初中数学人教版九年级下册27.2.3 相似三角形应用举例复习练习题

27.2.3　相似三角形应用举例

知能演练提升

一、能力提升

1.如图,小明在打网球时,要使球恰好能过网,而且落在离网5 m的位置上,则球拍击球的高度h应为              (　　)

A.1.8 m B.2.7 m 

C.3.6 m D.4.5 m

2.已知某建筑物在地面上的影长为36 m,同时高为1.2 m 的测杆影长为2 m,则该建筑物的高为　　　　　m. 

3.如图,某水平地面上建筑物的高度为AB,在点D和点F处分别竖立高是2 m的标杆CD和EF,两标杆相隔52 m,并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内.从标杆CD后退2 m到点G处,在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上;从标杆FE后退4 m到点H处,在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一直线上,则建筑物的高是　　　　　 m. 

4.已知点A,B,C,D的坐标如图所示,E是图中两条虚线的交点(DE⊥x轴).若△ABC和△ADE相似,则点E的坐标是　　　　　. 

5.已知正方形ABCD的边长为4,M,N分别是BC,CD上的两个动点,且始终保持AM⊥MN.当BM=　　　　　时,四边形ABCN的面积最大. 

6.如图,一段街道的两边缘所在直线分别为AB,PQ,并且AB∥PQ.建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M,交PQ于点N.小亮从胜利街的A处,沿着AB方向前进,小明一直站在点P的位置等候小亮.

(1)请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线,以及此时小亮所在位置(用点C标出);

(2)若MN=20 m,MD=8 m,PN=24 m,求(1)中的点C到胜利街口的距离CM.

7.为防水患,在水库上游修筑了防洪堤,其截面为如图所示的梯形.堤的上底AD和堤高DF都是6 m,其中∠B=∠CDF.

(1)求证:△ABE∽△CDF;

(2)如果=2,求堤的下底BC的长.

8.如图,在一个长为40 m,宽为30 m的长方形小操场上,李明从点A出发,沿着A→B→C的路线以3 m/s的速度跑向C地,当他出发4 s后,张华有东西需要交给他,就从A地出发沿李明走的路线追赶.当张华跑到距B地2 m的D处时,他和李明在阳光下的影子恰好重叠在同一条直线上,此时,A处有一根电线杆在阳光下的影子也恰好落在对角线AC上.

(1)求他们的影子重叠时,两人相距多少米(DE的长).

(2)求张华追赶李明的速度是多少.(精确到0.1 m/s)

二、创新应用

★9.问题背景:在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息:

①

甲组:如图①,测得一根直立于平地,长为80 cm的竹竿的影长为60 cm;

乙组:如图②,测得学校旗杆的影长为900 cm;

②

丙组:如图③,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽略不计)的高度为200 cm,影长为156 cm.

③

任务要求:

(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;

(2)如图③,设太阳光线NH与☉O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径(提示:如图③,景灯的影长等于线段NG的影长;需要时可采用等式1562+2082=2602).

知能演练·提升

一、能力提升

1.B

2.21.6　设建筑物的高为xm,由题意,得x∶36=1.2∶2,解得x=21.6.

3.54

4.(4,-3)　由△ABC∽△ADE,且DE⊥x轴,∴BC∥DE,∴,得DE=6.

∴点E的坐标为(4,-3).

5.2　设BM=x,则MC=4-x,

当AM⊥MN时,利用互余关系可证△ABM∽△MCN,所以,即,得CN=x-.而S四边形ABCN=×4=-+2x+8=-(x-2)2+10,

故当x=2时,四边形ABCN的面积最大.

6.解(1)如图,CP为视线,点C为所求位置.

(2)因为AB∥PQ,MN⊥AB于点M,交PQ于点N,

所以∠CMD=∠PND=90°.

又因为∠CDM=∠PDN,

所以△CDM∽△PDN,

所以.

而MN=20m,MD=8m,PN=24m,即,

所以CM=16m,即点C到胜利街口的距离CM为16m.

7.(1)证明在△ABE和△CDF中,∠AEB=∠CFD=90°,∠B=∠CDF,∴△ABE∽△CDF.

(2)解∵=2,AE=DF=6m,

∴BE=AE=3m.

又△ABE∽△CDF,

∴,

∴CF=·DF=2×6=12(m).

易知AD=EF=6m,

∴BC=BE+EF+FC=3+6+12=21(m).

8.解(1)由阳光与影子的性质,可知DE∥AC,

∴∠BDE=∠BAC,

∠BED=∠BCA.

∴△BDE∽△BAC,

∴.

∵AC==50(m),BD=m,AB=40m,

∴DE=m.

(2)BE==2m,

李明到达E处所用的时间为=14(s),张华到达D处所用的时间为14-4=10(s),张华追赶李明的速度为÷10≈3.7(m/s).

二、创新应用

9.解(1)由题意,可知∠BAC=∠EDF=90°,∠BCA=∠EFD,

所以△ABC∽△DEF,

所以,即,

所以DE=1200(cm).

所以学校旗杆的高度是12m.

(2)与(1)类似,得,

即,

所以GN=208(cm).

在Rt△NGH中,根据勾股定理,得NH2=1562+2082=2602,

所以NH=260(cm).

设☉O的半径为rcm,连接OM,

因为NH切☉O于点M,

所以OM⊥NH,

则∠OMN=∠HGN=90°,

又∠ONM=∠HNG,

所以△OMN∽△HGN,

所以.

又ON=OK+KN=OK+(GN-GK)=(r+8)cm,

所以,解得r=12,

所以景灯灯罩的半径是12cm.