初中数学北师大版九年级下册第二章 二次函数1 二次函数教学设计

教学目标

1.理解二次函数的概念，掌握其一般形式.

2.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系．

教学重难点

重点：经历探索和表示二次函数关系的过程，获得二次函数的一般形式．

难点：能够表示简单变量之间的二次函数关系.

教学过程

知识回顾

师：大家还记得我们学过哪些函数吗?

生：正比例函数、一次函数、反比例函数．

师：函数的定义是什么，大家还记得吗?

生：在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．

师：能把学过的函数回忆一下吗?

生：可以.

一次函数y＝kx＋b（其中k，b是常数，且k≠0），

正比例函数y＝kx（其中k是常数，且k≠0），

反比例函数y＝（其中k是常数，且k≠0）.

师：学习这些函数的时候，大家还记得我们是从哪几个方面探究的吗?

生：定义、函数的一般形式、函数的图象和性质、函数在实际问题中的应用、函数与方程和不等式的关系等．

师：很好，从上面的几种函数来看，每一种函数都有一般的形式，本节课我们将再学习一种新的函数．

设计意图：由复习回顾旧知识入手，通过回顾已经学过的函数的相关知识，对要探究的新的函数有个明确的方向，让学生从旧知识中寻找新知识的生长点，符合认识新事物的规律，由浅入深，由表及里，逐渐深化．

导入新课

多媒体展示图片.

篮球入框、公园里的喷泉、雨后的彩虹都会形成一条曲线，这些曲线能否用函数关系式表示？

探究新知

一、预习新知

多媒体展示本节开始的问题

某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．

师：问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？

生：变量：橙子树的棵数、橙子树之间的距离、橙子树接受阳光的多少、橙子的个数、橙子的质量等；自变量：橙子树的棵数、橙子树之间的距离、橙子树接受阳光的多少等；因变量：橙子的个数、橙子的质量等．

师：假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？

生：如果设果园增种x棵橙子树，那么果园共有(100＋x)棵橙子树，平均每棵树结(600－5x)个橙子．

师：如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式．

生：果园橙子的总产量y与x之间的关系式为y＝(x＋100)(600－5x)＝－5x2＋100x＋60000．

教师引导学生观察关系式y＝－5x2＋100x＋60000中的y是不是x的函数，并对比所学的函数，感受它们的相同点和不同点.根据函数的定义，y是x的函数，自变量x的最高次数是2，所以通过类比，猜想此函数为二次函数．

多媒体展示课本做一做

设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式．

教师让学生回忆与存款有关的知识：

利息＝本金×利率×期数(时间)．

本息和＝本金+利息．

根据上面的回忆，学生独立完成，然后小组交流，小组代表展示成果．

y＝100(x＋1)2＝100x2＋200x＋100.

设计意图：利用学生熟悉的身边情境，提出问题逐步引导学生分析题目，列出关系式，提高学生分析问题的能力，同时培养学生的建模能力．

二、合作探究

课本想一想

问题：两数的和是20，设其中一个数是x，你能写出这两数之积y的表达式吗？

让学生先独立解答，然后小组讨论．

生：y＝x(20－x)＝－x2＋20x.

由学生先独立解决，再小组交流，最后代表展示成果．

让学生观察三个式子的共同点：(1)y＝－5x2＋100x＋60000；(2)y＝100x2＋200x＋100；(3)y＝－x2＋20x．

学生独立观察思考后，小组讨论，小组代表阐述本组观点.

共同特点是：①这些式子都是最高次数为2的函数；②表达式右边都是关于x的整式．

教师引导学生类比一次函数与反比例函数的表达式，归纳出二次函数的定义及一般形式．

学生总结，教师点评：一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，则称y是x的二次函数.

教师重点强调几个注意的问题：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；（2）a，b，c为常数，且a≠0；（3）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项；（4）x的取值范围是任意实数．

设计意图：让学生通过思考、分析等数学活动，从不同实际背景的实例中抽象出函数表达式，然后通过观察共同特征使之经历概念的形成过程，培养其抽象思维和归纳概括的能力，感受从特殊到一般的数学思想方法，从而突破本节课的难点．

典型例题

【例】已知关于x的函数y＝(m＋1)是二次函数，求m的值．

【问题探索】已知含参函数的表达式为二次函数，那么二次函数的自变量及各项系数应该满足哪些条件？

【解】由题意，得解得m＝2.

即m的值为2.

【总结】y＝ax2＋bx＋c为二次函数的前提是a≠0，且自变量x的最高次数为2，注意不要忽略二次项系数不为0这一隐含条件．

课堂练习

1.下列表达式中，一定为二次函数的是(　　)

A.y＝x－1 B.y＝ax2＋bx＋c

C.s＝2t2－2t＋3               D.y＝x2+

2.下列关系中，是二次函数关系的是（　　）

A.当距离s一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系 

B.在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系

C.圆的面积S与圆的半径r之间的关系 

D.正方形的周长C与边长a之间的关系

3.在函数①y＝ax2＋bx＋c，②y＝（x－1）2－x2，③y＝5x2－，④y＝－x2＋2中，是y关于x的二次函数的有　　．（填写序号）

   4.已知函数y＝（m2－m）x2＋（m－1）x＋2－2m．[来源:学

（1）若这个函数是二次函数，求m的取值范围．

（2）若这个函数是一次函数，求m的值．

（3）这个函数可能是正比例函数吗？为什么？

参考答案

1.C　

2.C

3.④

4.解：（1）函数y＝（m2－m）x2＋（m－1）x＋2－2m，

若这个函数是二次函数，则m2－m≠0，解得m≠0且m≠1．[

（2）若这个函数是一次函数，

则m2－m＝0，m－1≠0，解得m＝0．

（3）这个函数不可能是正比例函数，

∵当此函数是一次函数时，m＝0，而此时2－2m≠0．

课堂小结

(学生总结，老师点评)

二次函数的一般形式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)

特殊形式：(1)y＝ax2(a≠0，b＝0，c＝0)；(2) y＝ax2＋c (a≠0，b＝0，c≠0)；(3) y＝ax2＋bx (a≠0，b≠0，c＝0)．

理解二次函数概念的注意事项：(1)常数a≠0；(2)自变量x的最高次数为2；(3)等号的右边是整式．

板书设计

第二章　二次函数

1　二次函数

1.二次函数的定义：一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，则称y是x的二次函数．

2.二次函数的一般形式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0).

教学反思

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