广东省深圳市罗湖外语学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 （含答案）

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2022-2023学年广东省深圳市罗湖外语学校九年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下列方程是一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 下列命题中，真命题是(    )

A. 有两边相等的平行四边形是菱形
B. 有一个角是直角的四边形是矩形
C. 四个角相等的菱形是正方形
D. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

3. 一个布袋里装有个只有颜色不同的球，其中个红球，个白球．从布袋里任意摸出个球，则摸出的球是白球的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列几何体均由个大小相同的小立方体搭成，其中主视图与左视图不同的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，，、相交于点，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 用配方法解方程时，原方程应变形为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，已知菱形的两条对角线分别为和，则这个菱形的高为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，四边形中，，顺次连结四边形各边中点得到的图形是(    )

A. 菱形
B. 矩形
C. 正方形
D. 以上都不对

9. 如图，学校种植园是长米，宽米的矩形．为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，使种植面积为平方米．若设小道的宽为米，则下面所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 如图，在矩形中，是边的中点，于点，连接，分析下列四个结论：∽；；；，其中正确的结论有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本题共5小题，共15分）

11. 已知，则______．
12. 若为一元二次方程的一根，则 ______ ．
13. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率是______．
14. 如图，菱形的对角线，相交于点，点在上，连接，点为的中点，连接若，，，则线段的长为______．

15. 如图所示，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为______．

三、解答题（本题共7小题，共55分）

16. 解下列方程：
    ；
    ．
17. 在每个小正方形的边长均为的方格纸中，有线段，点、均在小正方形的顶点上．在图的方格纸中画出以为一边的平行四边形，点、在小正方形的顶点上，平行四边形的面积为，并且直接写出平行四边形的周长；在图的方格纸中画出以为一边的菱形，点、在小正方形的顶点上，菱形的面积为．
     
18. 某同学报名参加学校秋季运动会，有以下个项目可供选择：径赛项目：、、分别用、、表示；田赛项目：跳远，跳高分别用、表示．
    该同学从个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为______；
    该同学从个项目中任选两个，求恰好是一个径赛项目和一个田赛项目的概率，利用列表法或树状图加以说明；
    该同学从个项目中任选两个，则两个项目都是径赛项目的概率为______．
19. 已知关于的一元二次方程．
    求证：方程总有两个不相等的实数根；
    若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．
20. 因抖音等新媒体的传播，西安已成为最著名的网红旅游城市之一，年“十一”黄金周期间，西安接待游客近万人次，年“十一”黄金周期间，接待游客已达万人次，古城西安美食无数，一家特色小面店希望在长假期间获得较好的收益，经测算知，该小面的成本价为每碗元，借鉴以往经验；若每碗卖元，平均每天将销售碗，若价格每降低元，则平均每天多销售碗
    求出年至年十一长假期间游客人次的年平均增长率；
    为了维护城市形象，店家规定每碗售价不得超过元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天盈利元？
21. 阅读下面的材料：
    小明遇到一个问题：如图，在▱中，点是边的中点，点是线段上一点，的延长线交射线于点如果，求的值．他的做法是：过点作交于点，那么可以得到∽请回答：
    和之间的数量关系是______，和之间的数量关系是______，的值为______．
    参考小明思考问题的方法，解决问题：
    如图，在四边形中，，点是延长线上一点，和相交于点如果，，求的值．
     
22. 综合探究在正方形中，点为正方形内一点，过点将绕点逆时针旋转，得到，延长，分别交，于、两点，交的延长线于点．
    猜想证明
    数学兴趣小组探究发现，如图，连接，当点移动时，总有，请你证明这个结论；
    
    联系拓展
    如图，连接，若，请直接写出线段、、的数量关系为______；
    如图，在的条件下，连接，，若，的面积为，求的长．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是一元一次方程，故本选项不合题意；
B.该选项的方程是分式方程，故本选项不符合题意；
C.是关于的一元二次方程，故本选项符合题意；
D.整理可得，是一元一次方程，故本选项不合题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程．
 

2.【答案】 

【解析】解：、两邻边相等的平行四边形是菱形，所以选项错误；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以选项错误；
C、四个角相等的菱形是正方形，所以选项正确；
D、两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以选项错误．
故选：．
根据菱形的判定方法对进行判定；根据矩形的判定方法对进行判定；根据正方形的判定方法对、进行判定．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为一共有个球，白球有个，
所以从布袋里任意摸出个球，摸到白球的概率为：．
故选：．
让白球的个数除以球的总个数即为所求的概率．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
 

4.【答案】 

【解析】解：选项A、选项B、选项C、选项D中的组合体的主视图与左视图分别为：

其中主视图与左视图不同的是选项B中的组合体，
故选：．
画出各个选项中的组合体的主视图、左视图，进而得出答案．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的前提．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，，
∽，
，
即，
，
．
故选：．
利用平行线证明三角形相似，得到线段成比例求解．
本题考查平行线的性质、三角形相似判定和性质，能够灵活利用平行线的性质、三角形相似判定和性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图所示：四边形是菱形，
，，，
，
菱形的面积，
；
故选：．
先由菱形的性质和勾股定理求出边长，再根据菱形面积的两种计算方法，即可求出菱形的高．
本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积的计算方法；熟练掌握菱形的性质，运用勾股定理求出边长是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，分别是，的中点，
，，
同理，，，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形为菱形，
故选：．
根据中位线定理证明中点四边形的四边相等，则顺次连接四边形各边中点得到的四边形是菱形．
本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理，菱形的判定定理是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：把阴影部分分别移到矩形的上边和左边可得矩形的长为米，宽为米，
可列方程为，
故选：．
把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为列出方程即可．
考查由实际问题抽象出一元二次方程的知识；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的易错点．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，过作交于，交于，
四边形是矩形，
，，，
，
于点，
，
∽，故正确；

，
∽，
，
，
，
，故正确；

，，
四边形是平行四边形，
，
，，
于点，，
，
垂直平分，
，故正确；

∽，
，
，，
，
又，
，故正确；
故选：．
根据四边形是矩形，，可得，又，于是∽，故正确；
根据点是边的中点，以及，得出∽，根据相似三角形对应边成比例，可得，故正确；
过作交于，得到四边形是平行四边形，求出，得到，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故正确；
根据∽得到与的比值，以及与的比值，据此求出，，可得，即可得到，故正确．
本题属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算的综合应用，正确作出辅助线是解题的关键．解题时注意，相似三角形的对应边成比例．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质解答，属于基础题．
根据比例的性质解答即可．
【解答】
解：设，，
可得：，，
把，代入，
故答案为．  

12.【答案】 

【解析】解：依题意，得
，即，
解得，．
故答案是：．
根据方程的解的定义，把代入已知方程，列出关于的新方程，通过解新方程可以求得的值．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
 

13.【答案】 

【解析】解：画树形图得：

由树形图可知共种情况，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的情况数有种，所以概率是．
故答案是．
列举出所有情况，看正面都朝上的情况数占总情况数的多少即可．
本题考查了求随机事件的概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
点为的中点，，
，
故答案为：．
由菱形的性质可得，，，由勾股定理可求的长，的长，由三角形中位线定理可求解．
本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，与交于点．
点与关于对称，
，
最小．
正方形的面积为，
．
又是等边三角形，
．
故所求最小值为．
故答案为：．
由于点与关于对称，所以连接，与的交点即为点．此时最小，而是等边的边，，由正方形的面积为，可求出的长，从而得出结果．
此题主要考查轴对称--最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题．
 

16.【答案】解：，
，
或，
解得，；
，
，
或，
解得，． 

【解析】用十字相乘法因式分解解方程即可；
用十字相乘法因式分解解方程即可．
本题考查一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解方程．
 

17.【答案】解：如图中，四边形即为所求；
如图中，菱形即为所求．
 

【解析】利用数形结合的思想画出图形即可．
构造对角线分别为，的菱形即可．
本题考查作图应用与设计作图，勾股定理，菱形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

18.【答案】；
画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中一个径赛项目和一个田赛项目的结果数为，
所以一个径赛项目和一个田赛项目的概率；
． 

【解析】解：该同学从个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率
见答案．
两个项目都是径赛项目的结果数为，
所以两个项目都是径赛项目的概率．
故答案为，．
直接根据概率公式求解；
先画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出一个径赛项目和一个田赛项目的结果数，然后根据概率公式计算一个径赛项目和一个田赛项目的概率；
找出两个项目都是径赛项目的结果数，然后根据概率公式计算两个项目都是径赛项目的概率．
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
 

19.【答案】证明：
，
所以方程总有两个不相等的实数根；
解：根据根与系数的关系得，，
，
，
整理得，
解得，，
的值为或． 

【解析】先计算根的判别式的值得到，则可判断，然后根据根的判别式的意义得到结论；
先利用根与系数的关系得，，再由得到，然后解方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．
 

20.【答案】解：可设年平均增长率为，依题意有
，
解得，舍去．
答：年平均增长率为；

设每碗售价定为元时，店家才能实现每天利润元，依题意有
，
解得，，
每碗售价不得超过元，
．
答：当每碗售价定为元时，店家才能实现每天利润元． 

【解析】可设年平均增长率为，根据等量关系：年“十一”黄金周期间，西安接待游客近万人次，年“十一”黄金周期间，接待游客已达万人次，列出方程求解即可；
可设每碗售价定为元时，店家才能实现每天利润元，根据利润的等量关系列出方程求解即可．
考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
 

21.【答案】；；

如图，过点作交的延长线于点．
，
，
，

，
，
，
，
，
∽．
． 

【解析】如图，
，
，

，
设，则，
四边形是平行四边形，
，，
，
点是边的中点，
，
，
故答案为：，，；
见答案．
先根据，得出，再根据四边形是平行四边形，点是边的中点得出，再求出即可；
过点作交的延长线于点，根据，得出，根据，得出，最后根据得出即可求出答案．
此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，关键是根据题意作出辅助线，构造相似三角形，注意知识的综合运用和比例式的变形．
 

22.【答案】 

【解析】证明：四边形是正方形
，，
，
，
，
≌，
；
解：四边形是正方形，
，，，
∽，，
，
，

故答案为：；
解：如图，

作于，于，取的中点，连接，，，
，
、、、四点共圆，
，，
为的中位线，
，
，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
设，
，
，
，
设，，，
，，
∽，
，

，
，
，
，
，

．
证明≌，从而得出结论；
可证得是的中位线，从而得出，结合，进而得出结果；
作于，于，取的中点，连接，，，可证得、、、四点共圆，从而，进而证明≌，从而，设，可得，从而得出，进而得出的长，设，，，根据∽，得出，从而解得的值，进一步得出结果．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，三角形的中位线定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．