2022-2023学年山西省太原市杏花岭区八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山西省太原市杏花岭区八年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列四个实数中，最大的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 在，，，中最简二次根式的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3. 下列二次根式中，不能与合并的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，已知正方形的边长为单位长度，以表示数的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是(    )

A.  B.  C.  D.

5. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，小正方形的面积为，则大正方形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 下面哪个点不在函数的图象上(    )

A.  B.  C.  D.

7. 对于一次函数的描述不正确的是(    )

A. 随的增大而增大 B. 图象与轴的交点是
C. 图象经过点 D. 图象不经过第二象限

8. 在同一坐标系中，函数与的图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

9. 如图，动点从矩形的顶点出发，在边，上沿的方向，以的速度匀速运动到点，的面积随运动时间变化的函数图象如图所示，则的长是(    )
    

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在平面直角坐标系中，已知，在轴上有一动点，当的周长最小时，点的坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
12. 的倒数是______．
13. 若线段轴且，点的坐标为，则点的坐标为______．
14. 如图，是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片尖端，两点的坐标分别为，则叶柄底部点的坐标为______．

15. 甲、乙两车从地出发，匀速驶向地．甲车以的速度行驶后，乙车才沿相同路线行驶，乙车先到达地并停留后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离与乙车行驶时间之间的函数关系如图所示．下列说法：乙车的速度是；；点的坐标是；，其中正确的有______填序号．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    计算题：
    ；
    ．
     
17. 本小题分
    如图，在边长为的小正方形所组成的网格上，每个小正方形的顶点都称为“格点”，的顶点都在格点上，用直尺完成下列作图：
    作出关于直线的对称图形；
    求的面积；
    在直线上取一点，使得最小保留作图痕迹．

18. 本小题分
    作出函数的图象，并结合图象回答问题：
    当时，______；
    图象与坐标轴的两个交点的坐标分别是：______；
    图象与坐标轴围成的三角形的面积是：______；
    当时，的取值范围是：______；
    当时，的值是：______；
    当时，的取值范围是：______；
    若时，则的取值范围是：______；
    若时，则的取值范围是：______．

19. 本小题分
    某道路安装的护栏平面示意图如图所示，每根立柱宽为米，立柱间距为米．
    
    设有根立柱，护栏总长度为米，请写出与之间的关系式．
    当护栏的总长度为米时，求出立柱的根数．
20. 本小题分
    如图，米长的一根木棒靠在墙上点处，落地点为，已知米．现从点处拉出一根铁丝点在线段上来加固该木棒．
    在图中画出铁丝最短时的情形，并求出此时铁丝的长度；
    如果落地点向墙角处移动米，则木棒上端上移是少于米，还是多于米？并说明理由．

21. 本小题分
    如图，已知直线与轴交于点，直线与轴交于点，且这两条直线交于点．
    点的坐标为______，点的坐标为______．
    这两条直线交点的坐标为______．
    求出的面积．

22. 本小题分
    如图，直线与轴、轴分别交于点和点．
    求，两点的坐标；
    过点作直线与轴交于点，若的面积为，试求点的坐标．
    点是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，求出点的坐标．
    点在轴上，连接，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标．

23. 本小题分
    倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出型和型两款垃圾分拣机器人，每台型、型机器人每小时分栋垃圾分别为吨和吨．
    某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批型和型垃圾分栋机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾吨．设购买型机器人台，型机器人台，请求出关于的函数解析式；
    机器人公司的报价如下表：

在的条件下，设购买走费用为万元，问如何购买型和型机器人，使得购买总费用最少？请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
最大的数是，
故选：．
先根据实数的大小比较法则比较大小，再得出选项即可．
本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键，注意：正数都大于，负数都小于，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，
是最简二次根式，
的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，
的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，
即最简二次根式的个数是个，
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，不符合题意；
B、，符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意．
故选：．
各式化简为最简二次根式后，利用同类二次根式定义判断即可．
此题考查了同类二次根式，以及最简二次根式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据勾股定理得：
正方形的对角线，
点表示的数为，
故选：．
根据勾股定理求出正方形的对角线是，将向左移动个单位即为所求．
本题考查了实数与数轴，求出正方形的对角线的长是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：，
，
，
大正方形的面积，
故选：．
由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的边长．
本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
 

6.【答案】 

【解析】解：、将代入得：
，
所以该点不在函数图像上，该选项符合题意；
B、将代入得：
，
所以该点在函数图像上，该选项不符合题意；
C、将代入得：
，
所以该点在函数图像上，该选项不符合题意；
C、将代入得：；
，
所以该点在函数图像上，该选项不符合题意．
故选：．
将选项中的点代入函数解析式中验证即可．
本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，解决本题的关键是将各个选项代入验证．
 

7.【答案】 

【解析】解：、由于一次函数中的，所以随的增大而增大，故A正确，不符合题意；
B、一次函数，令可得，函数图象与轴的交点坐标为，故B正确，不符合题意；
C、由于一次函数，令可得，函数图象与轴的交点坐标为，故C不正确，符合题意；
D、一次函数，，，所以函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故D正确，不符合题意．
故选：．
根据一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与直线的交点进行分析判断即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，掌握一次函数的增减性、与坐标轴的交点坐标是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：当时，正比例函数的图象经过第一、三象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限；
当时，正比例函数的图象经过第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、三象限．
故选：．
分及两种情况考虑，当时，利用正比例函数的性质及一次函数图象与系数的关系，可找出函数与的图象经过的象限；当时，利用正比例函数的性质及一次函数图象与系数的关系，可找出函数与的图象经过的象限．
本题考查了正比例函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，分及两种情况，找出两函数图象经过的象限是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由图可知，，，当点到达点时，的面积为，
，即，
解得：．
即的长为．
四边形是矩形，
，
在中，，
故选：．
由图可知，，，当点到达点时，的面积为，可得出等式，求出的值，即线段的长，再运用勾股定理即可求得答案．
本题主要考查动点问题中三角形的面积，勾股定理，函数图象与点的运动相结合，注意转折点，即表示面积发生改变的点的含义是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：先作出关于轴的对称点，连接交轴于点，则点坐标为，
由两点之间线段最短可知，的长即为的长，
因为是定值，
所以此时的周长最小，
设过两点的一次函数解析式为，则

解得，，
故此一次函数的解析式为，
当时，．
故C时，的周长最短．
故选：．
先作出点关于轴的对称点，连接交轴于点，再用待定系数法求出过两点的一次函数解析式，求出此函数与轴的交点坐标即可．
本题考查的是最短线路问题及用待定系数法求一次函数的解析式，能熟练运用一次函数的知识求出过的函数解析式是解答此类问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：的倒数是．
故答案为：．
由倒数的定义可得的倒数是，再应用分母有理化的方法进行计算即可得出答案．
本题主要考查了分母有理化及倒数，熟练掌握分母有理化及倒数的计算方法进行求解是解决本题的关键．
 

13.【答案】或 

【解析】解：轴，点的坐标为，
、两点纵坐标都是，
又，
当点在点左边时，的坐标为，
当点在点右边时，的坐标为．
故答案为或．
由于轴，可得、两点纵坐标相等，由的长为，分点在点左边和右边，分别求点坐标即可．
此题考查平面直角坐标系中平行特点和平移时坐标变化规律，还渗透了分类讨论思想．
 

14.【答案】 

【解析】解：，两点的坐标分别为，，
得出坐标轴如下图所示位置：


点的坐标为．
故答案为：．
根据，的坐标确定出坐标轴的位置，点的坐标可得．
本题主要考查了用坐标确定位置，和由点的位置得到点的坐标．依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由图象可知，乙出发时，甲乙相距，小时后，乙车追上甲．则说明乙每小时比甲快，
乙的速度为．
故正确；
由图象第小时，乙由相遇点到达，用时小时，每小时比甲快，
则此时甲乙距离，则，
故正确；
当乙在休息时，甲前进，则点坐标为，
故错误；
乙返回时，甲乙相距，到两车相遇用时小时，
则，
故正确．
故答案为：．
根据题意，两车距离为函数，由图象可知两车起始距离为，从而得到乙车速度，根据图象变化规律和两车运动状态，得到相关未知量．
本题考查一次函数的应用，主要是以函数图象为背景，考查双动点条件下，两点距离与运动时间的函数关系，解答时既要注意图象变化趋势，又要关注动点的运动状态．
 

16.【答案】解：原式
．
原式
．
原式

． 

【解析】根据二次根式的加减运算即可求出答案．
根据二次根式的乘除运算即可求出答案．
根据平方差公式即可求出答案．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

17.【答案】解：如图，即为所求．

．
的面积为．
如图，点即为所求．
 

【解析】根据轴对称的性质作图即可．
利用割补法求三角形的面积即可．
过直线作点的对称点，连接，与交于点，此时最小．
本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
 

18.【答案】  ，             

【解析】解：函数图象如图所示：

当时，，
解得，
故答案为：；
当时，，
直线与轴的交点坐标是，
当，解得，
直线与轴的交点坐标是，
故答案为：，；
图象与坐标轴围成的三角形的面积：，
故答案为：；
根据图象可知，当时，，
当时，，
当时，，
故答案为：，，；
当时，，
解得，
当时，，
解得，
时，的取值范围是，
故答案为：；
当时，，
当时，，
时，的取值范围是，
故答案为：．
根据一次函数的图象和性质逐一求解即可．
本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
 

19.【答案】解：由题意得，
与之间的关系式为；
当时，，
解得，
答：护栏总长度为米时立柱的根数为． 

【解析】根据等量关系：护栏总长度每根立柱宽立柱间距立柱根数个立柱间距，就可以求出解析式；
根据关系式就可以计算．
本题考查的是一次函数解决实际问题的运用，解答此题时求出函数的解析式是关键．
 

20.【答案】解：过画的垂线即可．

在中，米，
，
，
此时铁丝的长度为米；

移动前米，移动后 米，
这时上移了米．
因为，
．
即木棒上端上移少于米． 

【解析】根据垂线段最短可得；
根据勾股定理分别求出移动前和移动后的长，相减即可求解；
考查了直角三角形的性质和勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
 

21.【答案】     

【解析】解：在直线中，当时，，
，
，
在直线中，当时，，
，
；
故答案为：，；
，
，
当时，，
；
故答案为：；
的面积．
答：的面积是．
分别令可得点，两点的坐标；
联立两个解析式，可得交点的坐标；
根据三角形面积公式即可求得．
本题是两条直线相交的问题，考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积，两直线的交点，求得交点的坐标是本题的关键．
 

22.【答案】解：对于，令，即，解得，令，则，
故点、的坐标分别为、；

设点，
则的面积，解得或，
故点的坐标为或；

由点、的坐标知，，，则，
故点的坐标为，
设点的坐标为，
由题意得：，即，解得，
故点的坐标为；

设点，
则，，
当时，则，解得或，
当时，即，解得舍去或，
故点的坐标为或或． 

【解析】对于，令，即，解得，令，则，即可求解；
由的面积，即可求解；
由题意得：，即，解得；
分、两种情况，分别求解即可．
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．
 

23.【答案】解：根据题意得：，
；
答：关于的函数解析式为；
当时，由知此时，
，
，
随的增大而增大，
当时，此时有最小值，最小值为万元，
当时，可得，
，
，
随的增大而减小，
当时，此时有最小值，最小值为元，
，
当时，购买总费用最少，
此时，
答：购买型号机器人台，购买型号机器人台时，购买总费用最少，最少为万元． 

【解析】设台型机器人和台型机器人每小时各分拣垃圾吨和吨，根据题意列出方程组，变形即可求出答案；
分和两种情况，列出与的函数关系式，再根据一次函数性质可求得答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键正确找出题中的等量关系从而得到与的函数解析式及分类思想的应用．