＝0的两根x1＝2a，x2＝－a，再通过比较2a与－a的大小写出不等式的解集．     【跟踪训练】3 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.      【当堂达标】1.下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4＜0；②x2＋mx－1＞0；③ax2＋4x－7＞0；④x2＜0.其中一定为一元二次不等式的有(　　)A.1个      B.2个      C.3个  D.4个2.若不等式ax2＋5x＋c＞0的解集为，则a，c的值为(　　)A.a＝6，c＝1  B.a＝－6，c＝－1C.a＝1，c＝6  D.a＝－1，c＝－63.已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，则M∩N＝(　　)A．{x|－4<x<3}                    B．{x|－4<x<－2}C．{x|－2<x<2}                    D．{x|2<x<3}4. (多选题)若不等式ax2－bx＋c＞0的解集是(－1,2)，则下列选项正确的是(  )A．b＜0且c＞0                   B．a－b＋c＞0C．a＋b＋c＞0                    D．不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|－2＜x＜1}5.当a>－1时，关于x的不等式x2＋(a－1)x－a>0的解集是________．6.解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0)．       【课堂小结】1.解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为标准形式；(2)确定判别式Δ＝b2－4ac的符号；(3)若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根；若Δ<0，则对应的二次方程无根；(4)联系二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集(在两根之内或两根之外).2.解含字母参数的一元二次不等式，与解一般的一元二次不等式的基本思路是一致的，但要注意分类讨论思想的运用．3.解一元二次不等式，应首先尝试因式分解法，若能够进行因式分解，那么在解含参数的不等式时，就可以避免对Δ≤0的讨论.    【参考答案】【自主学习】一．    一个 2  ax2＋bx＋c>0  ax2＋bx＋c<0  二．    实数x三．{x|x＜x1或x＞x2}  {x|x1＜x＜x2}  ∅   R   ∅【小试牛刀】1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2.D 解析：因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集为R.3. x≥3或x≤－4 解析：要使有意义，则x2＋x－12≥0，∴(x－3)(x＋4)≥0，∴x≥3或x≤－4.【经典例题】例1 解：(1)原不等式可化为x2－7x＋6<0.解方程x2－7x＋6＝0得，x1＝1，x2＝6.结合二次函数y＝x2－7x＋6的图象知，原不等式的解集为{x|1<x<6}．(2)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2.∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0.解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝.结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为.【跟踪训练】1 解：(1)∵Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－，x2＝2，∴不等式2x2－3x－2>0的解集为.(2)∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2，∴不等式x2－4x＋4>0的解集为.(3)原不等式可化为x2－2x＋3>0，由于Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无解，∴不等式－x2＋2x－3<0的解集为R.(4)原不等式可化为3x2－5x＋2<0，由于Δ>0，方程3x2－5x＋2＝0的两根为x1＝，x2＝1，∴不等式－3x2＋5x－2>0的解集为.例2解：∵x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，∴1,2是x2＋ax＋b＝0的两根．由韦达定理有得代入所求不等式bx2＋ax＋1>0，得2x2－3x＋1>0.由2x2－3x＋1>0⇔(2x－1)(x－1)>0⇔x<或x>1.∴bx2＋ax＋1>0的解集为.【跟踪训练】2 解：由ax2＋bx＋c≥0的解集为知a＜0.又×2＝＜0，则c＞0.又－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，∴－＝，∴＝－.又＝－，∴b＝－a，c＝－a，∴不等式cx2＋bx＋a＜0变为x2＋x＋a＜0，即2ax2＋5ax－3a＞0.又∵a＜0，∴2x2＋5x－3＜0，所求不等式的解集为.例3 解：原不等式转化为(x－2a)(x＋a)<0，对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a.①当2a>－a，即a>0时，不等式的解集为{x|－a<x<2a}；②当2a＝－a，即a＝0时，原不等式化为x2<0，无解；③当2a<－a，即a<0时，不等式的解集为{x|2a<x<－a}．综上所述，当a>0时，原不等式的解集为{x|－a<x<2a}；当a＝0时，原不等式的解集为∅；当a<0时，原不等式的解集为{x|2a<x<－a}．【跟踪训练】3 解：①当a＝0时，原不等式即为－x＋1<0，解得x>1.②当a<0时，原不等式化为(x－1)>0，解得x<或x>1.③当a>0时，原不等式化为(x－1)<0.若a＝1，即＝1时，不等式无解；若a>1，即<1时，解得<x<1；若0<a<1，即>1时，解得1<x<.综上，当a<0时，不等式的解集为；当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}；当0<a<1时，不等式的解集为；当a＝1时，不等式的解集为∅；当a>1时，不等式的解集为.【当堂达标】1.B 解析：②④一定是一元二次不等式.2.B 解析：易知a＜0，且⇒  3.C 解析：由题意得N＝{x|x2－x－6<0}＝{x|－2<x<3}，所以M∩N＝{x|－2<x<2}，选C.4.ABD 解析：对于A，a＜0，－1,2是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，所以－1＋2＝1＝，－1×2＝，所以b＝a，c＝－2a，所以b＜0，c＞0，所以A正确；令y＝ax2－bx＋c，对于B，由题意可知当x＝1时，＝a－b＋c＞0，所以B正确；对于C，当x＝－1时，a＋b＋c＝0，所以C错误；对于D，因为对于方程ax2＋bx＋c＝0，设其两根为x1，x2，所以x1＋x2＝＝－1，x1x2＝＝－2，所以两根分别为－2和1.所以不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|－2＜x＜1}，所以D正确．5. {x|x<－a或x>1} 解析：原不等式可化为(x＋a)(x－1)>0，方程(x＋a)(x－1)＝0的两根为－a,1，∵a>－1，∴－a<1，故不等式的解集为{x|x<－a或x>1}．6.解：原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0，化简为(x＋1)(ax－2)≥0.∵a<0，∴(x＋1)≤0.当－2<a<0时，≤x≤－1；当a＝－2时，x＝－1；当a<－2时，－1≤x≤.综上所述，当－2<a<0时，解集为；当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}；当a<－2时，解集为.