北师大版九年级下册4 二次函数的应用教学设计

2.4　二次函数的应用

第2课时　何时获得最大利润

一、教学目标

1．经历探索商品销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，感受数学的应用价值．

2．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值．

二、教学重难点

重点：会根据实际问题列出二次函数关系式，并能运用二次函数的知识求出其最大(小)值．

难点：分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，正确地列出二次函数关系式．

三、教学过程

（一）情境导入

前面我们认识了二次函数，研究了二次函数的图象和性质，由简单的二次函数y＝x2开始，然后是y＝ax2，y＝ax2＋c，最后是y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k，y ＝ax2＋bx＋c，掌握了二次函数的三种表示方式．怎么突然转到了获取最大利润呢？看来这两者之间肯定有关系．那么究竟有什么样的关系呢？我们本节课将研究有关问题．

（二）探究新知

1．课件出示：

服装厂生产某品牌的T恤衫，每件的成本是10元．根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5 000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件．厂家批发单价是多少时，可以获利最多？

设批发单价为x(0<x≤13)元，那么

(1)销售量可以表示为____________；

(2)销售额可以表示为____________；

(3)所获利润可以表示为____________；

 (4)当批发单价是____元时，可以获得最大利润，最大利润是____．

分析：获利就是指利润，总利润应为每件T恤衫的利润(批发价一成本)乘T恤衫的数量，设批发单价为x元，则降低了(13－x)元，每降低0.1元，可多售出500件，则可多售出5 000(13－x)件，因此共售出5 000＋5 000(13－x)件，若所获利润用y(元)表示，则y＝(x－10)[5 000＋5 000(13－x)]．

  解：(1)销售量可以表示为5 000＋5 000(13 －x)＝70 000－5 000x.

(2)销售额可以表示为x(70 000－5 000x)＝70 000x－5 000x2.

(3)所获利润可以表示为

(70 000x－5 000x2)－10(70 000－5 000x)＝－5 000x2＋120 000x－700 000.

(4)设总利润为y元，则

y＝－5 000x2＋120 000x－700 000

＝－5 000(x－12)2＋20 000

∵－5 000＜0 ，∴抛物线有最高点，函数有最大值．

当x＝12元时，y最大＝20 000元．

即当销售单价是12元时，可以获得最大利润，最大利润是20 000元．

2．课件出示：

某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满．经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间．不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？

处理方式：让学生根据上面的利润问题的解法来解决这道题．

（三）举例分析

例1　还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗？我们得到表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式y＝(600－5x)(100＋x)＝－5x2＋100x＋60 000.

我们还曾经利用列表的方法得到一个猜测，现在验证一下你的猜测是否正确？你是怎么做的？与同伴进行交流．

因为表达式是二次函数，所以求橙子的总产量y的最大值即是求函数的最大值．

所以y＝－5x2＋100x＋60 000

＝－5(x2－20x＋100－100)＋60 000

＝－5(x－10)2＋60 500

    当x＝10时，y最大＝60 500.

(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系．

(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60 400个以上？

 ①当x<10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加；当x>10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而减小．

②由图可知，增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵，都可以使橙子总产量在60 400个以上．

 例2　  已知一个矩形的周长是24 cm.

(1)写出这个矩形的面积S与一边长a的函数表达式；

(2)画出这个函数的图象；

(3)当a长多少时，S最大？

   解：(1)S＝a(12－a)

＝－a2＋12a

＝－(a2－12a＋36－36)

＝－(a－6)2＋36.

(2)图象如下：

(3)当a＝6时，S最大＝36.

（四）练习巩固

1．关于二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象有下列命题：

①当c＝0时，函数的图象经过原点；

②当c＞0且函数图象开口向下时，方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不等实根；

③当a＜0，函数的图象最高点的纵坐标是；

④当b＝0时，函数的图象关于y轴对称．

其中正确命题的个数有(　　)

A．1个　　　　　　　　　　B．2个

C．3个                    D．4个

2．二次函数y＝x2－8x＋c的最小值为0，那么c的值等于(　　)

A．4                 B．8

C．－4               D．16

3．某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8 元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？

（五）课堂小结

1．通过本节课的学习，你有什么收获？

2．用二次函数解决实际问题有哪些步骤？

（六）布置作业

1．教材第49页“随堂练习”．

2．教材第50页习题2.9第1～3题．

四、教学反思

本节课是应用函数模型分析与解决最大利润问题．例题中的实际问题司空见惯，但学生没有亲身经历，在上课前可以让学生利用课余时间对学校的商店做一个简单的调查，锻炼学生的实践能力．数学教学不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律．强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展.