初中数学人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.1 全等三角形教案设计

第十二章 全等三角形

12.1  全等三角形

学习目标：1．了解全等形、全等三角形的概念，能正确识别全等三角形的对应元素．

2．掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的性质．

          3．能够利用全等三角形的性质解决一些简单的实际问题．

重点：全等三角形的性质．

难点：找全等三角形的对应边、对应角．

自主学习

一、知识链接

1．已知△ABC．

（1）画出△ABC向右平移1 cm后的△DEF．

（2）△ABC和△DEF的形状______，大小_______；对应点分别为__________________，对应边分别为_____________________，对应角分别为_______________________．

二、新知预习

1．观察下列一组图片，思考问题．

问题：图中有形状和大小都相同的图形吗？试把它们指出来．它们能够完全重合吗？你能再举出一些类似的例子吗？

2．自主归纳：

（1）能够完全重合的两个图形叫做________，则________________叫做全等三角形．

（2）“全等”符号：________读作“全等于”．

（3）全等三角形的性质：________________．                                                  

（4）如图：这两个三角形是完全重合的，则△ABC_____△A1B1C1．点A与A1点是对应顶点，点B与点___是对应顶点，点C与点___是对应顶点；对应边：________________；对应角：________________．            

3．全等变换的方式有________，_______和________．

三、自学自测

如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，则这两个三角

形中相等的边有                 ；相等的角有             ；

有____个三角形，分别记作：_______________________．     

四、我的疑惑

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

课堂探究

一、要点探究

探究点1：全等三角形的定义及性质

问题1：观察思考：每组中的两个图形有什么特点？

问题2：观察下面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？

归纳总结：

全等形定义：能够________的两个图形叫做全等形．

全等形性质：如果两个图形全等，它们的_____和_____一定都相等．

针对训练

找一找：下面哪些图形是全等形？

要点归纳：

全等三角形：

能够完全重合的两个三角形叫_______________．

全等三角形的对应元素：

把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．

如图，点A和    ，点B和    ，点C和    是对应顶点．

      AB和    ，BC和    ，AC和    是对应边．

      ∠A和    ，∠B和    ，∠C和    是对应角．

全等的表示方法：△ABC≌△FDE

“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”．

注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位上．

典例精析

例1：如图，若△BOD≌△COE，指出这两个全等三角形的对应边；若△ADO≌△AEO，指出这两个三角形的对应角．

针对训练

找一找下列全等图形的对应元素？

要点归纳：寻找对应元素的规律：

1．有公共边的，公共边一般是对应边；

2．有公共角的，公共角一般是对应角；

3．有对顶角的，对顶角一般是对应角；

4．两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边也是对应边；

5．两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角也是对应角．

探究点2：全等三角形的性质

想一想：把一个三角形平移、旋转、翻折，变换前后的两个三角形全等吗？

要点归纳：

全等变化：

一个图形经过平移、翻折、旋转后，       变化了，但       和       都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的两个图形       ．

全等三角形的性质：

全等三角形的对应边相等，对应角相等．

全等三角形的性质的几何语言：

∵△ABC≌△FDE，

∴AB=FD，AC=FE，BC=DE，（全等三角形对应边相等）

∠A=∠F，∠B=∠D，∠C=∠E．（全等三角形对应角相等）

试一试

如图，△ABC与△ADC全等，请用数学符号表示出这两个三角形全等，并写出相等的边和角．

典例精析

例2  如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠E的度数和CF的长．

例3 如图，△EFG≌△NMH，EF=2.1 cm，EH=1.1 cm，NH=3.3 cm．

（1）试写出两个三角形的对应边、对应角；

（2）求线段NM及HG的长度；

（3）观察图形中对应线段的数量或位置关系，试提出一个正确的结论并说明理由．

 想一想：你还能得出其他结论吗？

二、课堂小结

当堂检测

1．如图，△ABC≌△BAD，如果AB=4 cm， BD=3 cm，AD=5 cm，那么BC的长是（   ）  

 A．5 cm  B．4 cm   C．3 cm   D．无法确定

2．在上题中，∠CAB的对应角是（    ）

A．∠DAB  B．∠DBA  C．∠DBC  D．∠CAD

3．如图，已知△ABC≌△BAD请指出图中的对应边和对应角．

变式：如图：平移后△ABC≌△EFD，若AB＝6，AE＝2．你能求出AF的长吗？说说你的理由．

解：∵△       ≌△       ，   

∴AB＝       ＝       ，

∴AB－       ＝EF－       ．      

∴AF=EB=       ．

4．如图，已知△ABC≌△AED，请指出图中对应边和对应角．

变式：如图，已知△ABC≌△AED，若AB＝6，AC＝2，∠B＝25°，你还能说出△ADE中其他角的大小和边的长度吗？

5．如图，长方形ABCD沿AM折叠，使D点落在BC上的N点处，AD=7 cm，DM=5 cm，∠DAM=35.5°，则△ANM≌△ADM，AN=       cm，NM=       cm，∠NAB=       ．

6．如图△ABC≌△DEF，边AB和DE在同一条直线上，试说明图中有哪些线段平行，并

说明理由．

摆一摆：利用平移，翻折，旋转等变换所得到的三角形与原三角形组成各种各样新的图形，你还能拼出什么不同的造型吗？比一比看谁更有创意！

参考答案

自主学习

一、知识链接

1．（1）图略．

（2）相同  相等  点A和点D，点B和点E，点C和点F

AB和DE，BC和EF，AC和DF    ∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F

二、新知预习

1．略

2．（1）全等形  能够完全重合的两个三角形

（2）≌

（3）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等

（4）≌   B1   C1    AB和A1B1，BC和B1C1，AC和A1C1  

 ∠A和∠A1，∠B和∠B1，∠C和∠C1

3．平移   翻折   旋转

三、自学自测

AC和DB，OC和OB，OA和OD    ∠A和∠D，∠C和∠B，∠AOC和∠DOB

两  △OCA，△OBD

课堂探究

二、要点探究

探究点1：全等三角形的定义及性质

问题1  每组中的两个图形的形状、大小相等．

问题2  它们不是全等图形，因为它们的形状和大小都不相等．

要点归纳  完全重合  形状  大小

针对训练

找一找  （2）和（7），（3）和（9），（5）和（12），（6）和（10）

要点归纳  全等三角形  点D  点E  点F  DE  EF  DF  ∠D  ∠E  ∠F

典例精析

例1  解：△BOD与△COE的对应边为：BO与CO，OD与OE，BD与CE；

△ADO与△AEO的对应角为：∠DAO与∠EAO，∠ADO与∠AEO，∠AOD与∠AOE．

探究点2：全等三角形的性质

要点归纳  位置  形状  大小  全等

针对训练

解：△ABC≌△ADC；

相等的边为：AB=AD，AC=AC，BC=DC；

相等的角为：∠BAC=∠DAC，∠B=∠D，∠ACB=∠ACD．

典例精析

例2  解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，

∴∠E＝∠B＝50°，BC＝EF＝7，∴CF＝BC－BF＝7－4＝3．

例3  解：（1）对应边有EF和NM，FG和MH，EG和NH；

对应角有∠E和∠N，∠F和∠M，∠EGF和∠NHM．

（2）∵△EFG≌△NMH，∴NM=EF=2.1 cm，EG=NH=3.3 cm．∴HG=EG–EH=3.3-1.1=2.2(cm)．

（3）结论：EF∥NM．证明如下：∵△EFG≌△NMH，∴∠E=∠N．∴EF∥NM．

当堂检测

1．A   2．B

3．BA  BD  AD  ∠ABD  ∠BAD  ∠D

变式：ABC  EFD  EF  6  AE  AE  6-2  4

4．AE  AD  ED  ∠A  ∠E  ∠ADE

变式：解：∵△ABC≌△AED，

∴∠E＝∠B＝25°（全等三角形对应角相等），

AD=AC=2，AE=AB=6（全等三角形对应边相等）．

5．7  5  19

6．解：AC∥DF，BC∥EF．理由如下：

∵△ABC≌△DEF，∴∠A＝∠2，∠1＝∠E，（全等三角形对应角相等）

∴AC∥DF，BC∥EF.

摆一摆：