2022-2023学年云南省昭通市昭阳区正道高级完全中学九年级（上）月考数学试卷（一）（含解析）

2022-2023学年云南省昭通市昭阳区正道高级完全中学九年级（上）月考数学试卷（一）

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列哪个方程是一元二次方程(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知是方程的一个根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是(    )

A.  B. 且 C.  D. 且

4. 用配方法解方程，下列配方正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 若实数，满足，则的值为(    )

A. 或 B.  C.  D.

6. 已知实数，满足，，则以，为根的一元二次方程是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 已知函数的图象如图所示，则一元二次方程的根的存在情况是(    )

A. 没有实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 无法确定

8. 某校举行一次羽毛球比赛，每一个球队都和其他球队进行一场比赛，共进行了场比赛，如果设有个球队，根据题意列出方程为(    )

A.  B.
C.  D.

9. 已知抛物线的顶点坐标为，则抛物线对应的函数解析式为(    )

A.  B.
C.  D.

10. 将二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到该二次函数的表达式是(    )

A.  B.
C.  D.

11. 点，与为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知二次函数，当时，函数值为；当时，函数值为，若，则下列表达式正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 已知是方程的一个根，则的值为______．
14. 若方程无解，则应满足的条件是______．
15. 设，是方程的两个实数根，且，则______．
16. 请选择一组你喜欢的，，的值，使二次函数的图象同时满足下列条件：
    开口向下；
    当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
    这样的二次函数的解析式可以是______．
17. 一个二次函数的图象经过、、三点，该函数的表达式是______．
18. 二次函数的图象如图所示，下列结论：
    ；
    ；
    ；
    当时，随的增大而增大；
    ．
    其中正确的有______填序号

三、解答题（本大题共6小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    用合适的方法解下列一元二次方程：
    ；
    ；
    ；
    ．
20. 本小题分
    已知关于的方程．
    求证：方程总有两个实数根；
    若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值．
21. 本小题分
    年我国发生了较为严重的新冠肺炎疫情，口罩供不应求，某超市恰好年前新进了一批口罩，进价为每个元，售价为每个元，每天可售出个；如果每个口罩的售价上涨元，则销售量就减少个，问应将每个口罩涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为元？
22. 本小题分
    如图，用长的护栏全部用于建造一个靠墙墙的长度不限的长方形养牛场，已知此长方形养牛场的面积为，且与墙平行的边长为．
    求与之间的函数解析式；
    当边长为何值时，该长方形面积最大？并求出其最大值．

23. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为且经过点则：
    求该二次函数的解析式；
    求直线与该二次函数图象的交点的纵坐标之差的绝对值．

24. 本小题分
    如图，抛物线经过，，三点，交轴于点．
    求、的值；
    在抛物线对称轴上找一点，使的值最小时，求三角形的面积；
    点为轴上一动点，抛物线上是否存在一点，使以，，，四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：该方程中含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B.该方程中含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C.该方程是分式方程，故此选项不符合题意；
D.该方程符合一元二次方程的定义，故此选项符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；只含有一个未知数；未知数的最高次数是．
 

2.【答案】 

【解析】解：把代入方程，得
，
解得．
故选：．
把代入已知方程可以得到关于的一元一次方程，通过解一元一次方程来求的值．
本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
 

3.【答案】 

【解析】解：关于的方程有两个实数根，
，
解得且．
故选：．
利用一元二次方程的定义和根的判别式，列出关于的不等式组，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

4.【答案】 

【解析】解：移项得，，
配方得，，即，
故选：．
本题考查了配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
此题考查配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．
 

5.【答案】 

【解析】解：设则，
解得：，，
，
的值为，
故选：．
设，则原方程变形为，运用因式分解法解得，，即可求得的值为．
本题考查了换元法解一元二次方程．换元法就是把一个复杂的不变整体用一个字母代替，这样就把复杂的问题转化为简单的问题．
 

6.【答案】 

【解析】解：实数，满足，，
以，为根的一元二次方程是．
故选：．
把已知等式代入中确定出所求即可．
此题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据函数的图象可得；，，
则一元二次方程中，，
则一元二次方程根的存在情况是有两个不相等的实数根，
故选：．
先根据函数的图象可得；，再根据一元二次方程的中，，即可得出答案．
此题考查了一元二次方程根的判别式，用到的知识点是一次函数图象的性质，关键是根据函数图象判断出的符号．
 

8.【答案】 

【解析】解：设有个队，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛，
故．
故选：．
赛制为单循环形式每两队之间都赛一场，个球队比赛总场数，即可列方程求解．
本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数队数队数，进而得出方程是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点坐标为，
抛物线解析式为，
即．
故选：．
利用顶点式直接写出抛物线解析式，然后把顶点式化为一般式即可．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：将二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到该二次函数的表达式为：，
故选：．
根据左加右减，上加下减的平移法则即可求解．
本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握左加右减，上加下减的平移法则是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向下，对称轴为，
，与三点中，点离对称轴最近，点离对称轴最远，
．
故选：．
把原函数解析式化成顶点式，然后根据三点与对称轴的位置关系，开口方向判断，，的大小．
本题考查了二次函数的性质．当二次项系数时，在对称轴的左边，随的增大而减小，在对称轴的右边，随的增大而增大；时，在对称轴的左边，随的增大而增大，在对称轴的右边，随的增大而减小．
 

12.【答案】 

【解析】解：时，二次函数图象开口向上，对称轴为直线，
，
，
，
无法确定的正负情况，
，
时，二次函数图象开口向下，对称轴为直线，
，
，
，
无法确定的正负情况，
，
综上所述，表达式正确的是．
故选：．
分和两种情况根据二次函数的对称性确定出与的大小关系，然后对各选项分析判断即可得解．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性，难点在于根据二次项系数的正负情况分情况讨论．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意，得
，
解得，．
故答案为：．
由一元二次方程的解的定义，将代入已知方程列出关于的新方程，通过解新方程来求的值即可．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
 

14.【答案】 

【解析】解：方程无解，
，即，
解得．
故答案为：．
由方程无解，则，即，解不等式即可．
本题考查了一元二次方程为常数的根的判别式当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

15.【答案】 

【解析】解：，是方程的两个实数根，
，，
代入已知等式得：，
解得：．
故答案为：．
利用根与系数的关系求出与的值，代入已知等式计算即可求出的值．
此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
 

16.【答案】答案不唯一 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
抛物线的对称轴为直线，
当取，顶点设为时，抛物线的解析式为．
故答案为：答案不唯一．
根据二次函数的性质得到，抛物线的对称轴为直线，然后取取，顶点为时，则利用顶点式得到此时的抛物线的解析式．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
 

17.【答案】 

【解析】解：设所求二次函数的解析式为，由题意得，
解得．
所以这个二次函数的解析式为．
故答案为：．
利用待定系数法求抛物线解析式；
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
 

18.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上、顶点在轴右侧、抛物线与轴交于负半轴，
，，，
，故错误；
，即，
而时，，即，
所以，即，故正确；
抛物线与轴有两个交点，
，
，故正确；
抛物线的对称轴直线，，
当时，随的增大而增大；
故正确；
当时，，
，
，
，即，故正确；
正确的有，
故答案为：．
由开口方向、对称轴及抛物线与轴的交点位置可判断结论；由抛物线的增减性可判断结论；由对称轴及对称轴公式可判断结论；由抛物线与轴的交点可判断结论；由抛物线的对称轴直线及一个交点在，可判断出另一个交点在，即可判断结论；当时，的值，即可判断结论．
本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数的开口方向，对称轴，图象与轴交点，函数增减性并会综合运用是解决本题的关键．
 

19.【答案】解：，
，
所以，；
，
，
，
或，
所以，；
，
，
或，
所以，；
．
，
所以方程没有实数解． 

【解析】先把方程变形为，然后利用直接开平方法解方程；
先移项得到，然后利用因式分解法解方程；
利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可；
计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义判断方程没有实数解．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接开平方法解一元二次方程．
 

20.【答案】证明：，
，
方程总有两个实数根；
解：，

，，
方程的两个实数根都是整数，
正整数或． 

【解析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程总有两个实数根；
利用因式分解法求出，，然后利用整除性确定的值．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

21.【答案】解：设每个口罩涨价元，则每个口罩的销售利润为元，每天的销售量为个，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要让顾客得到实惠，
．
答：应将每个口罩涨价元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为元． 

【解析】设每个口罩涨价元，则每个口罩的销售利润为元，每天的销售量为个，利用总利润每个的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合要让顾客得到实惠，即可得出应将每个口罩涨价元．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

22.【答案】解：花园靠墙的一边长为，则与墙垂直的长为：，
；
，
且二次项系数，
当时，取最大值，最大值为，
答：当边长为时，该长方形面积最大，最大值是． 

【解析】靠墙的一边长为，则与墙面垂直的边长为，由矩形面积公式直接列出函数解析式即可；
利用二次函数性质即可得到答案．
本题考查了二次函数实际应用的最大面积问题，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
 

23.【答案】解：设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
抛物线解析式为，
即；
解方程组得或，
直线与该二次函数图象的交点坐标为，，
两交点的纵坐标之差的绝对值． 

【解析】设顶点式，然后把点坐标代入求出即可；
通过解方程组得直线与该二次函数图象的交点坐标，然后计算两交点的纵坐标之差的绝对值．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
 

24.【答案】解：将代入，
，
解得，
，
将代入，
，
解得舍或，
将代入，
；  
，
抛物线的对称轴为直线，
点与点关于对称轴对称，
，
，
当、、三点共线时，有最小值，
设的直线解析式为，
，
解得，
，
，
；
存在点，使以，，，四点构成的四边形为平行四边形，理由如下：
设，，
当为平行四边形的对角线时，
，
解得舍或，
；
当为平行四边形的对角线时，
，
解得或，
或；
当为平行四边形的对角线时，
，
解得舍或，
；
综上所述：点坐标为或或 

【解析】将代入，求出的值，确定函数的解析式后，再将点和点代入解析式即可求、的值；
根据抛物线的对称轴可知当、、三点共线时，有最小值，直线与对称轴的交点即为点，求出点坐标再求的面积即可；
设，，分三种情况讨论：当为平行四边形的对角线时；当为平行四边形的对角线时；当为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标公式求解即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，用轴对称求最短距离的方法，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．