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浙教版九年级下册第二章 直线与圆的位置关系综合与测试单元测试练习
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这是一份浙教版九年级下册第二章 直线与圆的位置关系综合与测试单元测试练习，共24页。
2021-2022学年浙教新版九年级下册数学《第2章 直线与圆的位置关系》单元测试卷
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
2．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
3．如图，两同心圆间的圆环的面积为16π，过小圆上任意一点P作大圆的弦AB，则PA•PB的值是（ ）
A．16 B．16π C．4 D．4π
4．如图，AB是⊙O的直径，线段BC与⊙O的交点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，连接AD，①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA＝AC；④DE是⊙O的切线，则上述结论中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P的半径为2，点P的坐标为（0，3），若将⊙P沿y轴向下平移，使得⊙P与x轴相切，则⊙P向下平移的距离为（ ）
A．1 B．5 C．3 D．1或5
6．如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接OB、OA，交⊙O于点C，点D为优弧BC上一点，连接DC、DB，若∠A＝20°，则∠D的大小为（ ）
A．20° B．35° C．25° D．15°
7．如图，在正方形ABCD中，点O是△BCD的内心，连接BO并延长交CD于F点，则∠BFC的度数是（ ）
A．45° B．60° C．67.5° D．75°
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，AC＝5cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相切或相交
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，则∠B等于 度．
10．如图，⊙O的半径为，A、B两点在⊙O上，切线AQ和BQ相交于Q，P是AB延长线上任一点，QS⊥OP于S，则OP•OS＝ ．
11．如图所示一张圆形光盘，已知光盘内直径为2cm，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的外直径是 cm，该光盘的面积是 cm2．
12．已知点P是⊙O外一点，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连结OA，OB．若⊙O的半径为3，劣弧AB的长为2π，则∠P的度数为 ．
13．如图，点O是△ABC的内心，M、N是AC上的点，且CM＝CB，AN＝AB，若∠MON＝70°，则∠B＝ °．
14．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，以C为圆心，4.8cm长度为半径画圆，则直线AB与⊙O的位置关系是 ．
15．如图，切线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，切线EF与⊙O相切于点C，且分别交PA、PB于点E、F，若△PEF的周长为6，则线段PA的长为 ．
16．如图所示，直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于M，N两点，⊙O的半径为1，将⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，当移动 s时，直线MN恰好与圆O相切．
三．解答题（共6小题，满分86分）
17．如图，某机械传动装置在静止状态时，连杆PA与点A运动所形成的⊙O交于B点，现测得PB＝8cm，AB＝10cm．⊙O的半径R＝9cm，求此时P点到圆心的距离．
18．已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°．若AC＝12cm，BC＝9cm，求⊙O的半径r；若AC＝b，BC＝a，AB＝c，求⊙O的半径r．
19．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝2CE，求的值．
20．如图，已知点A、B、C在⊙O上，点D在⊙O外，∠BCD＝∠BAC，BE∥CD交⊙O于E点．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，∠BAC＝30°，求线段BE的长．
21．如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，过A作AD⊥CD，D为垂足．
（1）求证：∠DAC＝∠BAC；
（2）若AC＝6，cos∠BAC＝，求⊙O的直径．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
解：连接BC，
∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，
∴BD＝DC，
∵∠ACE＝25°，
∴∠ABC＝25°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠D＝50°．
解法二：连接OC，BC．
∵DB，DC是⊙O的切线，B，C是切点，
∴∠OCE＝∠OBD＝90°，BD＝DC，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，∠OCA+∠ACE＝90°，
∴∠ACE＝∠ABC＝25°，
∴∠BDC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠D＝180°﹣2×65°＝50°，
故选：A．
2．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
解：∵PA、PB为圆的两条相交切线，
∴PA＝PB，
同理可得：CA＝CE，DE＝DB．
∵△PCD的周长＝PC+CE+ED+PD，
∴△PCD的周长＝PC+CA+BD+PD＝PA+PB＝2PA，
∴△PCD的周长＝10，
故选：D．
3．如图，两同心圆间的圆环的面积为16π，过小圆上任意一点P作大圆的弦AB，则PA•PB的值是（ ）
A．16 B．16π C．4 D．4π
解：过P点作大圆的直径CD，如图，设大圆半径为R，小圆半径为r，
∵PA•PB＝PC•PD，
∴PA•PB＝（OC﹣OP）•（OP+OD）
＝（R﹣r）（R+r）
＝R2﹣r2，
∵两同心圆间的圆环（即图中阴影部分）的面积为16π，
∴πR2﹣πr2＝16π，
∴R2﹣r2＝16，
∴PA•PB＝16．
故选：A．
4．如图，AB是⊙O的直径，线段BC与⊙O的交点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，连接AD，①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA＝AC；④DE是⊙O的切线，则上述结论中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，故①正确；
连接DO，
∵点D是BC的中点，
∴CD＝BD，
又∵∠ADC＝∠ADB＝90°，AD＝AD，
∴△ACD≌△ABD（SAS），
∴AC＝AB，∠C＝∠B，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是圆O的切线，故④正确；
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠EDA+∠ADO＝90°，∠BDO+∠ADO＝90°，
∴∠EDA＝∠ODB，
∵∠ODB＝∠B，
∴∠EDA＝∠B，选项②正确；
由D为BC中点，且AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴AC＝AB，又OA＝AB，
∴OA＝AC，选项③正确；
故选：D．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P的半径为2，点P的坐标为（0，3），若将⊙P沿y轴向下平移，使得⊙P与x轴相切，则⊙P向下平移的距离为（ ）
A．1 B．5 C．3 D．1或5
解：当圆P在x轴的上方与x轴相切时，平移的距离为3﹣2＝1，
当圆P在x轴的下方与x轴相切时，平移的距离为3+2＝5，
综上所述，⊙P向下平移的距离为1或5；
故选：D．
6．如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接OB、OA，交⊙O于点C，点D为优弧BC上一点，连接DC、DB，若∠A＝20°，则∠D的大小为（ ）
A．20° B．35° C．25° D．15°
解：∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA＝90°，
∵∠A＝20°，
∴∠AOB＝90°﹣20°＝70°，
∴∠D＝∠AOB＝35°．
故选：B．
7．如图，在正方形ABCD中，点O是△BCD的内心，连接BO并延长交CD于F点，则∠BFC的度数是（ ）
A．45° B．60° C．67.5° D．75°
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠C＝90°，
∴∠CBD＝∠CDB＝（180°﹣∠C）＝（180°﹣90°）＝45°，
∵点O是△BCD的内心，
∴BF是∠DBC的平分线，
∴∠FBC＝∠CBD＝22.5°，
∴∠BFC＝90°﹣22.5°＝67.5°．
故选：C．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，AC＝5cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相切或相交
解：过点C作CD⊥AB于点D，
∴∠B+∠DCB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵sinB＝sin∠ACD＝＝＝，
∴AD＝4cm，
∴CD＝cm，
∵r＝2cm，
∴CD＞r，
故以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是相离．
故选：A．
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，则∠B等于 55 度．
解：∵PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，
∴∠A＝∠PCB＝35°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴35°+∠B＝90°，
解得∠B＝55°．
故答案为：55．
10．如图，⊙O的半径为，A、B两点在⊙O上，切线AQ和BQ相交于Q，P是AB延长线上任一点，QS⊥OP于S，则OP•OS＝ 2 ．
解：连接OQ交AB于M，则OQ⊥AB，连接OA，则OA⊥AQ．
∵∠QMP＝∠QSP＝90°，
∴S，P，Q，M四点共圆，故OS•OP＝OM•OQ．
又∵OM•OQ＝OA2＝2，
∴OS•OP＝2．
故答案为：2．
11．如图所示一张圆形光盘，已知光盘内直径为2cm，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的外直径是 5 cm，该光盘的面积是 64π cm2．
解：设圆心为O，弦为AB，切点为C．如图所示：
则AB＝8cm，CD＝2cm．
连接OC，交AB于D点．连接OA．
∵尺的对边平行，光盘与外边缘相切，AB＝10﹣2＝8（cm），
∴OC⊥AB，
∴AD＝AB＝4（cm），
设半径为Rcm，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：R2＝42+（R﹣2）2，
解得：R＝5，
即该光盘的外直径是10cm，
该光盘的面积是（10﹣2）2•π＝64π（cm2）．
故答案为：10，64π．
12．已知点P是⊙O外一点，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连结OA，OB．若⊙O的半径为3，劣弧AB的长为2π，则∠P的度数为 60° ．
解：设劣弧AB所对的圆心角度数为n，
根据题意可得：，
n＝120°，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°．
故答案为60°．
13．如图，点O是△ABC的内心，M、N是AC上的点，且CM＝CB，AN＝AB，若∠MON＝70°，则∠B＝ 110 °．
解：如图，连接OA、OB、OC，
∵点O为△ABC内心，
∴∠BCO＝∠MCO，
在△BCO和△MCO中，
，
∴△BCO≌△MCO（SAS），
∴∠CBO＝∠CMO，
同理可得：△BAO≌△NAO（SAS），
∴∠ABO＝∠ANO，
∴∠CBA＝∠CBO+∠ABO＝CMO+∠ANO，
∵∠MON＝70°，
∴CMO+∠ANO＝180°﹣∠MON＝180°﹣70°＝110°，
∴∠CBA＝110°，
故答案为：110．
14．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，以C为圆心，4.8cm长度为半径画圆，则直线AB与⊙O的位置关系是 相切 ．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB＝＝＝10（cm），
设三角形AB边上的高为h，
则S△ABC＝h•AB＝AC•BC，
∴h＝＝＝4.8（cm），
∵r＝4.8cm，
∴d＝r，
∴AB与⊙C相切，
故答案为：相切．
15．如图，切线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，切线EF与⊙O相切于点C，且分别交PA、PB于点E、F，若△PEF的周长为6，则线段PA的长为 3 ．
解：∵EA，EC都是圆O的切线，
∴EC＝EA，
同理FC＝FB，PA＝PB，
∴△PEF的周长＝PF+PE+EF＝PF+PE+EA+FB＝PA+PB＝2PA＝6，
∴PA＝3；
故答案为：3．
16．如图所示，直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于M，N两点，⊙O的半径为1，将⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，当移动 2﹣或2+ s时，直线MN恰好与圆O相切．
解：作EF平行于MN，且与⊙O切，交x轴于点E，交y轴于点F，如图所示．
设直线EF的解析式为y＝x+b，即x﹣y+b＝0，
∵EF与⊙O相切，且⊙O的半径为1，
∴b2＝×1×|b|，
解得：b＝或b＝﹣，
∴直线EF的解析式为y＝x+或y＝x﹣，
∴点E的坐标为（，0）或（﹣，0）．
令y＝x﹣2中y＝0，则x＝2，
∴点M（2，0）．
∵根据运动的相对性，且⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，
∴移动的时间为2﹣秒或2+秒．
故答案为：2﹣或2+．
三．解答题（共6小题，满分86分）
17．如图，某机械传动装置在静止状态时，连杆PA与点A运动所形成的⊙O交于B点，现测得PB＝8cm，AB＝10cm．⊙O的半径R＝9cm，求此时P点到圆心的距离．
解：连接PO交圆于C，并延长PO交圆于D；
∵PB＝8cm，AB＝10cm，
∴PA＝18cm；
由割线定理，得：PB•PA＝PC•PD；
设点P到圆心的距离是xcm，则有：
（x﹣9）（x+9）＝144，
解得x＝15cm．
故P点到圆心的距离为15cm．
18．已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°．若AC＝12cm，BC＝9cm，求⊙O的半径r；若AC＝b，BC＝a，AB＝c，求⊙O的半径r．
解：如图；
在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝9cm；
根据勾股定理AB＝＝15cm；
四边形OFCD中，OD＝OF，∠ODC＝∠OFC＝∠C＝90°；
则四边形OFCD是正方形；
由切线长定理，得：AD＝AE，CD＝CF，BE＝BF；
则CD＝CF＝（AC+BC﹣AB）；
即：r＝（12+9﹣15）＝3．
当AC＝b，BC＝a，AB＝c，
由以上可得：
CD＝CF＝（AC+BC﹣AB）；
即：r＝（a+b﹣c）．
则⊙O的半径r为：（a+b﹣c）．
19．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝2CE，求的值．
（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AE，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是的⊙O的切线；
（2）解：连接CD，BD，
∵DE⊥AE，DE＝2CE，
∴∠E＝90°，
∴CD＝＝＝CE，
∴＝＝，
∵四边形ABDC内接于⊙O，
∴∠ECD＝∠B，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°＝∠E，
∴△ABD∽△DCE，
∴＝＝．
20．如图，已知点A、B、C在⊙O上，点D在⊙O外，∠BCD＝∠BAC，BE∥CD交⊙O于E点．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，∠BAC＝30°，求线段BE的长．
（1）证明：连接CO并延长交⊙O于F点，连接BF，
∴∠A＝∠F，
∵∠BCD＝∠BAC，
∴∠BCD＝∠F，
∵CF为⊙O直径，
∴∠CBF＝90°，
∴∠F+∠BCO＝90°，
∴∠BCD+∠BCO＝90°，
即∠DCO＝90°，
∵CF是⊙O的直径，
∴CD是EO的切线；
（2）解：连接BO，OC交BE于点G，
∵BE∥CD，
∴∠OGB＝∠OCD＝90°，
∵OB＝OE，
∴BE＝2BG，
∵同对，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，
在Rt△BOG中，BO＝5，
∴，
∴．
21．如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，过A作AD⊥CD，D为垂足．
（1）求证：∠DAC＝∠BAC；
（2）若AC＝6，cos∠BAC＝，求⊙O的直径．
证明：（1）连接BC，OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴∠ACD＝∠B，∠OCD＝90°，
∵AD⊥CD，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BAC；
（2）∵cos∠BAC＝，
∴＝，
∵AC＝6，
∴AB＝10，
故⊙O的直径为10．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．
解：（1）直线DE与⊙O的位置关系是相切，
理由是：连接AD，OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵AO＝BO，
∴DO∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线DE与⊙O的位置关系是相切；
（2）∵⊙O的半径为5，
∴AC＝AB＝10，
∵BC＝16，BD＝CD，
∴CD＝8，
在Rt△ACD中，
AD＝＝＝6，
∵S△ADC＝AC•DE＝AD•CD，
∴DE＝＝＝．
2021-2022学年浙教新版九年级下册数学《第2章 直线与圆的位置关系》单元测试卷
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
2．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
3．如图，两同心圆间的圆环的面积为16π，过小圆上任意一点P作大圆的弦AB，则PA•PB的值是（ ）
A．16 B．16π C．4 D．4π
4．如图，AB是⊙O的直径，线段BC与⊙O的交点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，连接AD，①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA＝AC；④DE是⊙O的切线，则上述结论中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P的半径为2，点P的坐标为（0，3），若将⊙P沿y轴向下平移，使得⊙P与x轴相切，则⊙P向下平移的距离为（ ）
A．1 B．5 C．3 D．1或5
6．如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接OB、OA，交⊙O于点C，点D为优弧BC上一点，连接DC、DB，若∠A＝20°，则∠D的大小为（ ）
A．20° B．35° C．25° D．15°
7．如图，在正方形ABCD中，点O是△BCD的内心，连接BO并延长交CD于F点，则∠BFC的度数是（ ）
A．45° B．60° C．67.5° D．75°
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，AC＝5cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相切或相交
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，则∠B等于 度．
10．如图，⊙O的半径为，A、B两点在⊙O上，切线AQ和BQ相交于Q，P是AB延长线上任一点，QS⊥OP于S，则OP•OS＝ ．
11．如图所示一张圆形光盘，已知光盘内直径为2cm，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的外直径是 cm，该光盘的面积是 cm2．
12．已知点P是⊙O外一点，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连结OA，OB．若⊙O的半径为3，劣弧AB的长为2π，则∠P的度数为 ．
13．如图，点O是△ABC的内心，M、N是AC上的点，且CM＝CB，AN＝AB，若∠MON＝70°，则∠B＝ °．
14．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，以C为圆心，4.8cm长度为半径画圆，则直线AB与⊙O的位置关系是 ．
15．如图，切线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，切线EF与⊙O相切于点C，且分别交PA、PB于点E、F，若△PEF的周长为6，则线段PA的长为 ．
16．如图所示，直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于M，N两点，⊙O的半径为1，将⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，当移动 s时，直线MN恰好与圆O相切．
三．解答题（共6小题，满分86分）
17．如图，某机械传动装置在静止状态时，连杆PA与点A运动所形成的⊙O交于B点，现测得PB＝8cm，AB＝10cm．⊙O的半径R＝9cm，求此时P点到圆心的距离．
18．已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°．若AC＝12cm，BC＝9cm，求⊙O的半径r；若AC＝b，BC＝a，AB＝c，求⊙O的半径r．
19．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝2CE，求的值．
20．如图，已知点A、B、C在⊙O上，点D在⊙O外，∠BCD＝∠BAC，BE∥CD交⊙O于E点．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，∠BAC＝30°，求线段BE的长．
21．如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，过A作AD⊥CD，D为垂足．
（1）求证：∠DAC＝∠BAC；
（2）若AC＝6，cos∠BAC＝，求⊙O的直径．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
解：连接BC，
∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，
∴BD＝DC，
∵∠ACE＝25°，
∴∠ABC＝25°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠D＝50°．
解法二：连接OC，BC．
∵DB，DC是⊙O的切线，B，C是切点，
∴∠OCE＝∠OBD＝90°，BD＝DC，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，∠OCA+∠ACE＝90°，
∴∠ACE＝∠ABC＝25°，
∴∠BDC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠D＝180°﹣2×65°＝50°，
故选：A．
2．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
解：∵PA、PB为圆的两条相交切线，
∴PA＝PB，
同理可得：CA＝CE，DE＝DB．
∵△PCD的周长＝PC+CE+ED+PD，
∴△PCD的周长＝PC+CA+BD+PD＝PA+PB＝2PA，
∴△PCD的周长＝10，
故选：D．
3．如图，两同心圆间的圆环的面积为16π，过小圆上任意一点P作大圆的弦AB，则PA•PB的值是（ ）
A．16 B．16π C．4 D．4π
解：过P点作大圆的直径CD，如图，设大圆半径为R，小圆半径为r，
∵PA•PB＝PC•PD，
∴PA•PB＝（OC﹣OP）•（OP+OD）
＝（R﹣r）（R+r）
＝R2﹣r2，
∵两同心圆间的圆环（即图中阴影部分）的面积为16π，
∴πR2﹣πr2＝16π，
∴R2﹣r2＝16，
∴PA•PB＝16．
故选：A．
4．如图，AB是⊙O的直径，线段BC与⊙O的交点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，连接AD，①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA＝AC；④DE是⊙O的切线，则上述结论中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，故①正确；
连接DO，
∵点D是BC的中点，
∴CD＝BD，
又∵∠ADC＝∠ADB＝90°，AD＝AD，
∴△ACD≌△ABD（SAS），
∴AC＝AB，∠C＝∠B，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是圆O的切线，故④正确；
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠EDA+∠ADO＝90°，∠BDO+∠ADO＝90°，
∴∠EDA＝∠ODB，
∵∠ODB＝∠B，
∴∠EDA＝∠B，选项②正确；
由D为BC中点，且AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴AC＝AB，又OA＝AB，
∴OA＝AC，选项③正确；
故选：D．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P的半径为2，点P的坐标为（0，3），若将⊙P沿y轴向下平移，使得⊙P与x轴相切，则⊙P向下平移的距离为（ ）
A．1 B．5 C．3 D．1或5
解：当圆P在x轴的上方与x轴相切时，平移的距离为3﹣2＝1，
当圆P在x轴的下方与x轴相切时，平移的距离为3+2＝5，
综上所述，⊙P向下平移的距离为1或5；
故选：D．
6．如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接OB、OA，交⊙O于点C，点D为优弧BC上一点，连接DC、DB，若∠A＝20°，则∠D的大小为（ ）
A．20° B．35° C．25° D．15°
解：∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA＝90°，
∵∠A＝20°，
∴∠AOB＝90°﹣20°＝70°，
∴∠D＝∠AOB＝35°．
故选：B．
7．如图，在正方形ABCD中，点O是△BCD的内心，连接BO并延长交CD于F点，则∠BFC的度数是（ ）
A．45° B．60° C．67.5° D．75°
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠C＝90°，
∴∠CBD＝∠CDB＝（180°﹣∠C）＝（180°﹣90°）＝45°，
∵点O是△BCD的内心，
∴BF是∠DBC的平分线，
∴∠FBC＝∠CBD＝22.5°，
∴∠BFC＝90°﹣22.5°＝67.5°．
故选：C．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，AC＝5cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相切或相交
解：过点C作CD⊥AB于点D，
∴∠B+∠DCB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵sinB＝sin∠ACD＝＝＝，
∴AD＝4cm，
∴CD＝cm，
∵r＝2cm，
∴CD＞r，
故以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是相离．
故选：A．
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，则∠B等于 55 度．
解：∵PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，
∴∠A＝∠PCB＝35°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴35°+∠B＝90°，
解得∠B＝55°．
故答案为：55．
10．如图，⊙O的半径为，A、B两点在⊙O上，切线AQ和BQ相交于Q，P是AB延长线上任一点，QS⊥OP于S，则OP•OS＝ 2 ．
解：连接OQ交AB于M，则OQ⊥AB，连接OA，则OA⊥AQ．
∵∠QMP＝∠QSP＝90°，
∴S，P，Q，M四点共圆，故OS•OP＝OM•OQ．
又∵OM•OQ＝OA2＝2，
∴OS•OP＝2．
故答案为：2．
11．如图所示一张圆形光盘，已知光盘内直径为2cm，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的外直径是 5 cm，该光盘的面积是 64π cm2．
解：设圆心为O，弦为AB，切点为C．如图所示：
则AB＝8cm，CD＝2cm．
连接OC，交AB于D点．连接OA．
∵尺的对边平行，光盘与外边缘相切，AB＝10﹣2＝8（cm），
∴OC⊥AB，
∴AD＝AB＝4（cm），
设半径为Rcm，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：R2＝42+（R﹣2）2，
解得：R＝5，
即该光盘的外直径是10cm，
该光盘的面积是（10﹣2）2•π＝64π（cm2）．
故答案为：10，64π．
12．已知点P是⊙O外一点，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连结OA，OB．若⊙O的半径为3，劣弧AB的长为2π，则∠P的度数为 60° ．
解：设劣弧AB所对的圆心角度数为n，
根据题意可得：，
n＝120°，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°．
故答案为60°．
13．如图，点O是△ABC的内心，M、N是AC上的点，且CM＝CB，AN＝AB，若∠MON＝70°，则∠B＝ 110 °．
解：如图，连接OA、OB、OC，
∵点O为△ABC内心，
∴∠BCO＝∠MCO，
在△BCO和△MCO中，
，
∴△BCO≌△MCO（SAS），
∴∠CBO＝∠CMO，
同理可得：△BAO≌△NAO（SAS），
∴∠ABO＝∠ANO，
∴∠CBA＝∠CBO+∠ABO＝CMO+∠ANO，
∵∠MON＝70°，
∴CMO+∠ANO＝180°﹣∠MON＝180°﹣70°＝110°，
∴∠CBA＝110°，
故答案为：110．
14．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，以C为圆心，4.8cm长度为半径画圆，则直线AB与⊙O的位置关系是 相切 ．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB＝＝＝10（cm），
设三角形AB边上的高为h，
则S△ABC＝h•AB＝AC•BC，
∴h＝＝＝4.8（cm），
∵r＝4.8cm，
∴d＝r，
∴AB与⊙C相切，
故答案为：相切．
15．如图，切线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，切线EF与⊙O相切于点C，且分别交PA、PB于点E、F，若△PEF的周长为6，则线段PA的长为 3 ．
解：∵EA，EC都是圆O的切线，
∴EC＝EA，
同理FC＝FB，PA＝PB，
∴△PEF的周长＝PF+PE+EF＝PF+PE+EA+FB＝PA+PB＝2PA＝6，
∴PA＝3；
故答案为：3．
16．如图所示，直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于M，N两点，⊙O的半径为1，将⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，当移动 2﹣或2+ s时，直线MN恰好与圆O相切．
解：作EF平行于MN，且与⊙O切，交x轴于点E，交y轴于点F，如图所示．
设直线EF的解析式为y＝x+b，即x﹣y+b＝0，
∵EF与⊙O相切，且⊙O的半径为1，
∴b2＝×1×|b|，
解得：b＝或b＝﹣，
∴直线EF的解析式为y＝x+或y＝x﹣，
∴点E的坐标为（，0）或（﹣，0）．
令y＝x﹣2中y＝0，则x＝2，
∴点M（2，0）．
∵根据运动的相对性，且⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，
∴移动的时间为2﹣秒或2+秒．
故答案为：2﹣或2+．
三．解答题（共6小题，满分86分）
17．如图，某机械传动装置在静止状态时，连杆PA与点A运动所形成的⊙O交于B点，现测得PB＝8cm，AB＝10cm．⊙O的半径R＝9cm，求此时P点到圆心的距离．
解：连接PO交圆于C，并延长PO交圆于D；
∵PB＝8cm，AB＝10cm，
∴PA＝18cm；
由割线定理，得：PB•PA＝PC•PD；
设点P到圆心的距离是xcm，则有：
（x﹣9）（x+9）＝144，
解得x＝15cm．
故P点到圆心的距离为15cm．
18．已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°．若AC＝12cm，BC＝9cm，求⊙O的半径r；若AC＝b，BC＝a，AB＝c，求⊙O的半径r．
解：如图；
在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝9cm；
根据勾股定理AB＝＝15cm；
四边形OFCD中，OD＝OF，∠ODC＝∠OFC＝∠C＝90°；
则四边形OFCD是正方形；
由切线长定理，得：AD＝AE，CD＝CF，BE＝BF；
则CD＝CF＝（AC+BC﹣AB）；
即：r＝（12+9﹣15）＝3．
当AC＝b，BC＝a，AB＝c，
由以上可得：
CD＝CF＝（AC+BC﹣AB）；
即：r＝（a+b﹣c）．
则⊙O的半径r为：（a+b﹣c）．
19．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝2CE，求的值．
（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AE，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是的⊙O的切线；
（2）解：连接CD，BD，
∵DE⊥AE，DE＝2CE，
∴∠E＝90°，
∴CD＝＝＝CE，
∴＝＝，
∵四边形ABDC内接于⊙O，
∴∠ECD＝∠B，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°＝∠E，
∴△ABD∽△DCE，
∴＝＝．
20．如图，已知点A、B、C在⊙O上，点D在⊙O外，∠BCD＝∠BAC，BE∥CD交⊙O于E点．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，∠BAC＝30°，求线段BE的长．
（1）证明：连接CO并延长交⊙O于F点，连接BF，
∴∠A＝∠F，
∵∠BCD＝∠BAC，
∴∠BCD＝∠F，
∵CF为⊙O直径，
∴∠CBF＝90°，
∴∠F+∠BCO＝90°，
∴∠BCD+∠BCO＝90°，
即∠DCO＝90°，
∵CF是⊙O的直径，
∴CD是EO的切线；
（2）解：连接BO，OC交BE于点G，
∵BE∥CD，
∴∠OGB＝∠OCD＝90°，
∵OB＝OE，
∴BE＝2BG，
∵同对，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，
在Rt△BOG中，BO＝5，
∴，
∴．
21．如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，过A作AD⊥CD，D为垂足．
（1）求证：∠DAC＝∠BAC；
（2）若AC＝6，cos∠BAC＝，求⊙O的直径．
证明：（1）连接BC，OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴∠ACD＝∠B，∠OCD＝90°，
∵AD⊥CD，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BAC；
（2）∵cos∠BAC＝，
∴＝，
∵AC＝6，
∴AB＝10，
故⊙O的直径为10．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．
解：（1）直线DE与⊙O的位置关系是相切，
理由是：连接AD，OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵AO＝BO，
∴DO∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线DE与⊙O的位置关系是相切；
（2）∵⊙O的半径为5，
∴AC＝AB＝10，
∵BC＝16，BD＝CD，
∴CD＝8，
在Rt△ACD中，
AD＝＝＝6，
∵S△ADC＝AC•DE＝AD•CD，
∴DE＝＝＝．
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