高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.3 诱导公式精品第2课时学案设计

5.3　诱导公式

第2课时　公式五和公式六

【学习目标】

【自主学习】

【小试牛刀】

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角.(　　)

(2)sin(90°＋α)＝－cosα.(　　)

(3)sin＝cosα.(　　)

(4)若α＋β＝90°，则sinα＝cosβ.(　　)

2.sin165°等于(　　)

A．－sin15°     B．cos15°     C．sin75°      D．cos75°

【经典例题】

题型一  利用诱导公式化简求值

例1 化简：·sincos.

【跟踪训练】1 已知cos ＝2sin ，则＝       ．

题型二  利用诱导公式证明恒等式

例2 求证：＝.

【跟踪训练】2 求证：＝.

题型三  给值求值

点拨：对于一些给值(式)求值问题，要注意已知角与未知角的关系，即发现它们之间是否满足互余或互补，若满足，则可以进行整体代换，用诱导公式求解．

1.常见的互余关系有：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等．

2.常见的互补关系有：＋α与π－α；＋α与π－α等．

例3 已知cos＝，求cos·sin的值．

【跟踪训练】3 (1)已知cos (75°＋α)＝，求cos (105°－α)－sin (15°－α)的值．

(2)已知cosα＝－，且α为第三象限角．求f(α)＝的值．

【当堂达标】

1.下列各式中，不正确的是(　　)

A．sin(180°－α)＝sinα         B．cos＝sin

C．cos＝－sinα        D．tan(－α)＝－tanα

2.如果cos(π＋A)＝－，那么sin＝(　　)

A．－       B.         C．－     D.

3.已知α是第四象限角，且3sin2α＝8cosα，则cos ＝(　　)

A．－    B．－    C．     D．

4.（多选）在 中，下列表达式为常数的是(    )

A.          B.

C.            D.

5.已知sin ＝，则sin ＋sin2＝       ．

6.求证：＋＝.

7.已知f(α)＝.

(1)化简f(α)；

(2)若α为第三象限角，且cos＝，求f(α)的值；

(3)若α＝－，求f(α)的值．

【课堂小结】

1.诱导公式五、六反映的是角±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．

2.诱导公式一～六可归纳为k·±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”

(1)“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的.

(2)“奇”、“偶”是对诱导公式k·±α中的整数k来讲的．

(3)“象限”指k·±α中，将α看成锐角时，k·±α所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号.

【参考答案】

【自主学习】

【小试牛刀】

1.(1) ×　(2)×　(3)×　(4)√

2.D 解析：∵sin165°＝sin(90°＋75°)＝cos75°.∴选D.

【经典例题】

例1 解：原式＝·sin(－sinα)

＝·(－sinα)

＝·(－cosα)(－sinα)＝－cos2α.

【跟踪训练】1  解析：因为cos ＝2sin ，所以sin α＝2cos α.

原式＝＝＝.

例2 证明：右边＝

＝

＝

＝

＝＝＝左边，

所以原等式成立.

【跟踪训练】2证明：左边＝

＝＝＝，

右边＝＝＝，

左边＝右边，所以等式成立．

例3解：cos·sin

＝cos·sin

＝－cos·sin

＝－cos·sin

＝－cos·cos

＝－×＝－.

【跟踪训练】3 解：(1)因为cos (75°＋α)＝，所以cos (105°－α)－sin (15°－α)

＝cos [180°－(75°＋α)]－sin [90°－(75°＋α)]

＝－cos (75°＋α)－cos (75°＋α)＝－.

(2)因为cosα＝－，且α为第三象限角，

所以sinα＝－＝－＝－.

所以f(α)＝＝tanαsinα＝·sinα

＝×＝－.

【当堂达标】

1.B  解析：由诱导公式知A、D正确．

cos＝cos＝－cos＝－sinα，故C正确．

cos＝cos＝－sin，故B不正确．

2.B 解析：∵cos(π＋A)＝－cosA＝－，∴cosA＝，

∴sin＝cosA＝，故选B.

3.C 解析：∵3sin2α＝8cosα，∴sin2α＋＝1，

整理可得9sin4α＋64sin2α－64＝0，解得sin2α＝或sin2α＝－8(舍去).

又∵α是第四象限角，∴sinα＝－，

∴cos ＝cos ＝cos ＝－sin α＝.

4.BC 解析： ，所以 中表达式是常数；

,所以 中表达式是常数；

， ，所以 ， 中表达式不是常数.

5. 解析：∵sin ＝，

∴cos ＝cos ＝sin ＝，

∴sin ＋sin2＝sin＋

＝sin＋＝＋＝.

6.证明：左边＝＋

＝＋＝

＝＝＝右边．

∴原式成立．

7. 解： (1)f(α)＝＝＝－cosα

(2)∵cos＝－sinα＝，∴sinα＝－，

又∵α为第三象限角，

∴cosα＝－＝－，∴f(α)＝.

(3)f＝－cos

＝－cos＝－cos

＝－cos＝－.