数学九年级下册2.3 三角形的内切圆课后练习题

这是一份数学九年级下册2.3 三角形的内切圆课后练习题，共6页。
1．Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，内切圆半径为1，则三角形的周长为（ ）
A．15B．12C．13D．14
答案：选B
2．在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=50°，如图所示，I是△ABC的内心，延长AI交△ABC的外接圆D，则∠ICD的度数是（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
答案：选C
3．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠BOC=（ ）
A．100°B．75°C．115°D．105°
答案：选C
4．如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°，BO的延长线交AC于点D，若BC=4，CD=2，则⊙O的半径的值是 ．
答案：．
5．如图，已知正△ABC的边长为9，⊙O是它的内切圆，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
答案：．
中档题
6．若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）
A．B． C．D．
选B．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点D，E，F，
（1）求证：四边形OECF是正方形；（2）若AF=10，BE=3，求⊙O的面积．
解：（1）∵点E，F是圆的切点，∴OE⊥BC，OF⊥AC．∴∠OFC=∠OEC=∠C=90°．
∴四边形OECF是矩形．∵OE=OF，∴四边形OECF是正方形．
（2）∵⊙O是△ABC的内切圆，∴AF=AD，BE=DB．∴AB=AD+BD=10+3=13．
设圆O的半径为r，则AC=10+r，BC=3+r．
在Rt△ABC中，由勾股定理得；AC2+BC2=AB2，即（10+r）2+（r+3）2=132．
解得：r=2或r=﹣15（舍去）．∴⊙O的面积=4π．
8．如图△ABC内接于圆O，I是△ABC的内心，AI的延长线交圆O于点D．
（1）求证：BD=DI；（2）若OI⊥AD，求的值．
（1）证明：∵点I是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI
∵∠CBD=∠CAD，∴∠BAD=∠CBD，∴∠BID=∠ABI+∠BAD，∠BAD=∠CAD=∠CBD，
∵∠IBD=∠CBI+∠CBD，∴∠BID=∠IBD，∴ID=BD；
（2）解：连接OA，OD，BD和BI，∵OA=OD，OI⊥AD，∴AI=ID，∵I为△ABC内心，∴∠BAD=∠BCD，∴弧BD=弧CD，∵弧CD=弧CD，∴∠BCD=∠BAD，
∴∠DBI=∠BCD+∠CBI=∠CAD+∠CBI=（∠BAC+∠ACB），
∵∠DIB=∠DAB+∠ABI=（∠BAC+∠ABC），∴∠DIB=∠DBI，∴BD=ID=AI，=，
故OD⊥BC，记垂足为E，则有BE=BC，
作IG⊥AB于G，又∠DBE=∠IAG，而BD=AI，∴Rt△BDE≌Rt△AIG，
于是，AG=BE=BC，但AG=（AB+AC﹣BC），故AB+AC=2BC，∴=2．
9．如图，△ABC中，内切圆I与AB，BC，CA分别切于F，D，E，连接BI，CI，再连接FD，ED，
（1）若∠A=40°，求∠BIC与∠FDE的度数．
（2）若∠BIC=α；∠FDE=β，试猜想α，β的关系，并证明你的论．
解：（1）∵圆I是△ABC的内切圆，∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB），∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=140°，
∴∠IBC+∠ICB=70°，∴∠BIC=180°﹣（∠IBC+∠ICB）=110°，
连接IF，IE，
∵圆I是△ABC的内切圆，∴∠IFA=∠IEA=90°，∵∠A=40°，
∴∠FIE=360°﹣∠IFA﹣∠IEA﹣∠A=140°，∴∠EDF=∠EIF=70°，
答：∠BIC=110°，∠FDE=70°．
（2）解：α=180°﹣β．理由如下：由圆周角定理得：∠FIE=2∠FDE，
由（1）知：2∠FDE=180°﹣∠A，即∠A=180°﹣2∠FDE，∴∠A=180°﹣∠EIF，
由（1）知：2∠FDE=180°﹣∠A，∴∠A=180°﹣2∠FDE=180°﹣2β，
∠BIC=180°﹣（∠IBC+∠ICB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB），
=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A，
∴∠BIC=α=90°+（180°﹣2β），即α=180°﹣β．
10．如图，在△ABC中，O是内心，点E，F都在大边BC上，已知BF=BA，CE=CA．
（1）求证：O是△AEF的外心；（2）若∠B=40°，∠C=30°，求∠EOF的大小．
解：（1）证明：连接OA，OB，OC，OE，OF，∵O是△ABC的内心，
∴∠OBA=∠FBO，在△ABO和△FBO中，∴△ABO≌△FBO（SAS），
∴OA=OF，同理OA=OE，∴OA=OE=OF，∴O是△ABC的外心．
（2）∵O是△AEF的外心，∴∠EOF=2∠EAF，在等腰三角形BO⊥AF，
∴∠AFE=90°﹣∠B，同理∠AEF=90°﹣∠C，
∴∠EOF=2∠EAF=2（180°﹣∠AEF﹣∠AFE）
=[180°﹣（90°﹣∠C）﹣（90°﹣∠B）=2（∠B+∠C）=70°，
答：∠EOF的度数是70°．
提高题
11．已知在△ABC中，CA=CB，点O在高CH上，OD⊥AC于D，以O为圆心，OD为半径作⊙O．
（1）如图①，求证：CB是⊙O的切线；
（2）如图②，若⊙O是△ABC的内切圆，AC=5，AB=6，求⊙O的面积．
（1）证明：作OE⊥BC于E，如图1所示：∵CA=CB，点O在高CH上，
∴∠ACH=∠BCH，∵OD⊥CA，OE⊥CB，∴OE=OD，∴CB是⊙O的切线；
（2）解：如图2所示：∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OH=OD，∵CA=CB，CH是高，∴AH=BH=AB=3，∴CH==4，∵∠OCD=∠ACH，∠CDO=∠CHA=90°，
∴△COD∽△CAH，∴，即，解得OD=，
∴⊙O的面积=π×（）2=．