北师大版九年级下册4 二次函数的应用教案

2.4　二次函数的应用

第1课时　最大面积是多少

一、教学目标

1．探索长方形窗户透光最大面积的问题，能运用二次函数知识解决实际问题中的最大(小)值．

2．感受二次函数是一类最优化问题的数学模型，能用二次函数刻画事物间的相互关系．

二、教学重难点

重点：能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大面积问题．

难点：把实际问题转化为“函数”模型．

三、教学过程

（一）复习导入

1．二次函数的表达式常用的表示方法是什么？

2．二次函数的最值如何求？

师：本节课我们学习用二次函数来解决实际问题．解决这类问题的关键是要读懂题目，明确要解决的是什么，分析问题中各个量之间的关系，把问题表示为数学的形式，在此基础上，利用我们所学过的数学知识，就可以一步步地得到问题的解．

（二）探究新知

1．课件出示：

如下图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD.其中AB和AD分别在两直角边上．

(1)如果设矩形的一边AB＝x m，那么AD边的长度如何表示？

(2)设矩形的面积为y m2.当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？

分析：(1)要求AD边的长度，即求BC边的长度，而BC是△EBC中的一边，因此可以用三角形相似求出BC.由△EBC∽△EAF，得＝，即＝.∴AD＝BC＝ (40－x)．

(2)要求面积的最大值，即求函数y＝AB·AD＝x· (40－x)的最大值，就转化为数学问题了．

    解：(1)∵BC//AD，

    ∴△EBC∽△EAF.∴＝.

    又AB＝x，BE＝40－x，

    ∴＝.

    ∴BC＝ (40－x)．

    ∴AD＝BC＝(40－x)＝30－x.

    (2)y＝AB·AD＝x(30－x)＝－x2＋30x

＝－(x2－40x＋400－400)

＝－(x2－40x＋400)＋300

＝－(x －20)2＋300

∴当x＝20时，y最大＝300.

即当x取20 m时，y的值最大，最大值是300 m2.

师：下面我们换一个条件．设AD边的长为x m，则问题会怎样呢？与同伴交流．

分析：要求面积需求AB的边长，∵AB＝DC，而DC是△FDC中的一边，∴可以利用三角形相似来求．

解：∵DC//AB，

∴△FDC∽△FAE.

∴＝.

∵AD＝x，FD＝30－x.

∴＝.

∴AB＝DC＝ (30－x)．

 y＝AB·AD＝x·(30－x)

＝－ x2＋40x

＝－(x2－30x＋225－225)

＝－ (x－15)2＋300.

∴当x＝15时，y最大＝300.

即当AD的长为15 m时，矩形的面积最大，最大面积是300 m2.

2．课件出示：

把上面的问题中矩形ABCD改为如图所示位置，其他条件不变，那么矩形ABCD的最大面积是多少？

       处理方式：学生讨论后形成结论，教师让一名学生根据形成的结论板书过程，然后引导学生评价过程的正确性．

解：由题意可求出斜边为50 m，斜边上的高为24 m，设矩形的长为x m，宽为a m，矩形ABCD的面积为y m2，则＝，得a＝24－x，∴y＝－x2＋24x，当x＝25时，y的最大值为300.

（三）举例分析

例　某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15 m，当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01 m)？此时，窗户的面积是多少？

   分析：x为半圆的半径，则2x是矩形的较长边，因此x与半圆面积和矩形面积都有关系．要求窗户通过的光线最多，也就是求矩形和半圆的面积之和最大，即2xy＋·x2最大，而由于4y＋4x＋3x＋πx＝7x＋4y＋πx＝15，所以y＝ .面积S＝πx2＋2xy＝πx2＋2x·＝πx2＋＝－x2＋x，这时已经转化为数学问题即二次函数了，只要化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可．

解：∵7x＋4y＋πx＝15，

∴y＝ .

设窗户的面积是S(m2)，则

S＝πx2＋2xy

  ＝πx2＋2x·

  ＝πx2＋

  ＝－x2＋x

  ＝－(x－)2＋

  ∴当x＝≈1.07时，S最大＝≈4.02.

    即当x≈1.07 m时，S最大≈4.02 m2，此时，窗户通过的光线最多．

（四）练习巩固

1．已知二次函数y＝x2－ 6x＋m的最小值为1，则m的值是________．

2．周长为16 cm的矩形的最大面积为________，此时矩形的边长为________，实际上此时矩形是________．

3．如图所示，已知△ABC是一个等腰三角形铁板余料，其中CA＝BC＝20 cm，AB＝24 cm.若在△ABC上截出一个矩形零件DEFG，使DE在边AB上，点F，G分别在CB，CA上，设EF＝x cm，矩形DEFG的面积为y.求y与x之间的表达式，并求出矩形零件DEFG面积的最值．

（五）课堂小结

用数学知识解决实际问题，基本思想如下：

(1)理解问题；

(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；

(3)用数学的方式表示它们之间的关系；

(4)利用函数求解；

(5)检验结果的合理性、拓展等．

（六）布置作业

1．教材第47页“随堂练习”．

2．教材第47～48页习题2.8第1～4题．

四、教学反思

二次函数的应用是学习了二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查，是本章的难点．本节课通过学习矩形和窗户透光最大面积问题，引导学生将实际问题转化为数学模型，利用数学建模的思想解决和函数有关的应用问题．由于本节课是二次函数的应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的．