初中数学北师大版九年级下册2 二次函数的图像与性质第1课时教学设计及反思

教学目标

1.能够用描点法作出函数y＝ax²的图象，并根据图象认识和理解其性质.

2.经历探索二次函数y＝ax²的图象和性质的过程，体会数形结合的思想和方法．

教学重难点

重点：掌握函数y＝ax²的图象的画法，认识函数y＝ax²的图象与性质．

难点：用描点法准确地画出函数y＝ax²的图象，掌握其性质特征.

教学过程

导入新课

师：一次函数的图象是什么？

生：是一条直线.

师：画函数的图象的步骤是什么?

生：列表、描点、连线.

师：二次函数的一般形式是什么？

生：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0).

思考下面的问题：

在二次函数中，y随x的变化而变化的规律是什么？你想直观地了解它的性质吗？我们先来研究最简单的二次函数．

教师引导学生复习一次函数与反比例函数中y随x的变化而变化的规律及其性质．

可以让学生先猜想二次函数的图象及其性质，并与其他同学进行交流．

设计意图：开门见山，直入正题，既揭示了本节课的主题，又通过对旧知识的复习，明确了本节课的探究任务．

探究新知

一、预习新知

课前给学生准备好坐标纸

教师引导学生按照画函数图象的步骤，在坐标纸中画出函数y＝x2的图象．

1.列表：观察y＝x2的表达式，选择合适的x值，并计算相应的y值，填写下表：

2.描点：在给的坐标纸中描点．

3.连线：用光滑的曲线连接各点．

然后教师展示不同学生所画的图象，师生共同总结画图过程中出现的错误.

教师多媒体展示函数y＝x2的图象.

对于二次函数y＝x2的图象提出下列问题：

(1)你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流．

(2)图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？

(3)当x<0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x>0时呢？

(4)当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？

(5)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴进行交流．

教师要求学生先认真观察图象，然后分组完成5个问题，最后小组代表依次发言．

学生总结，教师点评：二次函数y＝x2的图象是一条抛物线，它的开口方向向上，且关于y轴对称，图象与x轴的交点是原点，也是抛物线的顶点，它是图象的最低点，坐标为（0，0），当x取0时，y的最小值是0，当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大.

设计意图：让学生结合图象回答问题，在图象中找出答案，有助于理解和记忆，体会数形结合思想．此外，通过小组交流解决问题，进一步培养团结协作能力．

做一做：二次函数y＝－x2的图象是什么形状？先想一想，然后画出它的图象，它与二次函数y＝x2的图象有什么关系？与同伴进行交流．

要求学生类比画y＝x2图象的操作步骤，在坐标纸上独立地画出函数y＝－x2的图象，教师巡视，对于画的好的学生给予表扬，对于画的不标准的学生给予纠正并鼓励，教师展示图象，最后比较两个图象．

总结：(1)二次函数y＝x2的图象与二次函数y＝－x2的图象关于x轴对称；(2)如果把两个图象看成一个图形，这个图形是中心对称图形，对称中心是坐标原点．

跟踪练习

抛物线y＝x2与y＝－x2的关系是(　　)

A.开口方向不同，顶点相同，对称轴相同

B.开口方向不同，顶点不同，对称轴相同

C.开口方向相同，顶点相同，对称轴相同

D.开口方向相同，顶点不同，对称轴不同

答案：A

二、合作探究

在坐标纸中画出函数y＝x2，y＝2x2的图象．

要求学生独立完成，同伴相互检查，教师巡视，对基础比较薄弱的学生进行指导，教师多媒体展示图象供学生参考.

学生分组讨论这三个函数图象的异同.

总结：（1）都是抛物线，开口方向相同，都向上；（2）对称轴都是y轴(或直线x＝0)；（3）顶点都是原点，坐标为(0，0)；（4）当x<0时，y值随x值的增大而减小，当x>0时，y值随x值的增大而增大；（5）都有最低点，即原点，函数都有最小值，最小值为0．

练一练：在同一坐标系中画出函数y＝－x2，y＝－x2，y＝－2x2的图象．（仿照上面合作探究的实施过程）

比较函数y＝－x2，y＝－x2，y＝－2x2的图象，找出它们的异同点．

提出问题：通过观察同一坐标系的图象，你能总结出二次函数y＝ax2(a≠0)中，二次项系数a的作用吗？

学生独立思考后，小组讨论，教师参与到学生的讨论中去．

（学生总结，教师点评）二次函数y＝ax2(a≠0)中，二次项系数a的作用：（1）a确定了抛物线的开口方向：①a>0时，开口向上；②a<0时，开口向下．（2）a确定了抛物线的开口大小：①︱a︱越大，开口越小，函数值变化得越快；②︱a︱越小，开口越大，函数值变化得越慢．

典型例题

【例】函数y＝mx|m|+1是关于x的二次函数．

(1)求满足条件的m值；

(2)当m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点以及当x为何值时，y随x的增大而增大？

(3)当m为何值时，函数有最大值？求出这个最大值以及当x为何值时，y随x的增大而减小？

【问题探索】要求m的值只需要根据二次函数的性质分情况讨论即可．

【解】(1)根据题意，得|m|＋1＝2，解得m1＝1，m2＝－1，所以满足条件的m的值为±1.　

（2）当m＝1时，抛物线表达式为y＝x2，抛物线有最低点，为(0，0)，当x>0时，y随x的增大而增大．　

（3）当m＝－1时，抛物线表达式为y＝－x2，抛物线开口向下，所以函数有最大值，最大值是0，当x>0时，y随x的增大而减小．

【总结】熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．

课堂练习

1.已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是(　　)

2.若在同一坐标系中，作出y＝2x2、y＝－2x2、y＝0.5x2的图象，则它们的共同特点是(　　)

A.都关于x轴对称，抛物线开口向上

B.都关于原点对称，顶点都是原点

C.都关于y轴对称，抛物线开口向下

D.都关于y轴对称，顶点都是原点

3.已知a<－1，点(a－1，y1)，(a，y2)，(a＋1，y3)都在函数y＝x2的图象上，则(　　)             

A.y1<y2<y3                B.y1<y3<y2

C.y3<y2<y1                D.y2<y1<y3

  4.已知抛物线y＝x2经过点(a，4.5)和(－a，y1)，则y1的值是　　　　．

参考答案

1.C　2.D　3.C　4.4.5

课堂小结

(学生总结，老师点评)

二次函数y＝ax2的图象和性质

1.当a>0时：(1)图象开口向上；(2)对称轴是y轴(或直线x＝0)；

(3)顶点都是原点，坐标为(0，0)；(4)x<0，y值随x值的增大而减小，x>0，y值随x值的增大而增大；(5)当x＝0时，y最小＝0．

2.当a<0时：(1)图象开口向下；(2)对称轴是y轴(或直线x＝0)；

(3)顶点都是原点，坐标为(0，0)；(4)x<0，y值随x值的增大而增大，x>0，y值随x值的增大而减小；(5)当x＝0时，y最大＝0．

3.（1）︱a︱越大，开口越小；（2）︱a︱越小，开口越大．

板书设计

第二章　二次函数

2　二次函数的图象与性质

第1课时　二次函数y＝ax²的图象与性质

y＝x2，y＝x2，y＝2x2三个函数图象的共同点：（1）都是抛物线，开口方向相同，都向上；（2）对称轴都是y轴(或直线x＝0)；（3）顶点都是原点，坐标为(0，0)；（4）x<0，y值随x值的增大而减小，x>0，y值随x值的增大而增大；（5）都有最低点，即原点，函数都有最小值．

教学反思

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