人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换精品第1课时学案

5.5.1 三角恒等变换

第1课时  两角差的余弦公式

【学习目标】

【自主学习】

推导：如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1,0)，以x轴非负半轴为始边作角α，β，α－β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1、A1、P.

思考：P1、A1、P点的坐标如何表示？线段AP和A1P1有什么关系？　　　

两角差的余弦公式

【小试牛刀】

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)cos (60°－30°)＝cos60°－cos30°.(　　)

(2)对任意α，β∈R，cos (α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ都成立．(　　)

(3)cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝0.(　　)

(4)求cosα时，有时把角α看成角α＋β与角β的差．(　　)

2.cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°等于(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

3.已知sinθ＝，cosθ＝，则cos (θ－)＝(　　)

A．　　　  B．       C．　　　D．

【经典例题】

题型一  　给角求值　　　　　　　　　　　　　　　　

点拨：利用公式C(α－β)求值的思路方法

1.求非特殊角的余弦值时可将角转化为特殊角的差，正用公式直接求值．

2.如果函数名称不满足公式特点，可利用诱导公式调整角和函数名称，构造公式的结构形式然后逆用公式求值．

例1 计算：(1)cos(－15°)；(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°.

【跟踪训练】1 求下列各式的值：

(1)   cos75°cos15°－sin75°sin195°；(2).

题型二 给值求值

点拨：给值求值问题的解题策略

1.已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．

2.由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角．常见角的变换有：

①α＝(α－β)＋β；②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．

例2 已知α∈(0，)，cos (α＋)＝，则cosα的值为________．

【跟踪训练】2 已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，求cos的值．

题型三　给值求角

点拨：解给值求角问题的一般步骤

1.求角的某一个三角函数值．

2.确定角的范围．

3.根据角的范围写出所求的角．

例3 已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值．

【跟踪训练】3 已知α，β均为锐角，且cosα＝，cosβ＝，求α－β的值．

【当堂达标】

1.（   ）

A． B．        C． D．

2.已知锐角α，β满足cosα＝，cos(α＋β)＝－，则cos(2π－β)的值为(　　)

A.          B．－       C.        D．－

3.若cos(α－β)＝，cos2α＝，并且α，β均为锐角，且α<β，则α＋β的值为(　　)

A.           B.           C.        D.

4.已知sin＝，α∈，则cosα的值为________．

5.化简：＝________.

6.已知，则__________．

7.已知cosα＝，cos (α－β)＝且0＜β＜α＜，求cosβ.

8.已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值．

【课堂小结】

1.“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．

2.“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，

求一个角的值，可分以下三步进行：

(1)求角的某一三角函数值；

(2)确定角所在的范围(找区间)；

(3)确定角的值（确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定）.

【参考答案】

【自主学习】

P1(cosα，sinα)、A1(cosβ，sinβ)、P(cos(α－β)，sin(α－β))     AP＝A1P1

cos (α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ   α，β为任意角

【小试牛刀】

1. (1)×　(2)√　(3)√   (4)√

2.B 解析：原式＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝.

3.B 解析：∵sinθ＝，cosθ＝，

∴cos (θ－)＝cosθcos＋sinθsin＝cosθ＋sinθ＝＝.

【经典例题】

例1 解：解法一：原式＝cos(30°－45°)＝cos30°cos45°＋sin30°sin45°

＝×＋×＝.

解法二：原式＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°

＝×＋×＝.

(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos90°＝0.

【跟踪训练】1　解：(1)cos75°cos15°－sin75°sin195°

＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°

＝cos (75°－15°)＝cos60°＝.

(2)原式＝

＝

＝＝cos15°＝cos (60°－45°)＝.

例2    解析：因α∈(0，)，即＜α＋＜，又cos (α＋)＝，则sin (α＋)＝＝，

所以cosα＝cos [(α＋)－]＝cos (α＋)cos＋sin (α＋)sin＝)＝.

【跟踪训练】2 解：因为α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，

α＋β∈，β－∈，

所以cos(α＋β)＝，cos＝－，

cos＝cos

＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin

＝×＋×＝－.

例3 解：由cosα＝，0<α<，得sinα＝＝＝.

由0<β<α<，得0<α－β<.

又因为cos(α－β)＝，

所以sin(α－β)＝＝ ＝.

由β＝α－(α－β)得cosβ＝cos[α－(α－β)]

＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)

＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)

＝×＋×＝，

因为0<β<，所以β＝.

【跟踪训练】3 解：∵α，β均为锐角，

∴sinα＝，sinβ＝，

∴cos (α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ

＝＝.

又sinα＜sinβ，

∴0<α<β<，∴－＜α－β＜0，

故α－β＝－.

【当堂达标】

1.B 解析：.故选：B.

2.A 解析：因为α，β为锐角，cosα＝，cos(α＋β)＝－，

所以sinα＝，sin(α＋β)＝，所以cos(2π－β)＝cosβ＝cos[(α＋β)－α]

＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－×＋×＝.故选A.

3.C 解析：∵0<α<β<，∴－<α－β<0,0<2α<π.

由cos(α－β)＝，得sin(α－β)＝－.

由cos2α＝，得sin2α＝.

∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)

＝×＋×＝－.

又∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.

4.   解析：因为sin＝，α∈，

所以＋α∈，cos＝－.

所以cosα＝cos＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝.

5.  解析：原式＝

＝

＝＝＝.

6. 解析：由，

，两式相加有，可得．

7.解：因为0＜β＜α＜，所以0＜α－β＜，因为cosα＝，所以sinα＝＝，

又cos(α－β)＝，所以sin (α－β)＝＝，

所以cosβ＝cos [α－(α－β)]＝cosαcos (α－β)＋sinαsin (α－β)＝＝.

8.解：由α－β∈，且cos(α－β)＝－，

得sin(α－β)＝.

由α＋β∈，且cos(α＋β)＝，

得sin(α＋β)＝－.

cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]

＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)

＝×＋×＝－1.

因为α－β∈，α＋β∈，

所以2β∈.所以2β＝π.故β＝.