初中数学浙教版九年级下册2.1 直线和圆的位置关系练习

这是一份初中数学浙教版九年级下册2.1 直线和圆的位置关系练习，共31页。
第十六讲 直线与圆的位置关系
考点1：直线与圆的位置关系
分析：直线与圆的位置关系是比较圆心到直线的距离和半径的大小.其它的说法是不够准确的.我们要注意！
例题1：下列判断正确的是（ ）
①直线上一点到圆心的距离大于半径，则直线与圆相离；②直线上一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆相切；③直线上一点到圆心的距离小于半径，则直线与圆相交．
A．①②③ B．①② C．②③ D．③
答案：D；
例题2：已知∠AOB=30°，P是OA上的一点，OP=4cm，以r为半径作⊙P，若r=cm，则⊙P与OB的位置关系是　 　，若⊙P与OB相离，则r满足的条件是　　．

解：相离，0＜r＜2．
例题3：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，若以C为圆心，r为半径作圆，那么:
（1）当直线AB与⊙C相切时，求r的取值范围；
（2）当直线AB与⊙C相离时，求r的取值范围；
（3）当直线AB与⊙C相交时，求r的取值范围．
解答：∵∠C=90°，AC=3，AB=5，∴BC=4；过点C作CD⊥AB于点D；
∵S=×AC×BC=×AB×CD，∴CD==；
（1） ∵直线AB与圆C相切，∴r=CD=；
（2） ∵直线AB与圆C相离，∴r＜CD，即r＜；
（3） ∵直线AB与圆C相交，∴r＞CD，即r＞；

考点2：动圆与定线(线段、射线、直线)的位置关系，
分析：通过圆心所在的轨迹对切线作垂直，垂线段等于半径，然后解决问题.
例题1：（2019秋•长兴县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，点D在边BC上，CD＝6，BD＝10．点P是线段AD上一动点，当半径为4的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为　　．

答案为：5或或4．
例题2：射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值　 　（单位：秒）

答案：t=2或3≤t≤7或t=8．
例题3：（2018秋•拱墅区期末）如图，已知四边形ABCD是菱形，BC∥x轴，点B的坐标是（1，），坐标原点O是AB的中点，动圆⊙P的半径是，圆心P（m，0）在x轴上移动，若⊙P在运动过程中只与菱形ABCD的一边相切，则m的取值范围是　　．

答案为﹣5≤m＜﹣3或﹣1＜m≤1或m＝2或m＝﹣6．

例题4：（2018•镇江）如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=6，AD=10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．
（1）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长；
（2）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围　　．

解：（1）如图2所示，连接PF，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC==8，
设AP=x，则DP=10﹣x，PF=x，
∵⊙P与边CD相切于点F，
∴PF⊥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AB⊥AC，
∴AC⊥CD，
∴AC∥PF，
∴△DPF∽△DAC，
∴，
∴，
∴x=，AP=；
（2）＜AP＜或AP=5．



考点3：动线(线段、射线、直线)与圆位置关系
分析：抓住动直线的特点，是否平行直线束，还是过定点旋转的直线束，画出与圆相切的直线，然后过圆心对直线作垂线.注意|k|=tanɑ，ɑ指的是直线与x轴夹的锐角.可能要利用三角函数或相似解决问题.
例题1：如图，直线l与以线段AB为直径的圆相切于点C，AB=6，AC=3，点P是直线l上一个动点．当∠APB的度数最大时，线段BP的长度为（　　）
A．6 B． C．9 D．

解：D．
例题2：如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点F，则CF的长为　4　．

解：4．
例题3：如图，已知直线l：y=﹣x﹣以每秒3个单位的速度向右平移；同时以点M（3，3）为圆心，3个单位长度为半径的⊙M以每秒2个单位长度的速度向右平移，当直线l与⊙M相切时，则它们运动的时间为　 　秒．

答案：2.5或10．
例题4：如图1，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，点P为BC上一点，PA=PB，⊙O是△PAB的外接圆．
（1）求⊙O的直径；
（2）如图2，将△ABC绕点B逆时针旋转至△A′BC′，使边BA′与⊙O相切，BC′交⊙O于点M，求此时的旋转角度及弧AQM的长度．

解：（1）连接OP，OB，OP交AB于H，如图1，
∵AB=AC=4，∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠C=30°，
∵PA=PB，
∴∠PAB=∠ABP=30°，OP⊥AB，
∴∠BOP=2∠PAB=60°，BH=AH=2，
在Rt△PBH中，PH=BH=，BP=2PH=，
∵OB=OP，
∴△OBP为等边三角形，
∴OB=BP=，
∴⊙O的直径为；
（2）连接OB，OM，OA，如图2，
∵边BA′与⊙O相切，
∴OB⊥BA′，
∴∠OBA′=90°，
∵∠OBA=60°，
∴∠ABA′=90°+30°=120°，
∵△ABC绕点B逆时针旋转至△A′BC′，
∴∠CBC′=∠ABA′=120°，即旋转角度为120°，
∵∠OBP=60°，
∴∠OBM=60°，
∴△OBM为等边三角形，
∴∠BOM=60°，
∴∠AOM=360°﹣60°﹣120°=180°，
而OB=，
∴弧AQM的长度==π．

知识点2：切线的性质定理
切线的性质定理：圆的切线垂直于过其切点的半径；经过半径的非圆心一端，并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线.
切线的性质定理的推论：
（1）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.
（2）圆的切线垂直于经过切点的半径.
注意：对于切线的性质定理的掌握可归纳为三条：（1）过圆心；（2）过切点；（3）垂直于切线.事实上只要知道其中两个性质，就可以推出第三个.
考点4：利用垂直
分析：已知切线，那么我们必须要连结圆心和切点，得出两个结论：①长度等于半径，②垂直直线.
例题1：（2020•温州）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（　　）

A．1 B．2 C． D．
答案为：D．

例题2：如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y=﹣x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是　 　．

答案：2．
例题3：（2020•台州）如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E，连接DE．若⊙O与BC相切，∠ADE＝55°，则∠C的度数为　 ．

答案为：55°．
例题4：如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为　　．

答案：3或4．
例题5：如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C，D，与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G．
（1）求证：DF∥AO；（2）若AC=6，AB=10，求CG的长．

解答：（1）证明：连接OD．∵AB与⊙O相切于点D，且OC⊥AC，∴CF为直径，∴∠CDF=90°，
∵AC与⊙O相切于点C，∴AC=AD，．∵OC=OD，∴OA⊥CD，∴∠CDF=∠OEC=90°，∴DF∥AO．
（2）过点作EM⊥OC于M，∵AC=6，AB=10，∴BC==8，∴AD=AC=6，
∴BD=AB﹣AD=4，∵BD2=BF•BC，∴BF=2，∴CF=BC﹣BF=6．OC=CF=3，
∴OA==3，∵OC2=OE•OA，∴OE=，∵EM∥AC，∴===，
∴OM=，EM=，FM=OF+OM=，∴===，∴CG=EM=2．
例题6：（2020•温州一模）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，以AD为直径的⊙O交AB于点E，与BC相切于点C，连结CE．
（1）求证：CD＝CE．
（2）若AE＝3，tan∠D＝，求⊙O的半径．

【解答】解：（1）证明：如图，连结DE，OC交于点F．
∵BC切⊙O于点C，
∴∠OCB＝90°，
∵∠B＝90°，
∴OC∥AB，
∵AD是圆的直径，
∴∠DEA＝∠FEB＝90°，
∴OC⊥DE，
∴＝，
∴CD＝CE；
（2）如图，连结AC，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠CEB＝∠ADC，
∵＝，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴∠ADC＝∠ACB
∴tan∠ACB＝tan∠CEB＝tan∠ADC，
设BE＝3x，则BC＝4x，CE＝5x，
∴＝，
解得：x＝，
∴CD＝，
∴AD＝＝，
∴OA＝．

考点5：切线的判定
分析：判定切线的方法：
（1）直接证明
（2）若切点明确，则“连半径，证垂直”.
常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；
（3）若切点不明确，则“作垂直，证半径”.
常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；
总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直.在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线
方法一：直接证明
例题1：（2018•邵阳）如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连结BC．BC平分∠ABD．
求证：CD为⊙O的切线．

证明：∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC=∠DBC，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OCB=∠DBC，
∴OC∥BD，
∵BD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD为⊙O的切线．
例题2：（2018•扬州一模）如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，且AD=DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连结DE．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若sinC=，AC=6，求⊙O的直径．

（1）证明：∵AB=AC，AD=DC，
∴∠C=∠B，∠1=∠C，
∴∠1=∠B，
又∵∠E=∠B，
∴∠1=∠E，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE=90°，
∴∠E+∠EAD=90°，
∴∠1+∠EAD=90°，即∠EAC=90°，
∴AE⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：过点D作DF⊥AC于点F，如图，
∵DA=DC，
∴CF=AC=3，
在Rt△CDF中，∵sinC==，
设DF=4x，DC=5x，
∴CF==3x，
∴3x=3，解得x=1，
∴DC=5，
∴AD=5，
∵∠ADE=∠DFC=90°，∠E=∠C，
∴△ADE∽△DFC，
∴=，即=，解得AE=，
即⊙O的直径为．

例题3：如图，已知A，B，C，D，E是⊙O上五点，⊙O的直径BE=2，∠BCD=120°，A为的中点，延长BA到点P，使BA=AP，连接PE．
（1）求线段BD的长；
（2）求证：直线PE是⊙O的切线．

【解答】（1）解：连接DE，如图，
∵∠BCD+∠DEB=180°，
∴∠DEB=180°﹣120°=60°，
∵BE为直径，
∴∠BDE=90°，
在Rt△BDE中，DE=BE=×2=，
BD=DE=×=3；
（2）证明：连接EA，如图，
∵BE为直径，
∴∠BAE=90°，
∵A为的中点，
∴∠ABE=45°，
∵BA=AP，
而EA⊥BA，
∴△BEP为等腰直角三角形，
∴∠PEB=90°，
∴PE⊥BE，
∴直线PE是⊙O的切线．

方法二：若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.
例题1：如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求证：PC是⊙O的切线.

证明：连接OC；∵OA²=OD·OP，且OA=OC=R，∴OC²=OD·OP,即，
∵∠COD=∠POC，∴△OCD∽△OPC，∵CD⊥AB，∴∠ODC=90°=∠OCP，即OC⊥PC；
∵OC为半径，∴PC是圆O的切线；
例题2：（2018•嘉兴一模）如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移，若⊙O的半径为1，∠1=60°，下列结论错误的是（　　）
A.MN= B.若MN与⊙O相切，则AM=
C.l1和l2的距离为2 D.若∠MON=90°，则MN与⊙O相切

解：B．

例题3：（2020•湖州模拟）如图，已知在等腰△ABC中，AC＝BC，以AC为直径作⊙O交AB于点D．
（1）若AC＝2，∠A＝30°，求的长．
（2）过点D作DE⊥BC于点E，求证：DE是⊙O的切线．

【解答】（1）解：连接OD，如图所示：
∵∠A＝30°，
∴∠COD＝2∠A＝60°，
∵AC＝2，AC为⊙O的直径，
∴OA＝OC＝1，
∴的长＝＝；
（2）证明：∵OD＝OA，
∴∠A＝∠ODA，
∵AC＝BC，
∴∠B＝∠A，
∴∠B＝∠ODA，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．

例题4：如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.

解答：连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，∵AE为⊙O的直径，∴∠EBA=90°，
∵PA=PD，∴∠PAD=∠2，即∠1+∠CAD=∠2，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠DAC，
∵∠ABD+∠BAD=∠2，∴∠1=∠ABC，∵∠CBE=∠EAC，∠ABC+∠CBE=90°，∴∠CAE+∠1=90°，∴PA与⊙O相切．
例题5：（2018•莱芜）如图，已知A，B是⊙O上两点，△OAB外角的平分线交⊙O于另一点C，CD⊥AB交AB的延长线于D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）E为的中点，F为⊙O上一点，EF交AB于G，若tan∠AFE=，BE=BG，EG=3，求⊙O的半径．

（1）证明：连接OC，如图，
∵BC平分∠OBD，
∴∠OBD=∠CBD，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OCB=∠CBD，
∴OC∥AD，
而CD⊥AB，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接OE交AB于H，如图，
∵E为的中点，
∴OE⊥AB，
∵∠ABE=∠AFE，
∴tan∠ABE=tan∠AFE=，
∴在Rt△BEH中，tan∠HBE==
设EH=3x，BH=4x，
∴BE=5x，
∵BG=BE=5x，
∴GH=x，
在Rt△EHG中，x2+（3x）2=（3）2，解得x=3，
∴EH=9，BH=12，
设⊙O的半径为r，则OH=r﹣9，
在Rt△OHB中，（r﹣9）2+122=r2，解得r=，
即⊙O的半径为．

方法三：若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”(一般用于函数与几何综合题）
例题1：已知：如图，AC，BD与⊙O切于A，B，且AC∥BD，若∠COD=900.求证：CD是⊙O的切线.

证明：延长DO与CA的延长线相交于F，过O作OE⊥CD于E，∵AC，BD是⊙O的切线，∴OA⊥AC，OB⊥BD，∵AD∥BC，∴A，O，B三点共线，∠F=∠BDO，在△BDO与△AFO中，，∴△BDO≌△AFO，∴OD=OF，∵∠COD=90°，∴∠COF=90°，∴CF=CD，∴∠OCA=∠ECO，
∴OE=OA，∴CD是⊙O的切线．

例题2：（2019秋•镇海区期末）如图，O为∠MBN角平分线上一点，⊙O与BN相切于点C，连结CO并延长交BM于点A，过点A作AD⊥BO于点D．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若BC＝6，tan∠ABC＝，求AD的长．

【解答】解：（1）过点O作OE⊥AB于点E，

∵O为∠MBN角平分线上一点，
∴∠ABD＝∠CBD，
又∵BC为⊙O的切线，
∴AC⊥BC，
∵AD⊥BO于点D，
∴∠D＝90°，
∴∠BCO＝∠D＝90°，
在△BOC和△BOE中，
∵，
∴△BOC≌△BOE（AAS），
∴OE＝OC，
∵OE⊥AB，
∴AB是⊙O的切线；

（2）∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠EOA+∠BAC＝90°，
∴∠EOA＝∠ABC，
∵tan∠ABC＝、BC＝6，
∴AC＝BC•tan∠ABC＝8，
则AB＝10，
由（1）知BE＝BC＝6，
∴AE＝4，
∵tan∠EOA＝tan∠ABC＝，
∴，
∴OE＝3，OB＝＝3，
∵∠ABD＝∠OBC，∠D＝∠ACB＝90°，
∴△ABD∽△OBC，
∴，即＝，
∴AD＝2．
考点6：与坐标和网格的结合
分析：坐标内一般辅助线均为对坐标轴作垂线.
例题1：如图，在平面直角坐标系中，⊙M与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙M于P，Q两点，点P在点Q的右边，若P点的坐标为（﹣1，2），则Q点的坐标是（　　）

A．（﹣4，2） B．（﹣4.5，2） C．（﹣5，2） D．（﹣5.5，2 ）
故选：A．


例题2：如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴相切于B，与y轴交于C（0，1），D（0，4）两点，则点A的坐标是 .

答案：（2，）．
例题3：（2019秋•江北区期末）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的格点坐标是（　　）

A．（5，2） B．（2，4） C．（1，4） D．（6，2）
故选：D．
例题4：如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（3，0），将⊙P沿x轴左平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（　　）
A．1 B．3 C．5 D．1 或 5

故选：D．

考点6：切线长定理考察长度相等
分析：切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角.这里有几个结论，一，长度相等，二，角平分线.
例题1：（2019•杭州）如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，则PB＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5

故选：B．
例题2：如图，⊙O与正方形ABCD是两边AB，AD相切，DE与⊙O相切于点E，若正方形ABCD的边长为5，DE=3，则tan∠ODE为（　　）
A． B． C． D．

选：B．
例题3：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E；
（1）求证：BE=CE；
（2）若以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形，⊙O的半径为r，求△ABC的面积；
（3）若EC=4，BD=，求⊙O的半径OC的长．

解答：（1）证明：连接CD，由AC是直径知CD⊥AB；DE，CE都是切线，所以DE=CE，∠EDC=∠ECD；又∠B+∠ECD=90°，∠BDE+∠EDC=90°；所以∠B=∠BDE，所以BE=DE，从而BE=CE；
（2）解：连接OD，当以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形时，DE=EC=OC=OD=r；
从而BE=r，即△ABC是一个等腰直角三角形；AC=AB=2r，S△ABC=2r2；
（3）解：若EC=4，BD=4，则BC=8；在Rt△BDC中，cos∠CBD==；所以∠CBD=30°；
在Rt△ABC中，=tan30°，即AC=BCtan30°=8×=，OC==；
另解：设OC=r，AD=x；由EC=4，BD=4得BC=8，DC=4；则：，解得；即OC=．
例题4：（2020•浙江自主招生）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为　　．

【解答】解：连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF＝BF＝AE＝BG＝2，
∴DE＝3，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN＝DE＝3，MN＝MG，
∴CM＝5﹣2﹣MN＝3﹣MN，
在Rt△DMC中，DM2＝CD2+CM2，
∴（3+NM）2＝（3﹣NM）2+42，
∴NM＝，
∴DM＝3+＝．
故答案为．


考点7：切线长定理考察角度
分析：
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角.这里有几个结论，一，长度相等；二，角平分线.要算角度得利用角平分线的性质，还有垂直.
例题1：如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，OP交⊙O于点C，点D是上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD，CD，若∠APB=80°，则∠ADC的度数是（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°
答案：C；
例题2：如图，∠APB=52°，PA，PB，DE都为⊙O的切线，切点分别为A，B，F，且PA=6．
（1）求△PDE的周长；
（2）求∠DOE的度数．

解答：（1）∵PA，PB，DE都为⊙O的切线，∴DA=DF，EB=EF，PA=PB=6，
∴DE=DA+EB，∴PE+PD+DE=PA+PB=12，即△PDE的周长为12；
（2）连接OF，∵PA，PB，DE分别切⊙O于A，B，F三点，∴OB⊥PB，OA⊥PA，∠BOE=∠FOD=∠BOF，∠FOD=∠AOD=∠AOF，∵∠APB=52°，∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣52°=128°，
∴∠DOE=∠FOE+∠FOD=（∠BOF+∠AOF）=∠BOA=64°．
考点8：弦切角定理
分析：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.如图，∠PAB=∠C.

例题1：（2020春•绍兴月考）如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B，C，若∠ACE＝20°，则∠D的度数是（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
【解答】解：连OC，如图，

∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，
∴∠OBD＝∠OCD＝∠OCE＝90°，
∵∠ACE＝20°，
∴∠OCA＝90°﹣20°＝70°，
∵OC＝OA，
∴∠OAC＝∠OCA＝70°，
∴∠BOC＝2×70°＝140°，
∴∠D＝360°﹣90°﹣90°﹣140°＝40°．
故选：A．
例题2：点P是⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠P=70°，点C是⊙O上的点（不与点A，B重合），则∠ACB等于（　　）
A．70° B．55° C．70°或110° D．55°或125°
答案：D
例题3：如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点C，∠PCB=35°，则∠B等于　 　度．

答案：55°；
例题4：（2018•马边县模拟）已知，如图，半径为1的⊙M经过直角坐标系的原点O，且与x轴、y轴分别交于点A，B，点A的坐标为（，0），⊙M的切线OC与直线AB交于点C．则∠ACO=　 　度．

答案：30．
考点9：切割线定理
分析：我们伟大的相似可以推导出很多定理，现在切割定理也是相似推导出来的.如图：PA²=PB×PC

例题1：如图，A，B，C，D为⊙O上的点，直线BA与DC相交于点P，PA=2，PC=CD=3，则PB=（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
答案：D；
例题2：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，O为AB上一点，以O为圆心，OA为半径作圆O与BC相切于点D，分别交AC，AB于E，F，若CD=2CE=4，则⊙O的直径为（　　）

A．10 B． C．5 D．12
答案：A；
例题3：（2020•浙江自主招生）如图，在▱ABCD中，过A，B，C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB＝4，BE＝5，则DE的长为（　　）

A．3 B．4 C． D．
【解答】解：连接CE；
∵，
∴∠BAE＝∠EBC+∠BEC；
∵∠DCB＝∠DCE+∠BCE，
由弦切角定理知：∠DCE＝∠EBC，
由平行四边形的性质知：∠DCB＝∠BAE，
∴∠BEC＝∠BCE，即BC＝BE＝5，
∴AD＝5；
由切割线定理知：DE＝DC2÷DA＝，
故选：D．

例题4：如图，PA，PB是⊙O的两条切线，PEC是一条割线，D是AB与PC的交点，若PE=2，CD=1，求DE的长．

解答：连接PO交AB于H，由切线长定理可知，OP平分∠APB，而PA=PB，
∴PO⊥AB，设DE=x，则PA2=PE•PC=2（x+3）．
在Rt△APH中，AP2=AH2+PH2，即AH2+PH2=2（x+3）①，
在Rt△PHD中，PH2+DH2=（x+2）2②，
又AD•DB=ED•DC，而AD•DB=（AH﹣DH）（AH+DH）=AH2﹣DH2，
∴AH2﹣DH2=x•1③，由①②③得（x+2）2+x=2（x+3），解得DE=x=．


例题5：已知：AB是⊙O的直径，C是AB上一点，PC⊥AB，交⊙O于F，PDE是割线，交⊙O于D，E．求证：PC2=PD•PE+AC•CB．

证明：延长PC交⊙O于G，由割线定理，得PD•PE=PF•PG．由相交弦定理，得AB•BC=CF•CG．
∵直径AB⊥FG，∴CF=CG，∴AB•BC=CF2，∴PD•PE=PF•PG=（PC﹣CF）（PC+CG）=（PC﹣CF）（PC+DF）=PC2﹣CF2，∴PD•PE+AC•CB=PC2﹣CF2+CF2=PC2，即 PC2=PD•PE+AC•CB．