高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数优秀学案

4.3.1  对数的概念

【学习目标】

【自主学习】

一．对数

(1)指数式与对数式的互化及有关概念：

(2)底数a的范围是         .

思考1：如何求解3x＝2?

二.常用对数与自然对数

1.常用对数：通常我们将以    为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为     .

2.自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以    为底的对数称为自然对数，并把logeN记作      .

三.对数的基本性质

1.负数和零     对数.

2.loga1＝    (a>0，且a≠1).

3.logaa＝    (a>0，且a≠1).

思考2：为什么零和负数没有对数？

四.对数恒等式

1. a＝    (a>0且a≠1，N >0).

2.logaab＝   (a>0，且a≠1)．

思考3：如何推出对数恒等式a＝N(a>0且a≠1，N >0)吗？

解读：恒等式a＝N与logaab＝b的作用

1.a＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式．

2.logaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数．

【小试牛刀】

1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)logaN是loga与N的乘积．(　　)

(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.(　　)

(3)对数运算的实质是求幂指数．(　　)

(4)在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是(1，＋∞)．(　　)

2.若log3x＝3，则x＝(　　)

A．1       B．3     C．9   D．27

【经典例题】

题型一　指数式与对数式的互化

点拨：指数式与对数式互化的思路

1.指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.

2.对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.

例1　根据对数定义，将下列指数式写成对数式：

①3x＝；　　　　 ②x＝64；     ③log16＝－；     ④ln 10＝x.

【跟踪训练】1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

(1)43＝64；(2)ln a＝b；(3)＝n；(4)lg 1000＝3.

题型二　利用指数式与对数式的互化求变量的值

点拨:1.将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题.

2.利用幂的运算性质和指数的性质计算.

例2 利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值.

 (1)log2x＝－；(2)logx25＝2；(3)log5x2＝2.

【跟踪训练】2  (1)求下列各式的值.

①log981＝________.②log0.41＝________.③ln e2＝________.

 (2)求下列各式中x的值.

①log64x＝－；②logx8＝6； ③lg 100＝x；④－ln e2＝x.

题型三　对数基本性质的应用

点拨：利用对数性质求值的方法

1.性质:loga1＝0; logaa＝1 (a>0，且a≠1).

2.求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．

3.对数恒等式a＝N (a>0且a≠1，N >0)，logaab＝b(a>0，且a≠1).

例3 求下列式子值。

(1)2log23＋2log31－3log77＋3ln 1＝________.    (2)9＝________.

【跟踪训练】3 求下列各式中的x的值．

(1)log2(log3x)＝0；

(2)log2[log3(log2x)]＝1.

【当堂达标】

1．（多选）下列选项中错误的是(　　)

A.零和负数没有对数

B.任何一个指数式都可以化成对数式

C.以10为底的对数叫做自然对数

D.以e为底的对数叫做常用对数

2.（多选）下列指数式与对数式互化正确的一组是(　　)

A．与lg 1＝0 B．＝与log27＝－

C．log39＝2与＝3 D．log55＝1与51＝5

3.对数式log(a－2)(5－a)＝b中，实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，5)　　　　　　　　 B．(2,5)

C．(2，＋∞)  D．(2,3)∪(3,5)

4.方程lg(2x－3)＝1的解为________.

5.把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.

(1)2－3＝；(2)＝b；(3)lg ＝－3 .

6.计算下列各式：

(1) ；(2) .

7.若log(x－2)(x2－7x＋13)＝0，求x的值．

【课堂小结】

1.对数概念的理解

(1)规定a>0且a≠1.

(2)由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以ab＝N中，N总是正数，即零和负数没有对数.

(3)对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N⇔logaN＝b(a>0且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：①logaab＝b；②alogaN＝N.

2.在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.

【参考答案】

【自主学习】

一．a>0，且a≠1 

思考1：x＝log32.

二．10    lg_N    e    ln_N

三．没有  0  1

思考2：由对数的定义：ax＝N(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x＝logaN时，不存在N≤0的情况．

四．N  b

思考3：因为ax＝N，所以x＝logaN，代入ax＝N可得a＝N.

【小试牛刀】

1.(1)×　(2)×　(3)√  (4)√

2.C 解析：∵log3x＝2，∴x＝32＝9.

【经典例题】

例1 解：①log3＝x；②log64＝x；③16＝；④ex＝10.

【跟踪训练】1 解　(1)因为43＝64，所以log464＝3；

(2)因为ln a＝b，所以eb＝a；

(3)因为＝n，所以logn＝m；

(4)因为lg 1 000＝3，所以103＝1 000.

例2 解　(1)由log2x＝－，得2－＝x，∴x＝.

(2)由logx25＝2，得x2＝25.∵x＞0，且x≠1，∴x＝5.

(3)由log5x2＝2，得x2＝52，∴x＝±5.∵52＝25＞0，(－5)2＝25＞0，∴x＝5或x＝－5.

【跟踪训练】2 (1)①2　②0　③2

解析：①设log981＝x，所以9x＝81＝92，故x＝2，即log981＝2；②设log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，故x＝0，即log0.41＝0；③设ln e2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即ln e2＝2.

(2)解：①由log64x＝－得；

②由logx8＝6，得x6＝8，又x>0，即；

③由lg 100＝x，得10x＝100＝102，即x＝2；

④由－ln e2＝x，得ln e2＝－x，所以e－x＝e2，所以－x＝2，即x＝－2.

例3  (1) 0 解析：原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0.

(2)4 解析： 9＝(9)＝3＝4.

【跟踪训练】3 解　(1)因为log2(log3x)＝0，所以log3x＝1，所以x＝3.

 (2)由log2[log3(log2x)]＝1得log3(log2x)＝2，所以log2x＝32，所以x＝29＝512.

【当堂达标】

1. BCD 解析：只有符合a>0，且a≠1，N>0，才有ax＝N⇔x＝logaN，故B错误．由定义可知CD均错误．只有A正确．

2.ABD 解析：对于A，，A正确；对于B，，B正确；

对于C，，C不正确；对于D，，D正确.故选：ABD.

3.D 解析：∵，∴.故选D.

4. 解析　由lg(2x－3)＝1知2x－3＝10，解得x＝.

5.解　(1)由2－3＝可得log2＝－3；

(2)由＝b得logb＝a；

(3)由lg ＝－3可得10－3＝.

6.解：(1)原式＝21＋0＋2＝2＋2＝4.

(2)原式.

7.解：由题意得，

由①得x2－7x＋12＝0.

∴x＝3或x＝4.

又由②③得x＞2且x≠3.

∴x＝4.