2021学年第五章 三角函数5.2 三角函数的概念优秀学案设计

5.2.1   三角函数的概念

【学习目标】

【自主学习】

一．利用单位圆定义任意角的三角函数

1.单位圆

在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以         为半径的圆为单位圆．

2.三角函数定义

注意：(1)要明确sin α是一个整体，不是sin与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号；

(2)在任意角的三角函数的定义中，应该明确α是一个任意角．

3.三角函数在弧度制下的定义域

正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数．

正弦函数y＝sin x，定义域为    ；

余弦函数y＝cos x，定义域为    ；

正切函数y＝tan x，定义域为                .

4.利用角α的终边上任意一点的坐标定义三角函数

推广到一般情况：设α为一个任意角，在α的终边上任取一点P(异于原点)，其坐标为(x，y)，且OP＝r＝ (r＞0)，则sin α＝    ，cos α＝    ，tan α＝     (x≠0).

注意：三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和P(x，y)所在终边上的位置无关，而由角α的终边位置决定．

二．三角函数值在各象限的符号

三角函数值的符号变化规律可概括为“                        ”,即第一象限各三角函数值均为正,第二象限只有正弦值为正,第三象限只有正切值为正,第四象限只有余弦值为正.

三.诱导公式一

即终边相同的角的同一三角函数值      ．

四.特殊角的三角函数值

【小试牛刀】

1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)sin α表示sin与α的乘积.(　　)

(2)若α＝β＋720°，则cosα＝cosβ.(　　)

(3)若sinα＝sinβ，则α＝β.(　　)

(4)已知α是三角形的内角，则必有sinα>0.(　　)

(5)任意角α的正弦值sinα、余弦值cosα、正切值tanα都有意义．(　　)

2.已知角α的终边与单位圆交于点，则tan α等于(　　)

A．－　　　　     B．－          C．－          D．－

3.已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是(　　)

A．第一象限角      B．第二象限角    C．第三象限角     D．第四象限角

4.sin(－315°)的值是(　　)

A．－　     B．－　　    C.　          D．

【经典例题】

题型一  任意角的三角函数的定义及其应用

点拨：　求任意角的三角函数值的2种方法

方法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值．

方法二：第一步，取点：在角α的终边上任取一点P(x，y)，(P与原点不重合)；

第二步，计算r：r＝|OP|＝；

第三步，求值：由sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)求值．

在运用上述方法解题时，要注意分类讨论思想的运用.

例1 (1)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________.

(2)已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．

【跟踪训练】1已知角θ的终边上有一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，则sin θ＋tan θ的值为        ．

题型二  三角函数在各象限的符号运用

点拨： 判断三角函数值正负的两个步骤

1.定象限：确定角α所在的象限．

2.定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．

注意：若sinα>0，则α的终边不一定落在第一象限或第二象限内，有可能终边落在y轴的非负半轴上．

例2 (1)确定下列三角函数值的符号：

①sin 156°；②cosπ；③cos(－450°)；④tan；⑤sin；⑥tan 556°.

(2)已知点P(tan α，cos α)在第四象限，则角α终边在(　　)

A．第一象限　　 B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

【跟踪训练】2已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是(　　)

A．第一或第二象限角　　 B．第二或第三象限角

C．第三或第四象限角  D．第一或第四象限角

题型三  诱导公式一的应用

点拨：1.公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相等．利用它可将大角转化为[0,2π)范围内的角，再借助特殊角的三角函数值达到化简求值的目的．

2.熟记一些特殊角的三角函数值．

例3 求下列各式的值：

(1)cos ＋tan(－)；(2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°.

【跟踪训练】3 求值：sin(－1 740°)cos 1 470°＋cos(－660°)sin 750°＋tan 405°.

【当堂达标】

1.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于(　　)

A.         B.         C．－  D．－

2.已知角α终边过点P(1，－1)，则tan α的值为(　　)

A．1　　    B．－1　    C.　　    D．－

3.sin的值等于(　　)

A.          B．－      C.       D．－

4.若sinα<0且tanα>0，则α的终边在(　　)

A．第一象限    B．第二象限   C．第三象限    D．第四象限

5.已知角α的终边经过点P(4a，－3a)(a≠0)，则2sin α＋cos α＝________.

6.化简下列各式：

(1)a2sin(－1 350°)＋b2tan 405°－2abcos(－1 080°)；

(2)sin＋cosπ·tan 4π.

【参考答案】

【自主学习】

一．1.单位长度  2. 单位圆   sin α  sin α    cos α   cos α  tan α   tan α

3. R  R    4.     

二．一全正、二正弦、三正切、四余弦

三．相等

【小试牛刀】

1. (1)×  (2)√　(3)×　(4)√　(5)×

2.D

3.B解析：由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角．

4.C 解析：sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝.

【经典例题】

例1 (1)∵x＝5，y＝－12，∴r＝＝13，

则sinα＝＝－，cosα＝＝，tanα＝＝－.

(2)直线x＋y＝0，即y＝－x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，)，则r＝＝2，所以sinα＝，cosα＝－，tanα＝－；在第四象限取直线上的点(1，－)，则r＝＝2，所以sinα＝－，cosα＝，tanα＝－.

【跟踪训练】1或　解析：因为r＝，cos θ＝，所以x＝.

又x≠0，所以x＝±1，所以r＝.

又y＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角．

当θ为第一象限角时，sin θ＝，tan θ＝3，则sin θ＋tan θ＝.

当θ为第二象限角时，sin θ＝，tan θ＝－3，

则sin θ＋tan θ＝.

例2 (1)解：①∵156°是第二象限角，∴sin 156°＞0.

②∵π为第三象限角，∴cos π＜0.

③∵－450°＝－720°＋270°是终边落在y轴的非正半轴上的角，∴cos(－450°)＝0.

④∵－π＝－2π－π是第四象限角，∴tan＜0.

⑤∵－＝－2π＋π是第二象限角，∴sin＞0.

⑥∵556°＝360°＋196°是第三象限角，∴tan 556°＞0.

(2)C 解析：因为点P在第四象限，所以有由此可判断角α终边在第三象限．

【跟踪训练】2 C解析：∵cos θ·tan θ<0，∴或

由得角θ为第三象限角．由得角θ为第四象限角．

∴角θ为第三或第四象限角．

例3 解：(1)原式＝cos(8π＋)＋tan(－4π＋)

＝cos ＋tan ＝＋1＝.

(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos 360°

＝sin 90°＋tan 45°－1＝1＋1－1＝1.

【跟踪训练】3解：原式＝sin(60°－5×360°)cos(30°＋4×360°)＋cos(60°－2×360°)sin(30°＋2×360°)＋tan(45°＋360°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45°

＝×＋×＋1＝2.

【当堂达标】

1.D

2.B 解析：由三角函数定义知tan α＝＝－1.

3.A 解析：∵sin＝sin＝sin＝，∴选A.

4.A 解析：由于sinα<0，则α的终边在第三或第四象限或y轴非正半轴上，又tanα>0，则α的终边在第一或第三象限，所以α的终边在第三象限．

5. ± 解析：由题意知x＝4a，y＝－3a，故r＝＝5|a|.

①当a＞0时，r＝5a，sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝，则2sin α＋cos α＝－.

②当a＜0时，r＝－5a，2sin α＋cos α＝2×＋＝.

综上，2sin α＋cos α＝

6.解：(1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°)

＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2abcos 0°

＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.

(2)sin＋cosπ·tan 4π

＝sin＋cosπ·tan 0

＝sin＋0＝.