2022-2023学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学九年级（上）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学九年级（上）期中数学试卷  一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）   以下关于新型冠状病毒的防范宣传图标中是中心对称图形的是(    )A.  B.  C.  D.    方程的二次项系数和一次项系数分别为(    )A. 和 B. 和 C. 和 D. 和   已知是方程的一个根，则代数式的值为(    )A.  B.  C.  D.    用配方法解方程，配方后所得的方程是(    )A.  B.  C.  D.    如图，点、、、都在方格纸的格点上，若绕点按逆时针方向旋转到的位置，则旋转的角度为(    )A.
B.
C.
D.    如图，、、、四个点均在上，，，则的度数为(    )A.
B.
C.
D.    为促进消费，武汉市政府开展发放政府补贴消费的“消费券活动”，某商场的月销售额逐步增加；据统计月份的销售额为万元，接下来月，月的月增长率相同，月份的销售额为万元，若设月、月每月的增长率为，则可列方程为(    )A.  B.
C.  D.    如图，是的边上的中线，将线段绕点顺时针旋转后，点的对应点恰好落在边上，若，，则的长为(    )A.
B.
C.
D.    若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系正确的是(    )A.  B.  C.  D. 如图，点在边上，点是上的一动点，点是的中点，连接，设，，图是点运动时随变化的关系图象，其中点是函数图象的最低点，则的值为(    )
 A.  B.  C.  D.  二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）若点，关于原点对称，则______．某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是，每个枝干长出______个小分支．如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度单位：与飞行时间单位：之间具有函数关系，则小球飞出______时，达到最大高度．
如图，要设计一本书的封面，封面长，宽正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果使四周的边树所占面积是封面面积的五分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，上下边衬的宽度为______，左右边衬的宽度为______．
 如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在，之间包含端点有下列结论：；；；，其中正确的有______．
 人们把这个数叫做黄金分割数，如果把一条线段分为两部分，使其中较长一段与整个线段的比是黄金分割数，那么较短一段与较长一段的比也是黄金分割数，如图，线段的长为，为线段的黄金分割点，为线段的黄金分割点，为线段的黄金分割点，即，则的长为______．
  三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）解方程：． 四、解答题（本大题共7小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
已知二次函数解析式
二次函数的顶点坐标为______．
当 ______时，随增大而增大；
将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线解析式．
根据图象，直接写出当时的取值范围是______．本小题分
已知关于的方程有两个实数根，．
求实数的取值范围；
若，满足，求实数的值．本小题分
如图，点、和都在上，且，
求证：四边形为菱形；
求的度数．
本小题分
如图，在的网格中，的三个顶点都在格点上用无刻度的直尺作图．
在图中画出一条恰好平分周长的直线；
在图中上画出点，使平分；
在图中上画出点点不与点重合，使．
 本小题分
某商品的进价为每件元，售价为每件元，每月可卖出件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨价元，每月要少卖件，售价每降价元，每月要多卖件，为了获得更大的利润，现将售价调整为元件即售价上涨，即售价下降，每月饰品销量为件，月利润为元．
直接写出与之间的函数关系式及自变量的取值范围．
如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润．
要使每月利润为元，销售价格为多少元？直接写出答案本小题分
问题背景：
如图，在等边中，点是等边内一点，连结，，将绕点逆时针旋转得到，连结，则是______三角形；
尝试应用
如图，在等腰中，，，点是内一点，连结，，，，，，求面积．
拓展创新
如图，在等腰中，，，为平面内一点，且，，则的值为______．
 本小题分
已知抛物线，为抛物线的顶点．
如图，抛物线经过点．
求抛物线的解析式；
若在第一象限抛物线上有点，使，求点的坐标；
将抛物线绕顶点旋转，新抛物线如图交轴、两点，点为轴上方抛物线上的一个动点，直线，分别交轴于、两点，求的最大值用含的式子表示．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：选项A、、中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 2.【答案】 【解析】解：方程的二次项系数和一次项系数分别为和，
故选：．
根据一元二次方程的定义求解即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：是方程的一个根，
，
，
．
故选：．
根据一元二次方程的解的定义得到，再把表示为，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 4.【答案】 【解析】解：把方程的常数项移到等号的右边，得到，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到，
配方得．
故选：．
把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方．
本题考查了配方法，解题的关键是注意：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．
 5.【答案】 【解析】解：绕点按逆时针方向旋转到的位置，
对应边、的夹角即为旋转角，
而．
旋转的角度为．
故选：．
根据旋转的性质，对应边的夹角即为旋转角．
本题考查了旋转的性质，熟记性质以及旋转角的确定是解题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：如图，

连接，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，由，得出，再由，得出，求得，进一步得出，最后利用圆周角定理得出的度数即可．
此题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，圆周角定理，正确作出辅助线是解决问题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据题意，可以写出相应的一元二次方程，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题，是中考常考题．
 8.【答案】 【解析】解：如图，连接，

是的边上的中线，
，
将线段绕点顺时针旋转，
，，
，，，
，
，
，
，
，
故选：．
连接，由旋转的性质可得，，可求，，，可证，由勾股定理可求的长，即可求解．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的判定，勾股定理，求出的长是本题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：，
图象的开口向上，对称轴是直线，
关于直线的对称点是，，
，
故选：．
根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，随的增大而减小，即可得出答案．
本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：如图，

设为的中点，为的中点，连接，，可知的运动轨迹为，
根据图象的第一个点可知在点时与的中点重合，即；
由图象最后一个点可知与重合时，与的中点重合，；
当的时候，最小为，
在和中，根据勾股定理得，
，，
，
．
故选：．
根据图象的第一个点可知在点时为的中点，所以边的中线长为；由图象最后一个点可知与重合时，为的中点，；因为为的中点，可知的运动轨迹是的中位线，所以当垂直于中位线的时候最小为，根据勾股定理求出中位线即可得即的值．
本题考查的是动点图象问题，涉及到动点的轨迹问题、中位线定理和勾股定理的运用等知识，此类问题关键是：弄清楚所给点的坐标的意义，图象和图形的对应关系，进而求解．
 11.【答案】 【解析】解：点，关于原点对称，
，，
．
故答案为：．
根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反即可得到答案．
此题主要考查了原点对称点的坐标特点，关键是掌握点的变化规律．
 12.【答案】 【解析】解：设每个枝干长出个小分支，则主干上长出了个枝干，
根据题意得：．
解得舍去，．
即每个枝干长出小分支．
故答案是：．
设每个枝干长出个小分支，则主干上长出了个枝干，根据主干、枝干和小分支的总数是，即可得出关于的一元二次方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：，
，
当时，的最大值为，
即时，的值最大，
故答案为：．
把函数关系式配方成顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 14.【答案】   【解析】解：正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，
设正中央的矩形长为，宽为，
根据题意，得，
解得，
，
，
上下边衬宽为，
左右边衬宽为，
故答案为：，．
设正中央的矩形长为，宽为，根据使四周的边树所占面积是封面面积的五分之一，得，解出的值，再进一步求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：抛物线与轴交于点，顶点坐标为，
抛物线与轴的另一交点的坐标为，
当时，，结论成立；
抛物线与轴的交点在、之间包含端点，
．
当时，，
，
，结论错误；
抛物线的对称轴为直线，
，
．
当时，，
．
，
，结论正确；
当时，，
，
，结论正确．
故答案为：．
根据二次函数的性质可得出点的坐标，进而可得出当时，结论成立；由抛物线与轴交点的范围可得出，根据当时，可得出，进而可得出，结论错误；由抛物线的对称轴为直线可得出，根据当时，可得出，结合的取值范围即可得出，结论正确；根据顶点坐标为，可得出，结合的取值范围即可得出，结论正确．综上即可得出结论．
本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：，为线段的黄金分割点，，
，
同理：，
，
，
故答案为：．
由黄金分割的定义求出的长，同理得出、的长，即可解决问题．
本题考查黄金分割的概念，熟记黄金比值是解题的关键．
 17.【答案】解：，，，
，
，． 【解析】此题比较简单，采用公式法即可求得，首先确定，，的值，然后检验方程是否有解，若有解代入公式即可求解．
此题考查了学生的计算能力，解题的关键是准确应用公式．
 18.【答案】     【解析】解：，
二次函数的顶点坐标为．
故答案为：；
函数的开口向上，
当时，随的增大而增大，
故答案为：；
将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线解析式为，即．
当时，；
当时，；
当时的取值范围是．
故答案为：．
把抛物线解析式化为顶点式可求得顶点坐标；
根据二次函数的性质可得出答案；
根据平移规律：上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式；
根据二次函数的性质可得出答案．
本题考查了二次函数的性质，平移的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 19.【答案】解：关于的方程有两个实数根，，
，
解得：，
实数的取值范围为．
关于的方程有两个实数根，，
，．
，
，即，
解得：或不符合题意，舍去．
实数的值为． 【解析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出实数的取值范围；
由根与系数的关系可得、，将其代入中，解之即可得出的值．
 20.【答案】证明：，，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形；
解：连接，
四边形为菱形，
为等边三角形，
，
同理，
． 【解析】根据邻边相等的平行四边形是菱形证明；
根据等边三角形的性质解答．
本题考查的是圆周角定理和菱形的性质，掌握圆周角定理、菱形的性质定理是解题的关键．
 21.【答案】解：如图中，直线即为所求；
如图中，点即为所求；
如图中，点即为所求．
 【解析】取的中点，取格点，作直线即可；
取格点连接交于点，点即为所求；
取格点，连接交于点，点即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，圆心角，弧，弦之间的关系，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 22.【答案】解：由题意可得：；
由题意可得：，
化简得：，
即，
当时，，
当时，，
故当销售价格为元时，利润最大，最大利润为元；
由题意，如图，

令，
将代入时对应的抛物线方程，即，
解得：，
将代入时对应的抛物线方程，即，
解得，，
综上可得，，
故将销售价格控制在元到元之间含元和元才能使每月利润不少于元． 【解析】直接根据题意售价每涨元每月要少卖件；售价每下降元每月要多卖件，进而得出等量关系；
利用每件利润销量总利润，进而利用配方法求出即可；
利用函数图象结合一元二次方程的解法得出符合题意的答案．
此题主要考查了二次函数的应用以及配方法求二次函数最值等知识，利用函数图象得出的取值范围是解题关键．
 23.【答案】等边 或 【解析】解：问题背景：，，
是等边三角形，
故答案为：等边三角形．

尝试应用：如图中，将绕点顺时针旋转得到，连接．

，，
，，
，，
，
，
，
，
，，共线，
；

拓展创新：当点在的上方时，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，，，设，则．

，
，
，，
≌，
，，
过点作于点则，，
，
，
，，
，，
，
，
，
．
当点在的下方时，当点在的上方时，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，，，设，则，过点作交的延长线于点．

同法可证≌，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
综上所述，的值为或．
故答案为：或．
问题背景：是等边三角形，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形判断即可；
尝试应用：如图中，将绕点顺时针旋转得到，连接证明，推出，再证明，，共线，可得结论；
拓展创新：分两种情形：当点在的上方时，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，，，设，则想办法求出，，可得结论．当点在的下方时，当点在的上方时，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，，，设，则，过点作交的延长线于点想办法求出，，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
 24.【答案】解：将点代入，
，
解得，
；
，
抛物线的顶点，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
过点作轴交于点，
设，则，
，
，
解得或或舍，
或；
，
抛物线的顶点，
将抛物线绕顶点旋转，
旋转后的抛物线的解析式为，
令，则，
解得或，
，，
设，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
，
同理可求直线的解析式为，，
，
，
当时，有最大值． 【解析】将点代入，求出的值即可求函数的解析式；
过点作轴交于点，设，则，由题意可得，求出的值即可求点坐标；
求出旋转后的抛物线的解析式为，设，分别求出直线的解析式和直线的解析式，然后可以确定、点坐标，再求的最大值即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数的解析式，用铅锤法求三角形的面积是解题的关键．