高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）精品导学案及答案

5.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)

【学习目标】

【自主学习】

一．参数A、ω、φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响

1.φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响

2.ω(ω>0且ω≠1)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响

3.A(A>0且A≠1)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响

解读：A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响

(1)A越大，函数图象的最大值越大，最大值与A是正比例关系．

(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系．

(3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“左加右减”．

二．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ) (A＞0，ω＞0)一个周期内的简图

用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：

三．y＝Asin(ωx＋φ) (A＞0，ω＞0)的性质

1.定义域与值域：定义域为R，值域为           ．

2.周期性：最小正周期T＝    .

3.对称性：对称中心为              (k∈Z)，对称轴是              (k∈Z)．

4.单调性：单调递增区间为                        (k∈Z)，

单调递减区间为                       (k∈Z)．

【小试牛刀】

1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的最大值为A的绝对值.(　　)

(2)y＝sin 3x的图象向左平移个单位所得图象的解析式是y＝sin.(　　)

(3)y＝sin x的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象解析式是y＝sin 2x.(　　)

(4)在y＝Asin (ωx＋φ)的图象中，相邻的两条对称轴之间的距离为1个周期．(　　)

2.函数f(x)＝sin的图象的一条对称轴是(　　)

A．x＝　　　　B．x＝       C．x＝－      D．x＝－

3.函数y＝sin＋1的对称中心为________．

【经典例题】

题型一  三角函数图象的变换

点拨： 一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的图象可以由y=sin x的图象经过平移变换和伸缩变换得到.在图象变换中要注意变换的次序:可以先平移后伸缩,也可先伸缩后平移。两种变换次序中,平移的量是不同的：先平移后伸缩，平移|φ|个单位；先伸缩后平移，平移个单位。

例1 (1)将函数y＝cos的图象向左平移个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为        ．

(2)将y＝sin x的图象怎样变换可得到函数y＝3sin(2x－)＋1的图象？

【跟踪训练】1 (1)要得到y＝cos的图象，只要将y＝sin 2x的图象(　　)

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位   D．向右平移个单位

(2)把函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得图象的函数解析式为y＝sinx，则(　　)

A．ω＝2，φ＝   B．ω＝2，φ＝－   C．ω＝，φ＝   D．ω＝，φ＝－

题型二  由图象求函数y＝Asin (ωx＋φ)的解析式

点拨：给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法

1.逐一定参法：

(1)A：一般可由图象上的最高点、最低点的纵坐标来确定|A|.

(2)ω：因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω.图象上相邻的两个对称中心间的距离为，相邻的两条对称轴之间的距离为，相邻的对称轴与对称中心之间距离为.

(3)φ：从“五点法”中的第一个点(－，0)(也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置．

2.待定系数法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．

3.图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asinωx，再根据图象平移规律确定相关的参数．

例2 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式．

【跟踪训练】2如图是函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象，则下列说法正确的是(　　)

A．ω＝2，φ＝      B．ω＝1，φ＝

C．ω＝2，φ＝       D．ω＝2，φ＝

题型三  三角函数图象与性质的综合应用

例3-1　作出函数y＝2sin ()的一个周期内的简图．

例3-2 已知函数f(x)＝sin(ω＞0)，若f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝(　　)

A.　　　　B．        C.　　   D．

【跟踪训练】3 已知函数在一个周期内的图象如图所示.

(1)求函数的最小正周期T及的解析式；

(2)求函数的对称轴方程及单调递增区间；

(3)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像，若在上有两个解，求a的取值范围.

【当堂达标】

1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋1(A>0，ω>0)的最大值为5，则A＝(　　)

A．5             B．－5             C．4             D．－4

2.把函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标扩大

为原来的2倍，则所得函数的解析式为(　　)

A．y＝sin(3x＋)　　B．y＝sin(6x＋)     C．y＝sin(x＋)    D．y＝sin(x＋)

3.如图所示为函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，则函数的一个解析式为(　　)

A．y＝2sin  B．y＝2sin     C．y＝2sin   D．y＝2sin

4.(多选)将函数f(x)＝sin2x的图象向左平移个单位后得到函数g(x)的图象，则(　　)

A．f(x)与g(x)的最小正周期都是π    B．g(x)的图象关于点(－，0)对称．

C．f(x)的图象关于直线x＝对称     D．g(x)在区间[－]上单调递增

5.在函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的一个周期上，当x＝时，有最大值2，当x＝时，有最小值－2，则ω＝________.

6.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．

(1)求函数y＝f(x)的解析式；

(2)当x∈时，求f(x)的取值范围．

7.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象与x轴的交点中，

相邻两个交点的距离为，且图象上一个最低点为M，求f(x)的解析式．

【课堂小结】

1．由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A，ω，φ的值．

(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|.

(2)因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.

(3)从寻找“五点法”中的第一零点(也叫初始点)作为突破口．以y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．

2．在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想．例如，它在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最大值；在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最小值.

【参考答案】

【自主学习】

0    A   0  －A   0

 [－A，A]      x＝＋ 

【小试牛刀】

1.(1)×　 (2)√　 (3)×　(4)×　 (5)×

2.C

3.，k∈Z

【经典例题】

例1 (1)y＝－cos 2x－3  解析：y＝cos的图象向左平移个单位长度，

得y＝cos＝cos(2x＋π)＝－cos 2x，

再向下平移3个单位长度得y＝－cos 2x－3的图象．

(2)解法一 ：先平移后伸缩：y＝sinx

y＝sin(x－)

y＝sin(2x－)

y＝3sin(2x－)y＝3sin(2x－)＋1.

解法二先伸缩后平移：y＝sinx

y＝sin2xy＝sin2(x－)

y＝3sin2(x－)

＝3sin(2x－)y＝3sin(2x－)＋1.

【跟踪训练】1  (1)A 解析：因为y＝cos＝sin＝sin

＝sin 2，所以将y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到y＝cos的图象．

 (2)B 解析：将函数y＝sinx图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得解析式为y＝sin2x的图象，再向右平移个单位长度，得解析式为y＝sin2＝sin的图象，所以ω＝2，φ＝－.故选B.

例2 解：解法一：逐一定参法

由图象知A＝3，T＝－＝π，∴ω＝＝2，

∴y＝3sin(2x＋φ)．

∵点在函数图象上，且是上升趋势的零点，

∴－×2＋φ＝2kπ，得φ＝＋2kπ(k∈Z)．

∵|φ|<，∴φ＝，∴y＝3sin.

解法二：待定系数法

由图象知A＝3.

∵图象过点和，且由图象的上升及下降趋势，

可得解得

∴y＝3sin.

解法三：图象变换法

由A＝3，T＝π，点在图象上，可知函数图象由y＝3sin2x向左平移个单位长度而得，

所以y＝3sin2，即y＝3sin.

【跟踪训练】2  A　解析：由图象得A＝2，＝，则T＝π，∴＝π，∴ω＝2，

∴f(x)＝2sin (2x＋φ)，

∴f()＝2sin (2×＋φ)＝2，得φ＝－＋2kπ，k∈Z，又|φ|＜π，

∴φ＝.

例3-1　解：令t＝＋，列表如下：

描点连线并向左右两边分别扩展，得到如图所示的函数图象：

例3-2  B 解析：因为f＝f，所以直线x＝＝是函数f(x)图象的一条对称轴，

又因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，

所以当x＝时，f(x)取得最小值．

所以ω＋＝2kπ－，k∈Z，解得ω＝8k－，(k∈Z)

又因为T＝≥－＝，所以ω≤12，

又因为ω＞0，所以k＝1，即ω＝8－＝.

【跟踪训练】3  解：(1)由题意A=1，，则，所以，又因为图象过点，所以，而，则，于是.

(2)结合图象可知，函数的对称轴为：，

令，即函数的增区间为：.

(3)的图象向右平移个单位长度得到：，于是，如图所示：

因为在上有两个解，所以.

【当堂达标】

1.C 解析：∵A>0，∴函数最大值A＋1＝5，∴A＝4.

2.D 把函数y＝sin(3x－)的图象向左平移个单位长度，可得y＝sin[3(x＋)－]的图象，即函数解析式为y＝sin(3x＋)，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，可得y＝sin(x＋)的图象．

3.C 解析：由图象知A＝2，＝－＝，∴T＝π＝，∴ω＝2，

∵图象过，∴2＝2sin，

∴sin＝1，∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z，

∴φ＝＋2kπ，k∈Z，

又∵0<|φ|<，∴φ＝.

∴函数解析式y＝2sin.

4.ABD 解析：由题知f(x)＝sin2x，g(x)＝sin [2(x＋)]＝sin (2x＋)，

f(x)与g(x)的最小正周期均为T＝＝π，故A正确；

g(－)＝sin [2×(－)＋]＝sin0＝0，故B正确；

f()＝sin (2×)＝sin＝≠±1，所以x＝不是对称轴，故C错误；

g(x)的单调递增区间为2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，当k＝0时，递增区间为[－]，故D正确．

5. 2 解析：依题意知＝－＝，所以T＝π，又T＝＝π，得ω＝2.

6. 解：(1)由函数图象得A＝1，＝－＝，所以T＝2π，则ω＝1.

将点代入得sin＝1，而－<φ<，

所以φ＝，因此函数的解析式为f(x)＝sin.

(2)由于－π≤x≤－，－≤x＋≤，

所以－1≤sin≤，

所以f(x)的取值范围是.

7. 解：由最低点M，得A＝2.

在x轴上两相邻交点之间的距离为，故＝，

即T＝π，ω＝＝＝2.

由点M在图象上得2sin＝－2，即sin＝－1，

故＋φ＝2kπ－(k∈Z)，

∴φ＝2kπ－(k∈Z)．又φ∈，

∴φ＝.故f(x)＝2sin.