初中人教版第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质教学设计

22.1.2　二次函数y＝ax2的图象和性质

1．会用描点法画二次函数y＝ax2的图象，理解抛物线的有关概念．

2．掌握二次函数y＝ax2的性质，能确定二次函数y＝ax2的解析式．

3．经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理．

▲重点

1．二次函数y＝ax2的图象的画法及性质．

2．能确定二次函数y＝ax2的解析式．

▲难点

1．用描点法画二次函数y＝ax2的图象，探索其性质．

2．能运用二次函数y＝ax2的有关性质解决问题．

◆活动1　新课导入

1．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是__一条经过(0，b)的直线__．特别地，正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是__过原点的直线__．

2．描点法画出一次函数的步骤：分别为__列表__、__描点__、__连线__三个步骤．

3．我们把形如__y＝ax2＋bx＋c(a≠0)__的函数叫做二次函数．

◆活动2　探究新知

1．教材P29～30.

提出问题：

(1)同学们回想一下，一次函数的性质是怎样研究的？我们能否类比研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质呢？如果可以，应先研究什么？

(2)对函数y＝x2，请完成下表：

(3)请描绘出表中各点，画出y＝x2的图象；

(4)你能说说二次函数y＝x2的图象有哪些特征吗？

学生完成并交流展示．

2．教材P30　例1.

提出问题：

(1)你能在同一直角坐标中画出函数y＝x2与y＝2x2的图象吗？请完成下表并描点，进而画出各函数图象；

 (2)观察所画出的图象，它们有哪些共同点和不同点？

(3)你能由此猜想并归纳出当a＞0时，y＝ax2的图象和性质吗？

学生完成并交流展示．

3．教材P31　探究．

提出问题：

(1)你能在同一直角坐标系中画出函数y＝－x2，y＝－x2，y＝－2x2的图象吗？请同学们在草稿纸上尝试画出它们的图象；

(2)你画出的图象与图22.1－5中的图象相同吗？仔细观察你所画出的图象，并思考这些抛物线有什么共同点和不同点？

(3)你能总结归纳出当a＜0时，y＝ax2的图象和性质吗？

学生完成并交流展示．

◆活动3　知识归纳

1．二次函数y＝ax2的图象是一条开口向上或向下的抛物线．一般地，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象叫做抛物线y＝ax2＋bx＋c.

2．一般地，抛物线y＝ax2的对称轴是__y轴__，顶点是__(0，0)__．当a＞0时，抛物线的开口__向上__，顶点是抛物线的最__低__点，|a|越大，抛物线的开口__越小__；在对称轴的左侧，y随x的增大而__减小__，在对称轴的右侧，y随x的增大而__增大__．当a＜0时，抛物线的开口向__下__，顶点是抛物线的最__高__点，|a|越大，抛物线的开口越__小__；在对称轴的左侧，y随x的增大而__增大__，在对称轴的右侧，y随x的增大而__减小__．

◆活动4　例题与练习

例1　已知函数y＝(m＋2)xm2＋2m－6是关于x的二次函数．

(1)求m的值；

(2)当m为何值时，此函数图象的顶点为最低点？

(3)当m为何值时，此函数图象的顶点为最高点？

解：(1)m＋2≠0，m2＋2m－6＝2，解得m1＝2，m2＝－4，∴m的值为2或－4；

(2)若函数图象有最低点，则抛物线的开口向上，∴m＋2＞0，解得m＞－2，∴m＝2；

(3)若函数图象有最高点，则抛物线的开口向下，∴m＋2＜0，解得m＜－2，∴m＝－4.

例2　二次函数y＝ax2与直线y＝2x－1的图象交于点P(1，m).

(1)求a，m的值；

(2)写出二次函数的解析式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大？

解：(1)将点P(1，m)代入y＝2x－1，得m＝2×1－1＝1，∴点P的坐标为(1，1).将点P(1，1)代入y＝ax2，得1＝a×12，解得a＝1；

(2)二次函数的解析式为y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而增大．

练习

1．教材P32　练习．

2．抛物线y＝3x2的开口向__上__，对称轴是__y轴__，顶点坐标是__(0，0)__；抛物线y＝－x2的开口向__下__，对称轴是__y轴__，顶点坐标是__(0，0)__．

3．抛物线y＝－x2上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，若x1＜x2＜0，则y1__＜__y2.

4．若点(x1，5)和点(x2，5)(x1≠x2)均在抛物线y＝ax2上，则当y＝x1＋x2时，y的值是__0__．

◆活动5　课堂小结

1．如何画出函数y＝ax2的图象？

2．函数y＝ax2具有哪些性质？

1．作业布置

(1)教材P41　习题22.1第3，4题；

(2)对应课时练习．

2．教学反思