高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示优质第1课时学案设计

   3.1.2 函数的表示法

第1课时　函数的表示法

【学习目标】

【自主学习】

一．函数的三种表示方法

注意：同一个函数可以用不同的方法表示．

二．函数的三种表示方法的优缺点

【小试牛刀】

1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)任何一个函数都可以用列表法表示.(　　)

(2)任何一个函数都可以用图象法表示.(　　)

(3)函数的图象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线.(　　)

(4)函数f(x)＝2x＋1可以用列表法表示．(　　)

2.已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于 (　　)

A.1　　　　   B．2　　    C．3　　      D．不存在

【经典例题】

题型一 函数的表示法

点拨：(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)在实际操作中，仍以解析法为主．

例1 某问答游戏的规则是：共5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分，试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系．

【跟踪训练】1 已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出

(1)f(g(3))＝__________；    (2)若g(f(x))＝2，则x＝__________.

题型二　图象法表示函数

点拨：作函数图象的步骤及注意点

(1)作函数图象主要有三步：列表、描点、连线.作图象时应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象.

(2)函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等等.

例2 作出下列函数的图象并求出其值域．

(1)y＝，x∈[2，＋∞)； (2)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．

【跟踪训练】2 某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是(　　)

A　　　　B　　　　C　　　　D

题型三  求函数解析式

角度1：待定系数法

点拨：待定系数法

若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．

常见的函数的解析式：

(1)一次函数：y＝kx＋b，k≠0；(2)正比例函数：y＝kx，k≠0；(3)反比例函数：y＝，k≠0；(4)一元二次函数：①一般式：y＝ax2＋bx＋c； ②顶点式：；

③两点式：.其中a≠0，顶点，根x1，x2.

例3 已知函数f(x)是一次函数，若f[f(x)]＝4x＋8，求f(x)的解析式．

【跟踪训练】3已知f(x)是二次函数且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，则函数f(x)的解析式为________.

角度2：换元法和配凑法

点拨：已知f(g(x))＝h(x)，求f(x)，常用的有两种方法：

①换元法，即令t＝g(x)，解出x，代入h(x)中，得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意：换元后新元的范围.

②配凑法，即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可.

例4 已知函数f(＋1)＝x＋2＋1，求f(x)的解析式。

【跟踪训练】4已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)．

角度3：方程组法

点拨：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．

例5 已知函数f(x)满足2f(x)＋f＝3x，求f(x)的解析式．

【跟踪训练】5已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x).

【当堂达标】

1.y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为(　　)

A．y＝         B．y＝－          C．y＝           D．y＝－

2.已知，则的解析式可取(　　)

A．   B． 

C．   D．

3.已知函数的定义域为(0，＋∞)，且，则＝(　　)

A．  B．  C．  D．

4.一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则它的高y与x的函数关系为              .

5.已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2).

(1)画出f(x)图象的简图；

(2)根据图象写出f(x)的值域.

6.已知f(x)＝x＋b，f(ax＋1)＝3x＋2，求a，b的值．

【参考答案】

【自主学习】

数学表达式 图象 表格

【小试牛刀】

1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　

2.C 解析：∵当2<x≤4时，f(x)＝3，∴f(3)＝3.

【经典例题】

例1 解：(1)该函数关系用列表法表示为：

(2)该函数关系用图象法表示，如图所示．

(3)该函数关系用解析法表示为y＝50－10x(x∈{0，1，2，3，4，5}).

【跟踪训练】1  (1)2　(2)1解析　(1)由表知g(3)＝1，∴f(g(3))＝f(1)＝2；

(2)由表知g(2)＝2，又g(f(x))＝2，得f(x)＝2，再由表知x＝1.

例2 (1)列表：

画图象，当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分(图1)，观察图象可知其值域为(0,1]．

(2)列表：

画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分(图2)．由图可得函数的值域是[－1,8]．

【跟踪训练】2 D 解析：结合题意可知，该生离校的距离先快速减少，又较慢减少，最后到0，故选D.

例3 解：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.

又f[f(x)]＝4x＋8，∴a2x＋ab＋b＝4x＋8，

即解得或

∴f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8.

【跟踪训练】3 f(x)＝x2－x＋1 解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1得c＝1，则f(x)＝ax2＋bx＋1，f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1]－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b＝2x.

故得解得a＝1，b＝－1，故得f(x)＝x2－x＋1.

例4 解 配凑法：∵f(＋1)＝x＋2＋1＝(＋1)2，

∴f(x)＝x2.又＋1≥1，∴f(x)＝x2(x≥1)．

换元法：令t＝＋1，则x＝(t－1)2.由于x≥0，所以t≥1.

代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＋1＝t2，所以f(x)＝x2(x≥1)．

【跟踪训练】4 解：配凑法：∵f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，

∴f(x)＝x2－5x＋6.

换元法：令t＝x＋1，则x＝t－1，∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，即f(x)＝x2－5x＋6.

例5 解：（1）∵2f(x)＋f＝3x，①∴将x用替换，得2f＋f(x)＝，②

联立①②得解得f(x)＝2x－(x≠0)，即f(x)的解析式是f(x)＝2x－(x≠0)．

【跟踪训练】5 解：∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，①∴将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.②

∴由①②得3f(x)＝x2－6x，∴f(x)＝x2－2x.

【当堂达标】

1.C 解析：设y＝，当x＝2时，y＝1，所以1＝，得k＝2.故y＝.

2.A 解析：令，则，因为，所以 (t≠1).所以.

3.B 解析：由，①

以替换x，得，②

把②代入①，可得，即.

所以.

4. y＝(x>0) 解析：由梯形的面积公式有100＝·y，得y＝(x>0)．

5. 解：(1)f(x)图象的简图如图所示.

(2)由f(x)的图象可知，f(x)所有点的纵坐标的取值范围是[－1，3]，则f(x)的值域是[－1，3].

6.解：由f(x)＝x＋b，得f(ax＋1)＝ax＋1＋b.

∴ax＋1＋b＝3x＋2，∴a＝3，b＋1＝2，即a＝3，b＝1.