人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式精品第2课时学案设计

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式

第2课时  一元二次不等式的综合应用

【学习目标】  

【自主学习】

一．分式不等式的解法

若f(x)与g(x)是关于x的多项式，则不等式>0(或<0，或≥0，或≤0)称为分式不等式．

解分式不等式总的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组)求解．

1.>0⇔         ；    2.<0⇔         ；

3.≥0⇔         ；   4.≤0⇔         .

思考：>0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？将>0变形为(x－3)(x＋2)>0，有什么好处？

二．不等式恒成立问题

1.不等式的解集为R(或恒成立)的条件

2.有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法

【小试牛刀】

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)不等式>1的解集为x<1. (　　)

(2)求解m>ax2＋bx＋c(a＜0)恒成立时，可转化为求解y＝ax2＋bx＋c的最小值，从而求出m的范围.(　　)

2.若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B等于(　　)

A．{x|－1≤x<0}　 B．{x|0<x≤1}   C．{x|0≤x<2}    D．{x|0≤x≤1}

【经典例题】

题型一  简单的分式不等式求解

点拨：(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．

(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．

例1 解下列不等式：

(1)≥0；  (2)>1.

【跟踪训练】1　解下列不等式：

(1)≥0；   (2)＞1.

题型二  一元二次不等式恒成立的问题

点拨：

(1)不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：

当a＝0时，b＝0，c>0；当a≠0时，

(2)不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：

当a＝0时，b＝0，c<0；当a≠0时，

(3)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．

一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．

例2 设函数y＝mx2－mx－1,若对于一切实数x，y＜0恒成立，求m的取值范围.

【跟踪训练】2 已知不等式ax2＋(a－1)x＋a－1<0对于所有的实数x都成立，求a的取值范围．

题型三  一元二次不等式的实际应用

点拨：一元二次不等式解决实际应用问题的步骤

(1)理解题意，搞清量与量之间的关系．

(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式(组)问题．

(3)解这个一元二次不等式(组)，得到实际问题的解．

例3在一个限速40 km/h以内的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2.问超速行驶谁应负主要责任.

【跟踪训练】3某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x＞0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点.

(1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式；

(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围.

【当堂达标】

1.不等式>0的解集是(　　)

A.       B.    C.        D.

2.不等式 ≥2的解集是(　　)

A.   B.  C.     D.

3.若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是(　　)

A.100台           B.120台         C.150台      D.180台

4.若不等式x2－4x＋3m<0的解集为空集，则实数m的取值范围是________．

5.若关于x的不等式ax2＋2x＋2＞0在R上恒成立，实数a的取值范围为________..

【课堂小结】

1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意分母不为零．

2.对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a>y恒成立⇔a>ymax；(2)a<y恒成立⇔a<ymin.

3.解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．

【参考答案】

【自主学习】

一. f(x)g(x)>0  f(x)g(x)<0 

思考：等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式．

二．1.b＝0，c>0  b＝0，c<0    

2. ymax≤k  ymin≥k

【小试牛刀】

1. (1)×　(2)×　

2.B 解析：∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤2}，∴A∩B＝{x|0<x≤1}．

【经典例题】

例1 解:(1)原不等式可化为解得

∴x<－或x≥，∴原不等式的解集为.

(2)原不等式可化为>0，

化简得>0，即<0，

∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3<x<－.∴原不等式的解集为.

【跟踪训练】1解:

(1)原不等式可化为≤0，∴∴

即－＜x≤1.故原不等式的解集为.

(2)原不等式可化为－1＞0，∴＞0，∴＞0，则x＜－2.

故原不等式的解集为{x|x＜－2}.

例2 解：若m＝0，显然－1＜0恒成立；

若m≠0，则⇒－4＜m＜0.

∴m的取值范围为{x|－4＜x≤0}.

【跟踪训练】2解：若a＝0，则原不等式为－x－1<0，即x>－1，不合题意，故a≠0.

令y＝ax2＋(a－1)x＋a－1，

∵原不等式对任意x∈R都成立，

∴二次函数y＝ax2＋(a－1)x＋a－1的图象在x轴的下方，

∴a<0且Δ＝(a－1)2－4a(a－1)<0，

即，

解得a<－.

例3 解：由题意列出不等式S甲＝0.1x＋0.01x2>12，S乙＝0.05x＋0.005x2>10.

分别求解，得x<－40或x>30以及 x<－50或x>40.

由于x>0，从而得x甲>30 km/h，x乙>40 km/h.

经比较知乙车超过限速，应负主要责任.

【跟踪训练】3 解：(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元.依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%

＝a(100＋2x)(10－x)(0＜x＜10).

(2)原计划税收为200a×10%＝20a(万元).

依题意得a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，化简得x2＋40x－84≤0，解得－42≤x≤2.

又因为0＜x＜10，所以0＜x≤2.

即x的取值范围为{x|0＜x≤2}..

【当堂达标】

1.A解析：>0⇔(4x＋2)(3x－1)>0⇔x>或x<－，此不等式的解集为.

2.D 解析：∵原不等式等价于

∴∴即.

3. C 解析：y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0，即x2＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去).

4.m≥ 解析：由题意，知x2－4x＋3m≥0对一切实数x恒成立，所以Δ＝(－4)2－4×3m≤0，解得m≥.

5.解：当a＝0时，原不等式可化为2x＋2＞0，其解集不为R，故a＝0不满足题意，舍去；

当a≠0时，要使原不等式的解集为R，只需解得a＞.

综上，所求实数a的取值范围为.