2022-2023学年福建省泉州市永春五中片区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省泉州市永春五中片区九年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列式子中属于最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 若是关于的一元二次方程的解，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 用配方法解方程时，配方结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在一块长为米，宽为米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路两条道路各与矩形的一条边平行，剩余部分种上草坪，使草坪面积为平方米．若设道路宽为米，则根据题意可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

6. 下列各组线段中，能成比例的是(    )

A. ，，，
B. ，，，
C. ，，，
D. ，，，

7. 如图，把矩形放在直角坐标系中，在轴上，在轴上，且，，把矩形绕着原点顺时针旋转得到矩形，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，每个小正方形边长均为，则下列图中的三角形阴影部分与图中相似的是(    )
    

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，与函数的图象交于点若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，已知在中，，，是边上的中线．按下列步骤作图：
    分别以点，为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点，；
    过点，作直线，分别交，于点，；
    连结，．
    则下列结论错误的是(    )

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 如果式子有意义，那么的取值范围是          ．
12. 方程的根是______．
13. 如图，已知直线，直线，与直线，，分别交于点，，，，，，若，，，则的值是______．

14. 如图，点、分别是的边、中点，、相交于，则等于______．

15. 九章算术中记载了一种测量井深的方法．如图，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米、米，那么______米．

16. 如图，平行四边形中，对角线，交于点，，，，分别是，，的中点．下列结论正确的是______填序号
    ；≌；平分；平分；四边形是菱形．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    计算：
    ；
    ．
18. 本小题分
    先化简，再求值：，其中．
19. 本小题分
    解方程：
    ；
    ．
20. 本小题分
    关于的方程．
    求证无论为何值时，原方程总有两个实数根．
    若方程的两根之积是两根之和的倍，求的值．
21. 本小题分
    如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，给出格点及点．
    以点为位似中心，在网格范围内画出，使得与位似，且相似比为．
    填空：：______．

22. 本小题分
    某店销售产品，每千克售价为元．
    若连续两次降低售价后，每千克元，求这两次降价的平均百分率？
    若按现价销售，每千克可以盈利元，每天可以售出千克．调查发现，在进价不变的情况下，每千克产品的售价每涨价元，日销售量就减少千克．该店希望每天产品盈利元，设每千克产品涨价元，求的值．
23. 本小题分
    如图，等边三角形的边长为，点为上的一点，点为上的一点，连接、，．
    求证：∽；
    若，求的长．

24. 本小题分
    初步尝试
    如图，在三角形纸片中，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则与的数量关系为______；
    思考说理
    如图，在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值；
    拓展延伸
    如图，在三角形纸片中，，，，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为．
    求线段的长；
    若点是边的中点，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，与交于点，求的取值范围．
     
25. 本小题分
    已知矩形与矩形，其中，，，．
    若，，
    如图，点在边上，求；
    如图，四边形绕点逆时针旋转旋转角度不超过，当、，三点共线时，求；
    如图，若，，，，探索和的数量关系．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B.的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C.是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D.的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，无法计算，故此选项错误；
B、，无法计算，故此选项错误；
C、，正确；
D、，无法计算，故此选项错误；
故选：．
直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：把代入方程得，
所以．
故选：．
把代入方程可得的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

4.【答案】 

【解析】解：方程，
整理得：，
配方得：．
故选：．
方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：设道路的宽应为米，由题意有
，
故选：．
把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、由于，所以不成比例，不符合题意；
B、由于，所以不成比例，不符合题意；
C、由于，所以不成比例，不符合题意；
D、由于，所以成比例，符合题意．
故选：．
四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．
此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的数相乘，另外两个数相乘，看它们的积是否相等．
 

7.【答案】 

【解析】解：矩形的对边相等，，，
点的坐标为
故选C．
根据矩形的特点和旋转的性质来解决．
需注意旋转前后线段的长度不变，第一象限内点的符号为．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
根据网格中的数据求出，，的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
【解答】
解：由勾股定理得：，，，
：：：：，
A、三边之比为：：，图中的三角形阴影部分与不相似；
B、三边之比：：：，图中的三角形阴影部分与相似；
C、三边之比为：：，图中的三角形阴影部分与不相似；
D、三边之比为：：，图中的三角形阴影部分与不相似．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴于点，

，
：：：，
，
：：，
：：：，
直线与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，
，，
，，
，，
，
．
点在函数的图象上，
．
故选：．
过点作轴于点，所以，所以：：：：由直线与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，可知，，所以，，所以，，则，由此可得根据反比例函数上点的坐标特点可得出结论．
本题考查一次函数和反比例函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，平行线分线段成比例等相关内容，作出辅助线，得出比例求出点的坐标是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由作法得垂直平分，
，，所以选项不符合题意；
是边上的中线，
，
为的中位线，
，，所以选项不符合题意；
，
，所以选项符合题意；
，，
，所以选项不符合题意．
故选：．
利用基本作图得到垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，，再证明为的中位线得到，，由于，则；利用三角形面积公式得到，，所以．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
．
故答案为：．
根据被开方数为非负数即可求解．
本题考查二次根式的意义，关键在于利用被开方数为非负数，建立不等式求解集．
 

12.【答案】， 

【解析】解：，
，
，
，，
，，
故答案为：，．
移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中．
 

13.【答案】 

【解析】解：直线，
即，
．
故答案为．
根据平行线分线段成比例得，即可得出值．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：点、分别是的边、中点，、相交于，
点为的重心，
．
故答案为：．
根据三角形的重心的定义及性质即可求解．
本题考查了三角形的重心的定义及性质，三角形的重心是三角形三边中线的交点．掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为：是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
，
∽，
，
米，米、米，
，
米，
故答案为：．
根据平行线的判定定理得到，于是得到∽，相似三角形的性质定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：令和的交点为点，如图所示：
、分别是、的中点，
，且，
四边形为平行四边形，
，且，
两直线平行，内错角相等，
点为的中点，
，
在和中，
，
≌，即成立，
，
内错角相等，两直线平行，
，点为平行四边形对角线交点，
，
为中点，
，
，

，为中点，
为中点，
即，且，
在和中，
，
≌，
，
，即成立，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，

在和中，
，
≌，
，
平分，即成立．
故答案为：．
由中点的性质可得出，且，结合平行即可证得结论成立，由得出，即而得出，由中线的性质可知，且，，通过证≌得出得出成立，再证≌得出成立，此题得解．
本题考查了全等三角形的判定与性质、中位线定理以及平行线的性质定理，解题的关键是利用中位线，寻找等量关系，借助于证明全等三角形找到边角相等．
 

17.【答案】解：原式

；
原式

． 

【解析】先进行二次根式的除法运算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
先利用乘法的意义、二次根式的性质和除法法则运算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
 

18.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】根据分式的除法法则、减法法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

19.【答案】解：，
，，，
，
，
，；
，
，
，
或，
，． 

【解析】利用公式法求解即可；
利用因式分解法求解即可．
本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
 

20.【答案】证明：，
原方程总有两个实数根．
解：由根与系数的关系得：，，
方程的两根之积是两根之和的倍，
，即，
解得：．
故的值为． 

【解析】由根的判别式可知，结合次方的非负性即可证出结论；
由根与系数的关系可得出，，由两根之积是两根之和的倍即可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论．
本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是：找出；得出关于的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求；

：，
故答案为：．
作图见解析部分；
利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求解即可．
本题考查作图位似变换，相似变换等知识，解题的关键是掌握相似变换的性质，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：设这两次降价的平均百分率为，
依题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：这两次降价的平均百分率为．
每千克产品涨价元，
每千克可以盈利元，每天可以售出千克．
依题意得：，
依题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：的值为． 

【解析】设这两次降价的平均百分率为，利用经过两次降价后的价格原价这两次降价的平均百分率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
当每千克产品涨价元时，每千克可以盈利元，每天可以售出千克，利用总利润每千克的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

23.【答案】证明：在等边三角形中，，
，，
，
∽；
解：∽，，
，
，
，
等边三角形的边长为，，，
，，
，
． 

【解析】由为等边三角形，易得，又，由外角性质可得，利用相似三角形的判定定理可得∽；
利用相似三角形的性质可得，易得，可得，再利用，可得，从而可得答案．
本题主要考查了相似三角形的性质及判定，由条件证得∽，∽是解答此题的关键．
 

24.【答案】解：如图中，

折叠，使点与点重合，折痕为，
垂直平分线段，
，
，
，
，
．
故答案为．
如图中，

，
，
由题意垂直平分线段，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
．
如图中，

由折叠的性质可知，，，
，
，
，
∽，

，
，
，
，
．
如图中，

，，，
∽，
，
，
，
点在线段上运动，，，
，
． 

【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
利用线段垂直平分线的性质即可解决问题；
利用相似三角形的性质求出，即可；
证明∽，推出，由此即可解决问题；
证明∽，推出，根据题意求出的取值范围即可解决问题．
 

25.【答案】解：四边形是正方形，
，
；
如图，

连接，
四边形是正方形，
，，
，
，
；
如图，

作于，作，交的延长线于，
四边形和四边形是矩形，
，，
，
，
即：，
设，
在中，
，，
，
，
同理可得：，
． 

【解析】在直角三角形中，根据勾股定理求得结果；
连接，在直角三角形中求出和，在直角三角形中求出，进而求得；
作于，作，交的延长线于，可推出并设，在直角三角形中，表示出和，进而表示出，在直角三角形中根据勾股定理表示出，同理表示出，进一步得出结果．
本题考查了矩形，正方形性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是找出两个斜三角形中的角的数量关系．