初中数学北师大版九年级下册第二章 二次函数2 二次函数的图像与性质教学设计及反思

2.2　 二次函数的图象与性质   

第3课时　二次函数y＝a(x－h)2和y＝a(x－h)2＋k的图象与性质

一、教学目标

1．能够画出二次函数y＝a(x－h)2和y＝a(x－h)2＋k的图象，并能够理解它们与y＝ax2的图象的关系，理解a，h和k对二次函数图象的影响．

2．能正确说出二次函数y＝a(x－h)2和y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

3．能利用二次函数的对称轴和顶点坐标解决问题．

二、教学重难点

重点：能够画出二次函数y＝a(x－h)2和y＝a(x－h)2＋k的图象，并能理解它们与二次函数y＝ax2的图象的关系，理解a，h和k对二次函数图象的影响．

难点：能够利用二次函数的图象和性质解决问题．

三、教学过程

（一）情境导入

师：生活中有很多的建筑造型不仅大气美观，而且也与我们数学中的抛物线相关，请同学们看下面的图片．(多媒体出示)你认为它们可以抽象成怎样的抛物线形状？

师：大家看，是否是下面的抛物线形状？(多媒体出示)你认为这种抛物线与我们所学习过的二次函数y＝ax2，y＝ax2＋c的图象有什么不同？

（二）探究新知

1．y＝a(x－h)2的图象和性质

课件出示教材第37页“做一做”．

(1)完成下表：

观察上表，比较2x2与2(x－1)2的值，它们有什么关系？

(2)在同一坐标系中画出y＝2x2与y＝2(x－1)2的图象．

同伴交流：你是怎样画的？

(3)结合图象，议一议．交流：二次函数y＝2(x－1)2的图象与二次函数y＝2x2的图象有什么关系？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？

(4)结合图形变换的知识，能否用移动的观点说明函数y＝2(x－1)2与y＝2x2的图象之间的关系呢？

(5)猜一猜：y＝2(x＋1)2的图象是怎么样的？它的图象与y＝2x2的图象之间有什么样的关系？

归纳：二次函数y＝2x2，y＝2(x－1)2，y＝2(x＋1)2的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同．将y＝2x2的图象向右平移1个单位，就得到y＝2(x－1)2的图象；将y＝2x2的图象向左平移1个单位，就得到y＝2(x＋1)2的图象．

2．y＝a(x－h)2＋k的图象和性质

(1)合情推理：由二次函数y＝2x2的图象，你能得到y＝2x2－，y＝2(x＋3)2，y＝2(x＋3)2 －的图象吗？你是怎么样得到的？

(2)画图验证后寻找规律，说一说：图象的变化将引起表达式如何变化，以及表达式的变化将引起图象如何变化？

(3)议一议：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与y＝ax2有什么关系？

(4)总结规律，填写表格：

对称轴,顶点坐标

y＝ax2

y＝a(x－h)2

y＝a(x－h)2＋k　　

 (5)总结：目前为止，二次函数的图象我们共研究了哪些类型？从表达式来看，它们之间的关系是什么？从图象来看，它们有什么关系？

学生交流后得出结论：

y＝ax2　　y＝a(x－h)2

y＝a(x－h)2　　y＝a(x－h)2＋k

（三）举例分析

例　一条抛物线的形状与y＝2x2的形状和开口方向相同，且顶点坐标为(4，－2)，试写出它的表达式．

处理方式：给学生5 min左右的时间独立完成，1分钟左右的时间小组内成员互对答案，期间，老师巡视、询问并指导．最后在黑板上以板演的形式或实物投影的形式展示，师生共同完善做题步骤．

解：设抛物线的表达式为y＝a(x－h)2＋k.∵顶点坐标为(4，－2)，∴h＝4，k＝－2.又∵抛物线的形状与y＝2x2的形状和开口方向相同，∴ a＝2.∴抛物线的表达式为y＝2(x－4)2－2.

（四）练习巩固

1．指出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，必要时画草图进行验证：

(1) y＝2(x－3)2－5；　　　 (2)y＝0.5(x＋1)2；

(3)  y＝－x2－1；　　　　(4) y＝2(x－2)2＋5.

2．对于二次函数y＝－3(x－)2，它的图象与二次函数y＝－3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？

3．怎样由y＝2x2的图象得到函数y＝2(x－1)2＋3的图象？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？

（五）课堂小结

通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？

（六）布置作业

1．教材38页“随堂练习”．

2．教材第39页习题2.4第1～4题．

四、教学反思

本节课，我合理、充分利用了多媒体教学的手段制作了课件，特别是《几何画板》软件的应用，画出了标准、动画形式的二次函数的图象，让抽象思维较差的学生，更加形象地结合图形，分析说出二次函数的有关性质，充分体现了“数形结合”的数学思想．为了突出重点，攻破难点，我要求学生“先观察后思考”、“先做后说”、“先讨论后总结”、“师生共做”，充分体现了教学过程中以学生为主体，老师起主导作用的教学原则．本节课，让学生观察、思考、讨论、练习，充分调动了学生的学习兴趣，从而为高效率、高质量地上好这一堂课作好了充分的准备.