数学九年级下册2.3 三角形的内切圆一课一练

2021-2022学年浙教版九年级数学下册课课练一课一练

2.3 三角形的内切圆 （含答案）

一、单选题

1．下列四个命题：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②对角线相等的平行四边形是菱形；⑨一组邻边相等的矩形是正方形；④三角形三条角平分线的交点是三角形的外心．其中真命题共有（　　） 

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．如图所示，已知⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，若∠A＝35°，则∠BIC等于（　　） 

A．35° B．70° C．145° D．107.5°

3．根据尺规作图的痕迹，可以判定点O为 的内心的是（　　） 

A． B．

C． D．

4．下列命题正确的是（　　）  

A．正三角形的内切圆的半径与外接圆半径之比为2﹕1

B．正六边形的边长等于其外接圆的半径

C．圆的外切正多边形的边长等于其边心距的倍

D．各边相等的圆的外切四边形是正方形

5．下列关于三角形的内心说法正确的是（　　）  

A．内心是三角形三条角平分线的交点

B．内心是三角形三边中垂线的交点

C．内心到三角形三个顶点的距离相等

D．钝角三角形的内心在三角形外

6．一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） 

A． ABC 的三条中线的交点

B． ABC 三边的垂直平分线线的交点

C． ABC 三条角平分线的交点

D． ABC 三条高所在直线的交点

7．如图， 的内切圆 与 分别相切于点D，E，F，连接 ， ， ， ， ，则阴影部分的面积为（　　） 

A． B． C． D．

8．如图，在 中， ， 于D，⊙O为 的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则 的值为（　　） 

A． B． C． D．

9．如图， 中， ，点 是 的内心，则 的度数为（　　） 

A． B． C． D．

10．如图，△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（　　） 

A．120° B．110° C．115° D．130°

二、填空题

11．正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为　        　.

12．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，如果AE=2，CD=1，BF=3，则内切圆的半径r= 　     　 ．

13．若直角三角形两边分别为6和8，则它内切圆的半径为　         　．

14．已知Rt△ABC的两直角边的长分别为6cm和8cm，则它的外接圆的半径与内切圆半径的比为　     　．

15．小红随机地在如图所示的边长为6的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆 阴影 区域的概率为　     　. 

16．已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于　     　．

17．如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是 上一点，则∠EPF的度数是　     　． 

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，3），C（4，3），点I是△ABC的内心，则点I的坐标为　         　；点I关于原点对称的点的坐标为　           　．

19．一个直角三角形的两条直角边长分别为6cm、8cm，则它的内切圆的半径为　     　cm.

20．如图，△ABC的内切圆与三边分别切于点D，E，F，若∠C＝90°，AD＝3，BD＝5，则△ABC的面积为　     　.

三、解答题

21．如图，在 的正方形网格中，有部分网格线被擦去.点 ， ， 在格点（正方形网格的交点）上. 

（1）请用无刻度的直尺在图1中找到三角形 的外心 ；  

（2）请用无刻度的直尺在图2中找到三角形 的内心 .  

22．已知：如图，点 是△ 的内心， 的延长线和△ 的外接圆相交于点 .求证： .

23．已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC的长．

四、综合题

24．如图，ΔABC是直角三角形，∠C=90°.

（1）请作出ΔABC的内切圆⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.

（2）设（1）中作出的⊙O与边AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，BC=8，AC=6，①∠AOB=　     　°；②BD=　     　.

25． 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心（三角形三个内角平分线的交点），连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD＝DF，连接CF、BE

（1）求证：DB＝DE

（2）求证：直线CF为⊙O的切线

（3）若CF＝4，求图中阴影部分的面积

26．如图， 是 的外接圆，点E是 的内心，AE的延长线交BC于点F，交 于点D，连接BD，BE. 

（1）求证： ； 

（2）若 ， ，求DB的长. 

答案解析部分

1．B

2．D

3．C

4．B

5．A

6．C

7．C

8．B

9．D

10．B

11．1：2：3

12．1

13．2或 -1

14．5：2

15．

16．

17．60°

18．（3，2）；（-3，-2）

19．2

20．15

21．（1）解：如图，点 即为所求；   

（2）解：如图，点 即为所求.  

22．解：连接 ，
 

∵点 是△ 的内心，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ .

23．解：∵圆O内切于△ABC，
∴∠ABO=∠CBO，∠BCO=∠ACO，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCO=×90°=45°，
∵∠BOC=105°，
∴∠CBO=180°−45°−105°=30°，
∴∠ABC=2∠CBO=60°，
∴∠A=30°，
∴BC=AB=×20=10cm，
∴AC=
∴BC、AC的长分别是10cm、cm.

24．（1）解：如图所示：⊙O即为所求；

（2）135；6

25．（1）证明：∵E是△ABC的内心  ∴∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC

∵∠BED＝∠BAE+∠EBA，∠DBE＝∠EBC+∠DBC，∠DBC＝∠EAC

∴∠DBE＝∠DEB

 ∴DB＝DE

（2）证明：连接CD ，则 ∠CDB=90°

∵点E为△ABC的内心  ∴DA平分∠BAC  ∴∠DAB＝∠DAC   ∴BD＝CD

∴∠CBD=∠BCD=∠DCF=45°

∴∠BCF＝90°

 ∴BC⊥CF    即CF是⊙O的切线

（3）解：连接OD

∵ O、D是BC、BF的中点，CF＝4    ∴ OD＝2

∵∠BCF＝90°   ∴∠BOD＝90°

∴图中阴影部分的面积 =扇形BOD的面积﹣△BOD的面积

==π-2

26．（1）证明：∵E是△ABC的内心，

∴AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，

根据圆周角定理推论，可知∠DBC=∠CAD，

∴∠DBC=∠BAE，

∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，

∴∠DBE=∠DEB，

∴DE=DB

（2）解：由（1）知∠DAB=∠CAD，∠DBF=∠CAD，

∴∠DBF=∠DAB.

∵∠D=∠D，

∴△DBF∽△DAB.

∴ ，

∵DE=DB，

∴ ，

∵ ， ，

∴ ，

∴ .