人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式精品第1课时学案

5.3　诱导公式

第1课时　公式二、公式三和公式四

【学习目标】

【自主学习】

思考1：诱导公式中角α只能是锐角吗？

思考2：诱导公式一～四改变函数的名称吗？

【小试牛刀】

思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)公式二～四对任意角α都成立.(　　)

(2)由公式三知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β). (　　)

(3)公式sin(－α)＝－sinα，α是锐角才成立.(　　)

(4)cos ＝－.(　　)

(5)在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C． (　　)

【经典例题】

题型一  给角求值

点拨：利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤

1.“负化正”——用公式一或三来转化；

2.“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；

3.“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；

4.“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值.

例1 利用公式求下列三角函数值： (1)sin(－1200°)；(2)tan945°；(3)cos.

【跟踪训练】1 利用公式求值：(1)cos＋cos＋cos＋cos；

(2)sin (－60°)＋cos 225°＋tan 135°.

题型二 利用诱导公式化简

点拨：三角函数式化简的常用方法

1.合理转化：(1)将角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式.

(2)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.

2.切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.

例2 化简下列各式．

(1)；(2).

【跟踪训练】2 化简(1)；(2).

题型三  给值求值

点拨：

1.解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．

2.可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．

例3 已知cos ＝，求下列各式的值．

(1)cos ；(2)sin2.

【跟踪训练】3 (1)已知cos(α－75°)＝－，求cos(255°－α)的值．

(2)已知tan＝，求tan.

【当堂达标】

1.下列式子中正确的是(　　)

A．sin (π－α)＝－sin α                   B．cos (π＋α)＝cos α　

C．cos α＝sin α　                       D．sin (2π＋α)＝sin α

2.已知a＝cos，b＝sin，则a，b的大小关系是(　　)

A．a<b    B．a＝b

C．a>b    D．不能确定

3.已知sin ＝，则sin ＝(　　)

A．        B．－       C．－        D．

4.若sin(π＋α)＋sin(－α)＝－m，则sin(3π＋α)＋2sin(2π－α)等于(　　)

A．－m        B．－m         C.m         D.m

5.已知tan(π＋α)＝－，则＝________.

6.计算下列各式的值：

(1)cos＋cos＋cos＋cos；

(2)sin420°cos330°＋sin(－690°)cos(－660°)．

【参考答案】

【自主学习】

－sinα －cosα   tanα   －sin α  cos α  －tan α  sin α  －cos α  －tan α

思考1：诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z.

思考2：诱导公式一～四都不改变函数名称．

【小试牛刀】

(1)×　(2)×　(3) ×  (4)×　(5)√

【经典例题】

例1  解：(1)sin(－1200°)＝－sin1200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin120°＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－.

(2)tan945°＝tan(2×360°＋225°)

＝tan225°＝tan(180°＋45°)

＝tan45°＝1.

(3)cos＝cos

＝cos＝cos＝.

【跟踪训练】1 解：(1)原式＝＋

＝＋

＝＋＝0.

(2)原式＝－sin 60°＋cos (180°＋45°)＋tan (180°－45°)

＝－－cos 45°－tan 45°＝－－－1＝－.

例2 解： (1)原式＝＝＝1.

(2)原式＝

＝＝＝.

【跟踪训练】2 解：(1)

＝

＝＝－cos2α.

(2)

＝

＝－cos α.

例3 解：(1)cos＝cos ＝cos ＝.

(2)sin2＝sin2＝sin2＝

1－cos2＝1－＝.

【跟踪训练】3 解：(1)cos(255°－α)＝cos[180°－(α－75°)]＝－cos(α－75°)＝.

(2)因为tan＝tan＝－tan，

所以tan＝－.

【当堂达标】

1.D 根据诱导公式知sin (2π＋α)＝sin α正确．

2.C 解析：∵a＝cos＝cos＝cos＝，

b＝sin＝－sin＝－sin＝－，

∴a>b.

3.D 解析：∵sin ＝，

∴sin ＝sin ＝sin ＝.

4.B 解析：因为sin(π＋α)＋sin(－α)＝－2sinα＝－m，所以sinα＝，则sin(3π＋α)＋2sin(2π－α)

＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝－m.故选B.

5.－  解析：tan(π＋α)＝－，则tanα＝－，

原式＝

＝＝

＝＝－.

6.解：(1)原式＝＋

＝＋

＝＋＝0.

(2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)cos(－2×360°＋60°)

＝sin60°cos30°＋sin30°cos60°＝×＋×＝1.