初中数学沪科版八年级下册17.2 一元二次方程的解法优秀同步训练题

2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【沪科版】

专题17.4一元二次方程的解法（因式分解法）

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2021•永嘉县校级模拟）方程x2+5x＝0的解为（　　）

A．x＝5 B．x＝﹣5 C．x1＝0，x2＝5 D．x1＝0，x2＝﹣5

【分析】根据因式分解法即可求出答案．

【解析】∵x2+5x＝0，

∴x（x+5）＝0，

∴x＝0或x＝﹣5，

故选：D．

2．（2020秋•柳南区校级期中）方程x（x﹣5）＝0的根是（　　）

A．5 B．﹣5，5 C．0，﹣5 D．0，5

【分析】利用因式分解法求解即可．

【解析】∵x（x﹣5）＝0，

∴x＝0或x﹣5＝0，

∴x1＝0，x2＝5．

故选：D．

3．（2021春•大连期末）方程（3x﹣2）（x+1）＝0的解是（　　）

A．x B．x＝﹣1 

C．x1，x2＝1 D．x1，x2＝﹣1

【分析】方程利用因式分解法求出解即可．

【解析】方程（3x﹣2）（x+1）＝0，

可得3x﹣2＝0或x+1＝0，

解得：x1，x2＝﹣1．

故选：D．

4．（2021秋•河东区期末）方程x2＝x的解是（　　）

A．x＝1 B．x＝0 C．x1＝﹣1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝0

【分析】利用提公因式法解方程即可．

【解析】x2＝x，

移项得x2﹣x＝0，

提公因式得x（x﹣1）＝0，

解得x1＝1，x2＝0．

故选：D．

5．（2020秋•商河县校级月考）方程5x＝x2的解为（　　）

A．1 B．0或﹣5 C．0或5 D．1或5

【分析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．

【解析】5x＝x2，

x2﹣5x＝0，

x（x﹣5）＝0，

x＝0或x﹣5＝0，

x1＝0，x2＝5．

故选：C．

6．（2020秋•茌平区期末）一个三角形两边长分别为2和5，第三边长是方程x2﹣8x+12＝0的根，则该三角形的周长为（　　）

A．9 B．11 C．13 D．9或13

【分析】先利用因式分解法解方程x2﹣8x+12＝0，然后根据三角形的三边关系得出第三边的长，则该三角形的周长可求．

【解析】∵x2﹣8x+12＝0，

∴（x﹣2）（x﹣6）＝0，

∴x1＝2，x2＝6，

∵三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2﹣8x+12＝0的根，2+2＜5，2+5＞6，

∴三角形的第三边长是6，

∴该三角形的周长为：2+5+6＝13．

故选：C．

7．（2021•定陶区一模）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2﹣3x＝4（x﹣3）的两个实数根，则该直角三角形斜边上的中线长是（　　）

A．3 B．4 C．6 D．2.5

【分析】先利用因式分解法解方程得到直角三角形两直角边分别为3、4，再利用勾股定理计算出斜边＝5，然后根据直角三角形斜边上的中线性质求解．

【解析】x（x﹣3）﹣4（x﹣3）＝0，

（x﹣3）（x﹣4）＝0，

x﹣3＝0或x﹣4＝0，

所以x1＝3，x2＝4，

则直角三角形两直角边分别为3、4，

所以斜边5，

所以该直角三角形斜边上的中线长．

故选：D．

8．（2020秋•高州市月考）方程（x﹣2）2＝27最简便的解法是（　　）

A．因式分解法 B．配方法 

C．公式法 D．直接开平方法

【分析】等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数，采用直接开平方法解答．

【解析】方程（x﹣2）2＝27最简便的解法是直接开平方法，

故选：D．

9．（2020秋•福州期中）如果二次三项式x2+px+q能分解成（x+3）（x﹣1）的形式，则方程x2+px+q＝0的两个根为（　　）

A．x1＝﹣3，x2＝1 B．x1＝﹣3；x2＝﹣1 

C．x1＝3；x2＝﹣1 D．x1＝3；x2＝1

【分析】根据已知分解因式和方程得出x+3＝0，x﹣1＝0，求出方程的解即可．

【解析】∵二次三项式x2+px+q能分解成（x+3）（x﹣1）的形式，

∴x+3＝0，x﹣1＝0，

解得：x1＝﹣3，x2＝1，

即方程x2+px+q＝0的两个根为x1＝﹣3，x2＝1，

故选：A．

10．（2021•菏泽二模）给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y'＝n×xn﹣1．若函数y＝x4，则有y'＝4×x3，已知函数y＝x3，则方程y'＝9x的解是（　　）

A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝0，x2＝﹣3

【分析】根据已知得出方程3x2＝9x，求出方程的解即可．

【解析】∵函数y＝x3，方程y'＝9x，

∴3x2＝9x，

3x2﹣9x＝0，

3x（x﹣3）＝0，

3x＝0，x﹣3＝0，

x1＝0，x2＝3，

故选：C．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2021•广州）方程x2﹣4x＝0的实数解是 　x1＝0，x2＝4　．

【分析】方程利用因式分解法求出解即可．

【解析】方程x2﹣4x＝0，

分解因式得：x（x﹣4）＝0，

可得x＝0或x﹣4＝0，

解得：x1＝0，x2＝4．

故答案为：x1＝0，x2＝4．

12．（2020秋•潮州期末）方程x2＝2020x的解是　x1＝0，x2＝2020　．

【分析】利用因式分解法求解可得．

【解析】∵x2﹣2020x＝0，

∴x（x﹣2020）＝0，

则x＝0或x﹣2020＝0，

解得x1＝0，x2＝2020，

故答案为：x1＝0，x2＝2020．

13．（2021秋•沈河区期末）方程x（x﹣3）＝0的解为　x1＝0，x2＝3　．

【分析】根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．

【解析】x（x﹣3）＝0，

可得x＝0或x﹣3＝0，

解得：x1＝0，x2＝3．

故答案为：x1＝0，x2＝3

14．（2021春•西湖区校级期中）已知方程x2﹣10x+24＝0的两个根为等腰三角形（非等边）边长，则等腰三角形的周长为　16或14　．

【分析】利用因式分解法解方程得到x1＝4，x2＝6，得出等腰三角形的底边长和腰长，然后计算三角形的周长．

【解析】∵x2﹣10x+24＝0，

∴（x﹣4）（x﹣6）＝0，

∴x1＝4，x2＝6，

∴等腰三角形的三边长为6、6，4或4，4，6，

∴等腰三角形周长为16或14．

故答案为：16或14．

15．（2021秋•深圳期中）在实数范围内定义一种运算，其规则为：M※N＝M2﹣MN，根据这个规则，则方程（x﹣3）※5＝0的解为　x1＝3，x2＝8　．

【分析】根据运算得出（x﹣3）2﹣5（x﹣3）＝0，求出方程的解即可．

【解析】变形为：（x﹣3）2﹣5（x﹣3）＝0，

∴（x﹣3）（x﹣3﹣5）＝0，

x﹣3＝0，x﹣3﹣5＝0，

解得：x1＝3，x2＝8．

故答案为：x1＝3，x2＝8．

16．（2021秋•朝阳区期末）若关于x的一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的一个根是m，则4m2+6m﹣2021的值为 　﹣2011　．

【分析】先根据方程的解的概念得出2m2+3m＝5，再代入原式＝2（2m2+3m）﹣2021计算即可．

【解析】∵关于x的一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的一个根是m，

∴2m2+3m﹣5＝0，

∴2m2+3m＝5，

则原式＝2（2m2+3m）﹣2021

＝2×5﹣2021

＝10﹣2021

＝﹣2011，

故答案为：﹣2011．

17．（2020•呼和浩特一模）若a≠0，则关于x的方程a（x+1）＝a的解是　x＝0　；方程（x﹣1）（x+1）＝x﹣1的解是　x＝0或x＝1　．

【分析】第一个方程两边都除以a可得；第二个方程利用因式分解法求解可得．

【解析】∵a≠0，

∴方程两边都除以a，得：x+1＝1，

解得x＝0；

∵（x﹣1）（x+1）＝x﹣1，

∴（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣1）＝0，

则（x﹣1）（x+1﹣1）＝0，即x（x﹣1）＝0，

∴x＝0或x﹣1＝0，

解得x＝0或x＝1，

故答案为：x＝0，x＝0或x＝1．

18．（2021春•西城区校级月考）对于实数a、b、c、d，我们定义运算ad﹣bc，例如：2×5﹣1×3＝7，上述记号就叫做二阶行列式．若4，则x＝　2或4　．

【分析】根据题中的新定义化简所求式子，计算即可求出x的值．

【解析】根据题中的新定义得：x2﹣6（x﹣2）＝4，

即x2﹣6x+8＝0，

分解因式得：（x﹣4）（x﹣2）＝0，

解得：x＝4或2．

故答案为：2或4．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2020秋•南京期末）解方程：

（1）x2+2x﹣3＝0；

（2）3x（x﹣1）＝2（1﹣x）．

【分析】利用因式分解法求解即可．

【解析】（1）∵x2+2x﹣3＝0，

∴（x+3）（x﹣1）＝0，

则x+3＝0或x﹣1＝0，

解得x1＝﹣3，x2＝1；

（2）∵3x（x﹣1）＝2（1﹣x），

∴3x（x﹣1）＝﹣2（x﹣1），

∴3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，

则（x﹣1）（3x+2）＝0，

∴x﹣1＝0或3x+2＝0，

解得x1＝1，x2．

20．（2019秋•定州市期中）根据要求解方程

（1）x2+3x﹣4＝0（公式法）；

（2）x2+4x﹣12＝0（配方法）；

（3）（x+4）2＝7（x+4）（适当的方法）．

【分析】（1）直接求出Δ＝b2﹣4ac＝25，进而利用公式法解方程即可；

（2）直接利用配方法解方程得出答案；

（3）直接利用提取公因式法解方程得出答案．

【解析】（1）∵Δ＝b2﹣4ac＝25＞0，

∴x，

解得：x1＝﹣4，x2＝1；

（2）x2+4x﹣12＝0，

x2+4x＝12，

（x+2）2＝16，

则x+2＝±4，

解得：x1＝﹣6，x2＝2；

（3）（x+4）2＝7（x+4）

（x+4）[（x+4）﹣7]＝0，

则x+4＝0或x﹣3＝0，

解得：x1＝3，x2＝﹣4．

21．（2019秋•宜宾县校级月考）按要求解下列方程

①x2﹣6x＝1（公式法）

②x2+x﹣2＝0（用配方法）

③3x2+16x+5＝0

④x2﹣4x+5＝0（因式分解法）

【分析】方程分别利用公式法，配方法，因式分解法求出解即可．

【解析】①方程整理得：x2﹣6x﹣1＝0，

这里a＝1，b＝﹣6，c＝﹣1，

∵△＝36+5＝40，

∴x3±；

②方程整理得：x2+4x＝8，

配方得：x2+4x+4＝12，即（x+2）2＝12，

开方得：x+2＝±2，

解得：x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2；

③分解因式得：（3x+1）（x+5）＝0，

可得3x+1＝0或x+5＝0，

解得：x1，x2＝﹣5；

④方程整理得：x2﹣4x＝﹣5，

配方得：x2﹣4x+4＝﹣1，即（x﹣2）2＝﹣1，

则此方程无解．

22．（2021•东阳市模拟）解方程：（x﹣3）2＝（2x﹣1）（x﹣3）．

【分析】先移项得到（x﹣3）2﹣（2x﹣1）（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程．

【解析】（x﹣3）2﹣（2x﹣1）（x﹣3）＝0，

（x﹣3）（x﹣3﹣2x+1）＝0，

x﹣3＝0或x﹣3﹣2x+1＝0，

所以x1＝3，x2＝﹣2．

23．（2019秋•昭通期中）等腰△ABC两边的长分别是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个解，则这个等腰三角形的周长是多少？

【分析】先利用因式分解法求出方程的解，再利用三角形三边关系判断是否构成三角形，继而可得答案．

【解析】解方程x2﹣5x+6＝0，得：x＝2或x＝3，

当2为腰时，2+2＞3，可以构成三角形，周长为7；

当3为腰时，3+3＞2，可以构成三角形，周长为8．

24．（2020秋•綦江区校级月考）阅读理解下列材料，然后回答问题：

解方程：x2﹣3|x|+2＝0．

解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣3x+2＝0，解得：x1＝2，x2＝1；

（2）当x＜0时，原方程化为x2+3x+2＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2；

∴原方程的根是x1＝2，x2＝1，x3＝﹣1，x4＝﹣2．

请观察上述方程的求解过程，试解方程x2﹣2|x﹣1|﹣1＝0．

【分析】分x﹣1大于等于0与小于0两种情况，求出方程的解即可．

【解析】当x﹣1≥0，即x≥1时，方程化为x2﹣2x+1＝0，即（x﹣1）2＝0，

解得：x1＝x2＝1；

当x﹣1＜0，即x＜1时，方程化为x2+2x﹣3＝0，即（x﹣1）（x+3）＝0，

解得：x1＝1（舍去），x2＝﹣3，

综上，方程的解为x＝1或﹣3．