2022-2023学年山东省青岛市崂山区八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省青岛市崂山区八年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 国庆假期，小磊和小强去电影院观看了首部聚焦“外交官撤侨”的电影万里归途若电影票上小磊的座号“排座”记作，则小强的座号“排座”可记作(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列实数中，为无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 正比例函数，当时，，则此正比例函数的关系式为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 若的三边分别是，，，则下列条件能判断是直角三角形的是(    )

A.  B. ：：：：
C.  D. ，，

5. 在直角坐标系中，点在第四象限，且到两坐标轴的距离都是，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 若，且为整数，则的值可能是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 一次函数，随的增大而减小，且，则它的图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 如图，一个圆柱形花瓶上下底面圆上有相对的，两点，现要用一根金色铁丝装饰花瓶，金色铁丝沿侧面缠绕花瓶一圈，并且经过，两点．若花瓶高，底面圆的周长为，则需要金色铁丝的长度最少为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9. 的平方根为______．
10. “两个无理数的积还是无理数”这句话是错误的，请举出一个反例进行说明______．
11. 如图是，两种手机套餐每月资费元与通话时间分钟对应的函数图象，若小红每月通话时间大约为分钟，则从，两种手机资费套餐中选择______种更合适．

12. 如图，已知则点所表示的数是______．

13. 已知点，点，直线轴，则的值为______．
14. 九章算术是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”其中记录了这样一个问题，原文：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：今有竹高尺，末端被折断而抵达地面，离竹根部有尺，则竹的余高为______尺．
15. 如图，直线是一次函数的图象，若关于的方程的解是，则直线的函数关系式为______．

16. 如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标的位置为，目标的位置为，现有一个目标的位置为，且与目标的距离为，则目标的位置为______．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    计算：
     
18. 本小题分
    如图，方格纸中每个小正方形的边长均为个单位长度，点，，，，都在格点上．以点为坐标原点，在图中建立适当的平面直角坐标系，并写出点，，，的坐标．

19. 本小题分
    一个容积为的正方体容器中装满水，现要将其中的水全部倒入到另一个长方体容器中，若长方体容器的长与宽相等且高是，则这个长方体容器的长与宽至少是多少？结果精确到
     
20. 本小题分
    如图，某小区有一块四边形的空地，物业计划沿修一条笔直的小路小路宽度不计，并在三角形和三角形两个区域内分别种植牡丹花和杜鹃花以供观赏．经测量，，米，米，米，求四边形的面积．

21. 本小题分
    在如图所示的平面直角坐标系中，各个顶点的坐标分别是，，．
    请在此坐标系中画出；
    若与关于轴对称点与点对应，点与点对应，则点的坐标为______；
    求出的面积；
    的高线的长为______结果化成最简形式

22. 本小题分
    小李、小王两人从学校出发去图书馆，小李步行一段时间后，小王骑电动车沿相同路线行进，两人均匀速前行，他们的路程差米与小李出发时间分之间的函数关系如图所示．
    请直接写出小李、小王两人的前行速度；
    请直接写出小李、小王两人前行的路程米，米与小李出发时间分之间的函数关系式；
    求小王出发多长时间，两人的路程差为米．

23. 本小题分
    直角三角形三边满足两直角边的平方和等于斜边的平方，那么锐角三角形或钝角三角形的三边是否也满足这一关系呢？
    情况一：锐角三角形
    如图，在中，为斜边边上的高，在的延长线上取一点，连接，，得到锐角三角形，
    ，，
    ．
    得出结论：锐角三角形夹锐角两边的平方和大于第三边的平方．
    像这种不用进行复杂的计算或推理，通过构造图形可以直观得到结论的方法，我们称之为“构图直观法”．
    
    情况二：钝角三角形
    你能借助上述“构图直观法”，得到钝角三角形三边之间类似的关系吗？请在图中画出图形，得出结论并说明理由．
    得出结论：______．
    方法应用：
    下面我们用这种方法来研究其他问题：
    已知正方形，现作一个大正方形，使得正方形的四个顶点分别在大正方形的四条边上，则大正方形和正方形的面积之间会有怎样的数量关系？
    
    如图，作出一个满足要求的大正方形，使得正方形的四个顶点分别在大正方形各边中点上．过点，，，分别作大正方形的边的平行线，恰好与正方形的两条对角线所在直线重合，观察图形，则与的数量关系为：______．
    如图，任意作出一个满足要求的大正方形，若点，，，不是它各边中点，它的面积是否比图中的正方形面积更大？请你利用上面介绍的“构图直观法”说明理由．
    综上所述，满足要求的大正方形和正方形的面积之间的数量关系为：______．
24. 本小题分
    小刚在大桥上看到锯齿状的伸缩缝如图，通过查阅资料知道伸缩缝是为大桥热胀冷缩而设置，并且大桥伸缩缝的长度主要受气温的影响，于是他对此进行了进一步的探究．在一年中他对当地某大桥伸缩缝的长度进行了五次测量，每次对伸缩缝长度测三次取其平均值，使测量结果更为精确，并将所测数据制成下表：

根据上面的信息，小刚提出了个问题，请你帮他解答：

在图的直角坐标系内，描出五次测量的有序数对所对应的五个点；
这些点是否近似地在一条直线上？如果是，请确定一个与的近似关系式；如果不是，请说明理由；
若某时测得伸缩缝的长度为，请估计此地当时的气温；
当地气温一般在，估计该大桥伸缩缝长度的最大值与最小值分别是多少．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：电影票上小磊的座号“排座”记作，
小强的座号“排座”可记作，
故选：．
由“排号”记作可知，前一个数表示排数，后一个数表示号数，即可得出答案．
本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住点的坐标特征是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B.是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C.是无理数，故本选项符合题意；
D.是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：．
根据无理数的定义判断即可．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
 

3.【答案】 

【解析】解：正比例函数，当时，，
，
解得，
与的函数关系式为，
故选：．
直接把时，代入正比例函数，求出的值即可．
本题考查的是利用待定系数法求正比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解答此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，且，，，故不是直角三角形；
B、：：：：，，故不是直角三角形；
C、，为等边三角形，不是直角三角形；
D、，，，是直角三角形．
故选：．
根据三角形内角和定理可判断、是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断、是否是直角三角形．
本题考查勾股定理的逆定理的应用，以及三角形内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．
 

5.【答案】 

【解析】解：点在平面直角坐标系中第四象限，
点横坐标为正数，纵坐标为负数，
到两坐标轴的距离都是，
点的坐标是：．
故选：．
利用第四象限点的坐标性质结合到两坐标轴的距离都是，得出其坐标即可．
此题主要考查了点的坐标，正确掌握各坐标系中点的坐标特点是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
．
，且为整数，
可能等于．
故选：．
先判断出的取值范围，进而可得出结论．
本题考查的是实数的性质，先根据题意判断出的取值范围是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为随的增大而减小，可得，
因为，可得，
所以一次函数的图象经过，，象限，
故选B．
根据随的增大而减小得出，再利用，得出，进而判断即可．
考查图象识别能力，注意要按照从左到右的顺序来看图象．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，把圆柱的侧面展开，
则从圆柱底部处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部处做装饰，这条丝线的最小长度是长方形的对角线的长的倍．
圆柱的底面周长是，高是，

，，
在中，
，
．
故选：．
要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．
本题考查了平面展开最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
 

9.【答案】 

【解析】解：

的平方根为，
故答案为：．
根据平方运算，可得一个数的平方根．
本题考查了平方根，平方运算是求平方根的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：“两个无理数的积还是无理数”这句话是错误的，如：，
故答案为：
找到两个积为有理数的无理数即可．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解无理数的定义，难度不大．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意可知，当时，套餐所需费用比套餐所需费用小，
所以若小红每月通话时间大约为分钟，则从，两种手机资费套餐中选择种更合适．
故答案为：．
通过观察两种手机套餐的函数图象，比较出当时，两种手机套餐的费用大小，即可得出答案．
本题考查了函数的图象，根据函数图象正确读取信息是解答本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题可知，，
，
，
点表示的数是，
故答案为：．
由勾股定理求出的长，从而确定的长，再求点表示的数即可．
本题考查数轴与实数，熟练掌握数轴上点的特征，直角三角形勾股定理是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，点，且直线轴，
，
解得．
故答案为：．
根据平行轴的横坐标相等求解．
此题考查了点与坐标的对应关系，坐标轴上的点的特征，第一、三象限的角平分线上的点的特征．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，由题意得：，尺，尺，
设折断处离地面尺，则尺，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即折断处离地面尺．
故答案为：．
画出图形，设折断处离地面尺，则尺，由勾股定理得出方程，解方程即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理得出方程是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：把代入关于的方程得，，
解得，
因此直线的函数关系式为，
故答案为：．
代入关于的方程求得的值，进而即可求得直线的解析式．
本题考查了一次函数与一元一次方程，待定系数法求一次函数的解析式，熟知一次函数与一元一次函数的关系是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：通过观察图形，点位于图中距离中心点的第二个圈上，且位于角处，它的位置是．
用有序数对确定位置时，第一个数表示该点在距离中心点的第几个圈上，第二个数表示该点在哪个度数的直线上．
．
故答案为：．
由目标的位置为，可知用这种方法表示物体的位置时，前边的数表示与中心点的距离，后边的数表示角度；观察点的位置，距离中心点有多远，在哪一个角度上，就不难写出的位置怎么标记了．
本题考查有序数对在实际生活中的实际应用，理解有序数对所表示的实际意义是做此题的关键．
 

17.【答案】解：


；


． 

【解析】先化简，再算除法即可；
先算完全平方，乘法，再算加减即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

18.【答案】解：如图所示，

点、、、． 

【解析】以点为原点，水平方向为轴，建立平面直角坐标系，根据坐标系可得答案．
本题主要考查点的坐标，掌握平面直角坐标系及点的坐标是解题的关键．
 

19.【答案】解：设长方体容器的长与宽都为，
，
解得，
答：长方体容器的长与宽为． 

【解析】根据长方体的体积等于正方体的体积计算可得结论．
本题主要考查了认识立体图形，熟练掌握长方体的体积公式是关键．
 

20.【答案】解：在直角中，，米，则：
米．
在中，米，米，米，则：
米，米
所以．
所以是直角三角形，且．
故米
答：四边形的面积为米． 

【解析】在直角中，利用勾股定理求小路的长，由勾股定理逆定理判断的形状，由三角形面积公式求得四边形的面积．
本题考查勾股定理的应用，四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】  

【解析】解：如图，为所作；

如图，为所作，点坐标为；
故答案为；
的面积；
，
，
．
故答案为：．
利用点、、点的坐标描点即可；
根据关于轴对称的点的坐标特征求解；
用一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积去计算的面积；
先计算出的长，然后路面积法计算高线的长．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形面积．
 

22.【答案】解：由图象得出小李步行米，需要分钟，
所以小李的运动速度为：米分，
当第分钟时，小王运动分钟，
运动距离为：，
小王的运动速度为：米分；
根据题意得，
；
当相遇前两人的路程差为米时，得，
即，
解得，
当相遇前两人的路程差为米时，得，
即，
解得，
小王出发分钟或分钟时，两人的路程差为米． 

【解析】由函数图象知，小李步行米，需要分钟，据此求得小李的速度；第分钟两相遇，根据小王此时小王行驶的路程和时间便可求得小王的速度；
根据路程速度时间，列出解析式便可；
分两种情况：相遇前与相遇后，分别列出方程解答．
本题主要考查了一次函数的应用，利用数形结合得出两人的运动速度是解题关键．
 

23.【答案】钝角三角形夹钝角两边的平方和小于第三边的平方    大正方形的面积倍的正方形的面积 

【解析】解：情况二：钝角三角形，
如图，在中，为斜边边上的高，在上取一点，连接，，得到钝角三角形，

由勾股定理得：．
，，
．
得出结论：钝角三角形夹钝角两边的平方和小于第三边的平方．
故答案为：钝角三角形夹钝角两边的平方和小于第三边的平方；
方法应用：当正方形的四个顶点分别在大正方形各边中点上时，
过点，，，分别作大正方形的边的平行线，恰好与正方形的两条对角线所在直线重合，如图，

此时大正方形倍分成了个全等的小正方形：正方形，正方形，正方形，正方形，
每个小正方形又被正方形的四边各分成了两个全等的等腰直角三角形，
大正方形的面积等于倍的等腰直角三角形的面积，小正方形的面积等于倍的等腰直角三角形的面积，
与的数量关系为：．
故答案为：．
当点，，，不是它各边中点，它的面积比图中的正方形面积小．理由：
连接，，与交与点，如图，

设，，
，．
四边形为正方形，
为等腰直角三角形，
，
．
，
特别的时取等号．
点，，，不是它各边中点，
．
同理可得：，，，
，
任意作出一个满足要求的大正方形，若点，，，不是它各边中点，它的面积比图中的正方形面积小．
由可知：满足要求的大正方形和正方形的面积之间的数量关系为：大正方形的面积倍的正方形的面积，
故答案为：大正方形的面积倍的正方形的面积．
情况二：钝角三角形：利用“构图直观法”，画出符合题意的图形，利用情况一的解法解答即可；
方法应用：利用正方形的性质和中点的意义解答即可；
利用“构图直观法”连接，，根据全等三角形的判定与性质和正方形的性质解答即可；
利用的结论综合解答即可得出结论．
本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，本题是阅读型题目，理解题干中的方法并熟练应用是解题的关键．
 

24.【答案】解：

这些点是否近似地在一条直线上，设与的近似关系式为，
将，代入得：
，
解得，
与的近似关系式为；
当时，，
解得，
此地当时的气温约是；
当时，，
当时，，
该大桥伸缩缝长度的最大值约为，最小值约是． 

【解析】根据已知表格描点即可；
观察描点，用待定系数法可得与的近似关系式；
求出，对应的即可；
求出和时，的值即可．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能用待定系数法求出与的近似关系式．