2022-2023学年湖南省长沙一中教育集团八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省长沙一中教育集团八年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列四个学校校徽图案中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 小明和小红两位小朋友在做拼三角形的游戏，小明手上有两根木棒长分别为和，小红手上有四根木棒，长度如下：，，，，小明从小红手中选一根要能拼成一个三角形，小明应选长为的木棒．(    )

A.   B.  C.  D.

4. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列图形中具有稳定性的是(    )

A. 梯形 B. 长方形 C. 锐角三角形 D. 正方形

6. 如图，、、表示三个居民小区，为了居民生活的方便，现准备建一个生活超市，使它到这三个居民小区的距离相等，那么生活超市应建在(    )

A. ，两边中线的交点处
B. ，两边高线的交点处
C. 与这两个角的角平分线的交点处
D. ，两边的垂直平分线的交点处

7. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，过角尺顶点的射线便是的平分线．工人师傅这么做的原理是一种三角形全等的判定方法，这种判定方法是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，点、、、在一条直线上，≌，且，，，则(    )

A.  B.  C.  D. 无法确定

9. 已知钝角三角形，画边上的高，正确的画法是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点若，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 一个多边形的每一个外角都等于，那么这个多边形的边数是______ ．
12. 如果，，满足，且，，均为正整数，那么，，称为一组“三雅数”，当，时，则______．
13. 如图，天心阁是长沙市城南路与天心路交会之处的古城墙内的一座古城楼．如图，某数学兴趣小组在处用测角仪测得天心阁顶端的仰角为，在处又测得天心阁顶端的仰角为测量点，与天心阁的底部在同一水平线上，则从处观测，两处的视角______．
     
14. 已知等腰三角形一边长为，另一边长为，则它的周长是______．
15. 在中，，，，则斜边的长为______．
16. 如图，在等腰中，，，是边上的中线，是边上的动点，是边上的动点，当取得最小值时，则______．

三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）

17. 计算：
18. 先化简，再求值：，其中．

四、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，每格代表个单位，的三个顶点都在格点上．
    写出，，三个点的坐标；
    画出关于轴对称的图形；
    求出的面积．

20. 本小题分
    望城区某居民小组正在进行美丽乡村建设，为了提升居民的幸福指数，规划将一长为米、宽为米的矩形场地打造成居民健身场所．具体规划为：在这个场地中分割出一块长为米、宽为米的矩形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用于作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面．
    求安装健身器材的区域面积；
    在做施工预算时了解到铺设塑胶地面每平方米需元，铺设水泥地面每平方米需元，那么当，时，建设该居民健身场所所需地面费用为多少？

21. 本小题分
    如图，，．
    求证：≌；
    若，，求四边形的周长．

22. 本小题分
    如图，是等边三角形，．
    求证：；
    求的大小．

23. 本小题分
    如图，是等边三角形，是边上的高，延长到，使，再延长与交于点．
    试说明与的位置关系；
    若，求的长；
    请猜想与间的数量关系，并说明理由．

24. 本小题分
    “阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础，长沙市某学校以大阅读特色课程实施为突破口，着力提升学生的核心素养．”全校师生积极响应和配合，开展各种活动丰富其课余生活．在数学兴趣小组中，同学们从书上学到了很多有趣的数学知识．其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣．根据，知道，可以求的值．如果知道，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，那么例
    如：，则．
    填空：______，______；
    计算：；
    探索与的大小关系，并说明理由；
    直接写出，与的数量关系式，不需要说明理由．
25. 本小题分
    如图，已知点，点，且，满足．
    求，两点的坐标；
    若点是第二象限内一点，且，过点作于点，求证：；
    如图，若点的坐标为，过点作，且，连接交轴于点，求点的坐标．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、与不属于同类项，不能合并，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，单项式乘单项式的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查单项式乘单项式，积的乘方，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】 

【解析】解：设选择的木棒长为，
由题意得，即，
选择木棒长度为．
故选：．
根据构成三角形的条件，确定出第三边长长度的取值范围即可确定选项．
本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形两条较小的边的边长之和大于最长的边的边长是解决问题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是．
故选：．
根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
此题主要考查了关于轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
 

5.【答案】 

【解析】解：、梯形不具有稳定性，本选项不符合题意；
B、长方形不具有稳定性，本选项不符合题意；
C、锐角三角形具有稳定性，本选项符合题意；
D、正方形不具有稳定性，本选项不符合题意；
故选：．
根据三角形具有稳定性判断即可．
本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：生活超市到这三个居民小区的距离相等，
生活超市应建在的三边的垂直平分线的交点处．
故选：．
根据线段垂直平分线的性质求解．
本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
 

7.【答案】 

【解析】解：在和中，
，
≌，
，
故选：．
由作图过程可得，，再加上公共边可利用定理判定≌．
本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，直角三角形可用定理，但、，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．
 

8.【答案】 

【解析】解：≌，
，
，
，
故选：．
直接利用全等三角形的对应边相等即可求得答案．
本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是了解全等三角形的对应边相等，难度不大．
 

9.【答案】 

【解析】解：画边上的高，正确的画法为．
故选：．
根据三角形高的定义，过点作的垂线，则垂线段为边上的高，从而可对各选项进行判断．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了三角形的角平分线、中线和高．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
，
是的外角的平分线，
，
．
故选：．
根据三角形外角性质求出，根据角平分线定义求出，根据三角形外角性质求出即可．
本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
 

11.【答案】 

【解析】解：多边形的外角和为，
边数．
则它是边形．
根据任何多边形的外角和都是度，利用除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
 

12.【答案】 

【解析】解：把，代入中得：
，
，
，
，
，
故答案为：．
把，代入中得：，然后进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意可知，，，，
，，
，
故答案为：．
根据题意可得，，，，进而利用两锐角互余求得，，进一步求得．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形得出，，是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：分两种情况：
当腰为时，，所以不能构成三角形；
当腰为时，，所以能构成三角形，周长是：，
故答案为：．
题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
故答案为：．
根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半计算即可．
本题考查了含角的直角三角形的性质，在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接，
，
，
，
当、、在同一直线上，且时，取最小值．
，
，
，
故答案为：．
根据对称性和等腰三角形的性质，当、、在同一直线上，且时，取最小值，进而求解．
本题考查了最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是准确找到点和的位置．
 

17.【答案】解：原式
． 

【解析】本题涉及零指数幂、二次根式、绝对值化简整数指数幂等几个知识点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
 

18.【答案】解：原式

，
当时，
原式

． 

【解析】根据多项式乘多项式法则，积的乘方法则计算，再合并同类项，最后代值计算便可．
本题考查了整式的混合运算，求代数式的值，关键是熟记多项式乘多项式法则，积的乘方法则，合并同类项．
 

19.【答案】解：由图形知，，，；
如图，即为所求；

的面积． 

【解析】根据图形写出三个点的坐标即可；
根据轴对称的性质找出对应点即可求解；
根据割补法即可求解．
本题考查了轴对称变换的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：

平方米，
答：安装健身器材的区域面积为平方米；
根据题意，得需要总费用为

，
当，时，总费用为元，
答：建设该居民健身场所所需地面费用为元． 

【解析】根据题意列出代数式，根据多项式乘多项式化简即可；
根据铺设塑胶地面每平方米需元，铺设水泥地面每平方米需元，表示出总费用，将，代入求值即可．
本题考查了列代数式，代数式求值，熟练掌握多项式乘多项式是解题的关键．
 

21.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
，，
在和中，
，
≌；
解：由可知，，，
四边形的周长． 

【解析】证四边形是平行四边形，得，，再由证明≌即可；
由可知，，，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】证明：是等边三角形，
，，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
；
解：，
． 

【解析】证≌，即可得出结论；
由三角形的外角性质即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

23.【答案】解：，理由如下：
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
；
在中，
，，
，
是等边三角形，是边上的高，
，
；
，理由如下：
由知：，
，
．
． 

【解析】根据等边三角形的性质可得，根据外角定义可得，然后利用三角形内角和定理可得，进而可以解决问题；
利用含度角的直角三角形性质即可解决问题；
利用含度角的直角三角形性质得，进而可以解决问题．
本题考查了等边三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握含度角的直角三角形性质．
 

24.【答案】   

【解析】解：，，
，，，
故答案为：，；
；
设，，，
则：，，，
，
，
即：，
，
；
．
根据新规定求解；
根据新规定求值计算；
利用新规定，化为幂的运算求解；
由直接得出结论．
本题考查了有理数的乘法，幂的运算数解题的关键．
 

25.【答案】解：．
，
解得，
，；

证明：如图，作于，

．
，，
，
，
，
，
．
在和中，
，
≌，
，．
，
，
，
．
，
，
，
；

解：如图，作轴于，

．
．
，
，
．
在和中，
，
≌．
．
．
在和中，
，
≌，
．
，
，
，
，
，
． 

【解析】利用非负数的性质求出，即可解决问题；
如图，作于，证明≌，推出，可得结论；
如图，作轴于，证明≌推出，证明≌，推出，可得结论．
本题是三角形综合题，考查了非负数的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，坐标与图形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．