高中数学4.2 指数函数优秀第1课时学案设计

4.2  第1课时  指数函数概念图象及性质

【学习目标】

【自主学习】

一．指数函数的定义

一般地，函数       (a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.

特别提醒：

(1)规定y＝ax中a>0，且a≠1的理由：

①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1 (x∈R)，无研究价值.因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.

(2)要注意指数函数的解析式：①底数是大于0且不等于1的常数.②指数函数的自变量必须位于指数的位置上.③ax的系数必须为1.④指数函数等号右边不能是多项式，如y＝2x＋1不是指数函数.

二．指数函数的图象和性质

指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：

【小试牛刀】

1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)

（1）y＝xx(x>0)是指数函数.(　 　)

（2）y＝ax＋2(a>0且a≠1)是指数函数.(　 　)

（3）因为a0＝1(a>0且a≠1)，所以y＝ax恒过点(0,1).(　 　)

（4）y＝ax(a>0且a≠1)的最小值为0.(　 　)

2.y＝x的图象可能是(　　)

【经典例题】

题型一　指数函数的概念

点拨：

1.判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住三点：

(1)底数是大于0且不等于1的常数；

(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；

(3)ax的系数必须为1.

2.求指数函数的解析式时常用待定系数法．

例1下列函数中是指数函数的是________.(填序号)

①y＝2·()x；②y＝；③；④y＝ ；⑤y＝ .

【跟踪训练】1 (1)已知函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．

(2)若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝(　　)

A.()x        B.2x       C.       D.

题型二　指数型函数图象

点拨：1.求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点.

2.指数函数图象问题的处理技巧

(1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点.

(2)利用图象变换，如函数图象的平移变换左右平移、上下平移.

(3)利用函数的奇偶性与单调性.奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势.

例2  函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．

【跟踪训练】2已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是(　　)

A.(－1,5)           B.(－1,4)             C.(0,4)             D.(4,0)

例3 函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a的图象大致是(　　)

【跟踪训练】3 函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)

A．a>1，b<0       B．a>1，b>0         C．0<a<1，b>0   D．0<a<1，b<0

题型三　指数型函数的定义域、值域

点拨：指数型函数y＝af(x)的定义域、值域的求法

1.定义域：函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同.

2.值域：①换元，t＝f(x).  ②求t＝f(x)的定义域为x∈D.

③求t＝f(x)的值域为t∈M.  ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域.

例4　求下列函数的定义域和值域：

(1)y＝；(2) ； (3) .

【跟踪训练】4 当x∈[－2，2)时，的值域是(　　)

A.      B.        C.      D.

【当堂达标】

1.给出下列函数：

①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是(　　)

A.0            B.1            C.2  D.4

2.(多选)若函数（，且）是指数函数，则下列说法正确的是（    ）

A．       B．    C．    D． 

3.若函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有(　　)

A．0<a<1，且b>0 B．a>1，且b>0

C．0<a<1，且b<0 D．a>1，且b<0

4.函数的值域是(　　)

A．[0,8)        B．(0,8)        C．[0,8]       D．(0,8]

5.函数的图象恒过定点________.

6.已知函数的图象经过点，其中a>0且a≠1.

(1)求a的值；

(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．

【课堂小结】

1.判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1.

2.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的性质分底数a>1,0<a<1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的．

3.由于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域为R，即x∈R，所以函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)与函数f(x)的定义域相同．

4.求函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的值域的方法如下：

(1)换元，令t＝f(x)，并求出函数t＝f(x)的定义域；

(2)求t＝f(x)的值域t∈M；

(3)利用y＝at的单调性求y＝at在t∈M上的值域.

【参考答案】

【自主学习】

1.y＝ax    

2.(0,1)   0  y>1  0<y<1  0<y<1  y>1  增函数 减函数

【小试牛刀】

1. ×  ×  √  ×

2.C 解析：0<<1且过点(0,1)，故选C.

【经典例题】

例1 ③ 解析： ①中指数式()x的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝＝·2x，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；④中指数不是x，故不是指数函数；⑤中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数，故填③.

【跟踪训练】1  (1)∪(1，＋∞) 解析：由题意可知解得a>，且a≠1，

所以实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．

(2) A 解析：由题意，设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则由f(2)＝a2＝2，得a＝，所以f(x)＝()x.

例2  (3,4)　解析：令x－3＝0得x＝3，此时y＝4.故函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点(3,4)．

【跟踪训练】2 A解析：当x＋1＝0，即x＝－1时，ax＋1＝a0＝1，为常数，此时f(x)＝4＋1＝5.即点P的坐标为(－1,5).

例3  A 解析：当a>1时，函数f(x)＝ax单调递增，当x＝0时，g(0)＝a>1，此时两函数的图象大致为选项A.

【跟踪训练】3  D 解析：由于f(x)的图象单调递减，所以0<a<1，又0<f(0)<1，所以0<a－b<1＝a0，即－b>0，所以b<0，故选D.

例4 解： (1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，故函数y＝的定义域为(－∞，0]．

因为x≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1，

所以∈[0,1)，即函数y＝的值域为[0,1)．

(2)定义域为R.

∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，

∴≤＝16.

又∵ >0，

∴函数的值域为(0,16]．

(3)因为对于任意的x∈R，函数都有意义，所以函数的定义域为R.因为2x>0，所以，

即函数的值域为(2，＋∞)．

【跟踪训练】4  A 解析：，x∈[－2，2)是减函数，

∴3－2－1<y≤32－1，即－<y≤8.

【当堂达标】

1.B 解析：①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数.⑤中，底数－2＜0，不是指数函数.

2.AC 解析：因为函数是指数函数，所以，所以，所以，所以，，故B、D错误，A、C正确.

3.C 解析：函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象是由函数y＝ax的图象经过向上或向下平移而得到的，因其图象不经过第一象限，所以a∈(0,1)．若经过第二、三、四象限，则需将函数y＝ax(0<a<1)的图象向下平移至少大于1个单位长度，即b－1<－1⇒b<0.故选C.

4. A 解析：∵x≥0，∴－x≤0，∴3－x≤3，∴0<≤23＝8，∴0≤<8，∴函数的值域为[0,8)．

5. (1，3) 解析：令x－1＝0，得x＝1，f(1)＝2×1＋1＝3，所以f(x)的图象恒过定点(1，3).

6. 解：(1)∵f(x)的图象过点，

∴a2－1＝，则a＝.

(2)由(1)知，f(x)＝x－1，x≥0.

由x≥0，得x－1≥－1，

于是，

所以函数y＝f(x)(x≥0)的值域为(0,2]．