广东省深圳市南山区南海中学2022-2023学年上学期九年级期中考试数学试卷（含答案）

这是一份广东省深圳市南山区南海中学2022-2023学年上学期九年级期中考试数学试卷（含答案），共21页。试卷主要包含了一元二次方程x2＝2x的解为，已知＝，下列变形正确的是，如图，菱形ABCD中，AC＝8，下列说法中，不正确的是，设点A等内容，欢迎下载使用。
南山区南海中学2022-2023学年第一学期九年级期中考试数学试卷

一．选择题（每题3分，共30分）
1． 一元二次方程x2＝2x的解为（　　）
A．－2 B．2 C．0或－2 D．0或2

2． 已知＝，下列变形正确的是（　　）
A．ab＝6 B．2a＝3b C．a＝ D．3a＝2b

3． 如图，已知AB∥CD∥EF，若AC＝6，CE＝3，DF＝2，则BD的长为（　　）
A．4
B．4.5
C．5.5
D．6

4． 如图，菱形ABCD中，AC＝8．BD＝6．则菱形的面积为（　　）
A．20
B．40
C．28
D．24

5． 关于x的方程x2－6x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k的值可能是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11

6． 如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　）
A．∠C＝∠E
B．∠B＝∠ADE
C．
D．

7． 下列说法中，不正确的是（　　）
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
C．一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

8． 受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（　　）
A．6.2（1＋x）2＝8.9 B．8.9（1＋x）2＝6.2
C．6.2（1＋x2）＝8.9 D．6.2（1＋x）＋6.2（1＋x）2＝8.9

9． 设点A（－2，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）是抛物线y＝（x＋1）2－ab（a、b是常数）的图象上三点，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3

10．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝6；③CF＝BD＝；④△COF的面积是．其中正确的结论为（　　）
A．①③
B．①④
C．②③
D．①③④

二．填空题（每题3分，共15分）
11．方程x2＋2x－2＝0配方得到（x＋m）2＝3，则m＝_______．

12．如图，两段公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2km，则M，C两点间的距离为_______km．


13．如图，△ADE∽△ACB，且＝，若四边形BCED的面积是10，则△ADE的面积是_______．


14．已知，a，b，c是任意实数，且满足，则k的值为_______．

15．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝－1，有下列结论：①abc＜0；②4ac－b2＜0；③c－a＞0；④当x＝－n2－2时，y≥c；⑤若x1，x2(x1＜x2)是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，则方程a(x－x1)(x－x2)－1＝0的两根m，n(m＜n)满足m＜x1且n＞x2．其中正确结论的个数是_______．






三．解答题（共55分）
16．（8分）解下列方程：
（1）（x－2）2－2x＋4＝0； （2）x2－4x－1＝0．





17．（8分）如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，－1）、（2，1）．
（1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形；
（2）B点的对应点B′的坐标是 　 　；C点的对应点C′的坐标是　 　．


18．（7分）如图，王海同学为了测量校园内一棵大树EF的高度，他走到了校园的围墙CD外（如图所示），然后他沿着过点F与墙CD垂直的直线从远处向围墙靠近至B处，使大树恰好被围墙挡住顶端C和树的顶端E时，三点在同一条直线上．若BD＝2米，CD＝3米，FD＝8米，王海身高1.6米．求大树的高度．


19．（8分）某手机专营店，第一期进了甲种手机50部．售后统计，甲种手机的平均利润是160元/部．调研发现：甲种手机每增加1部，平均利润减少2元/部；该店计划第二期进货甲种手机比第一期增加x部，
（1）第二期甲种手机售完后的利润为8400元，那么甲种手机比第一期要增加多少部？
（2）当x取何值时，第二期进的甲种手机售完后获得的利润W最大，最大利润是多少？








20．（7分）如图，四边形ABCD为平行四边形，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于E，F，且BE＝BP．
（1）求证：∠E＝∠F；
（2）求证：四边形ABCD是菱形．


21．（8分）如图，二次函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数y＝－x＋b的图象交于A，C两点．
（1）求b的值；
（2）求△ABC的面积；
（3）根据图象直接写出当x为何值时，一次函数的值大于二次函数的值．



22．（9分）如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交边BC于点F．
（1）求证：EA＝EF；
（2）写出线段FC，DE的数量关系并加以证明；
（3）若AB＝4，FE＝FC，求DE的长．


参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．一元二次方程x2＝2x的解为（　　）
A．－2 B．2 C．0或－2 D．0或2
【分析】将方程右边化为0，左边因式分解，即可解得答案．
【解答】解：x2＝2x，
∴x2－2x＝0，
∴x（x－2）＝0，
∴x＝0或x－2＝0，
∴x＝0或x＝2，
故选：D．
2．已知＝，下列变形正确的是（　　）
A．ab＝6 B．2a＝3b C．a＝ D．3a＝2b
【分析】根据比例的性质进行计算即可解答．
【解答】解：∵＝，
∴2b＝3a．
故选：D．
3．如图，已知AB∥CD∥EF，若AC＝6，CE＝3，DF＝2，则BD的长为（　　）

A．4 B．4.5 C．5.5 D．6
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入数值即可求出BD．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∵AC＝6，CE＝3，DF＝2，
∴，
∴BD＝4．
故选：A．
4．如图，菱形ABCD中，AC＝8．BD＝6．则菱形的面积为（　　）

A．20 B．40 C．28 D．24
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可得答案．
【解答】解：菱形的面积为6×8÷2＝24，
故选：D．
5．关于x的方程x2－6x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k的值可能是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】根据已知求出k的范围，写出一个符合条件的k值即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2－6x＋k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，即36－4k＞0，
∴k＜9，
故选：A．
6．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　）

A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D．
【分析】先根据∠1＝∠2求出∠BAC＝∠DAE，再根据相似三角形的判定方法解答．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠DAE＝∠BAC，
A、添加∠C＝∠E，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；
B、添加∠B＝∠ADE，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；
C、添加＝，可用两边及其夹角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；
D、添加＝，不能判定△ABC∽△ADE，故本选项正确；
故选：D．
7．下列说法中，不正确的是（　　）
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
C．一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【分析】根据各个选项中的说法，可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：一组邻边相等的矩形是正方形，故选项A正确；
一组对边相等且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，如右图AD＝BC，∠ABC＝90°，则四边形ABCD不是矩形，故选项B错误；
一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项C正确；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项D正确；
故选：B．

8．受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（　　）
A．6.2（1＋x）2＝8.9
B．8.9（1＋x）2＝6.2
C．6.2（1＋x2）＝8.9
D．6.2（1＋x）＋6.2（1＋x）2＝8.9
【分析】利用该地92号汽油五月底的价格＝该地92号汽油三月底的价格×（1＋该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得6.2（1＋x）2＝8.9，
故选：A．
9．设点A（－2，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）是抛物线y＝（x＋1）2－ab（a、b是常数）的图象上三点，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
【分析】先确定抛物线的对称轴，根据二次函数的性质，然后利用抛物线开口向上时，离对称轴越远，函数值越大求解．
【解答】解：∵y＝（x＋1）2－ab（a、b是常数），
∴抛物线的对称轴为直线x＝－1，开口向上，
而点A（－2，y1）离对称轴最近，点C（2，y3）离对称轴最远，
∴y1＜y2＜y3，
故选：A．
10．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝6；③CF＝BD＝；④△COF的面积是．其中正确的结论为（　　）

A．①③ B．①④ C．②③ D．①③④
【分析】①根据正方形的性质和平角的定义可求∠COD；
②根据正方形的性质可求OE，再根据线段的和差关系可求AE的长；
③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，根据含45°的直角三角形的性质可求FG，根据勾股定理可求CF，BD，即可求解；
④根据三角形面积公式即可求解．
【解答】解：①∵∠AOC＝90°，∠DOE＝45°，
∴∠COD＝180°－∠AOC－∠DOE＝45°，
故正确；
②∵EF＝，
∴OE＝2，
∵AO＝AB＝3，
∴AE＝AO＋OE＝2＋3＝5，
故错误；
③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，
则FG＝1，
CF＝＝＝，
BH＝3－1＝2，
DH＝3＋1＝4，
BD＝＝＝2，
故错误；
④△COF的面积S△COF＝×3×1＝，
故正确；

∴其中正确的结论为①④，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．方程x2＋2x－2＝0配方得到（x＋m）2＝3，则m＝　1　．
【分析】利用配方法得到（x＋1）2＝3，从而得到m的值．
【解答】解：x2＋2x＝2，
x2＋2x＋1＝3，
（x＋1）2＝3．
所以m＝1，
故答案为1．
12．如图，两段公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2km，则M，C两点间的距离为 　1　km．

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CM＝AB，解答即可．
【解答】解：∵M是公路AB的中点，
∴AM＝BM，
∵AC⊥BC，
∴CM＝AB＝1km，
∴M，C两点间的距离为1km．
故答案为：1．
13．如图，△ADE∽△ACB，且＝，若四边形BCED的面积是10，则△ADE的面积是　8　．

【分析】直接利用相似三角形的性质得出＝，进而得出答案．
【解答】解：∵△ADE∽△ACB，且＝，
∴＝，
∵四边形BCED的面积是10，
∴＝，
解得：S△ADE＝8．
故答案为：8．
14．已知，a，b，c是任意实数，且满足，则k的值为 　2或－1　．
【分析】分两种情况：当a＋b＋c≠0时，当a＋b＋c＝0时，进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当a＋b＋c≠0时，根据等比性质可得：
k＝
＝
＝2；
当a＋b＋c＝0时，a＋b＝－c，
∴k＝＝＝－1，
综上所述：k的值为2或－1，
故答案为：2或－1．
15．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝－1，有下列结论：
①abc＜0；②4ac－b2＜0；③c－a＞0；④当x＝－n2－2时，y≥c；⑤若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，则方程a（x－x1）（x－x2）－1＝0的两根m，n（m＜n）满足m＜x1且n＞x2；其中，正确结论的个数是 　3个　

【分析】利用二次函数图象的性质，数形结合法，和二次函数与一元二次方程的关系对每一个选项进行逐一判断即可．
【解答】解：∵抛物线的开口方向向上，
∴a＞0．
∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，
∴＝－1．
∴b＝2a．
∴b＞0．
∵抛物线与y轴交于y轴的正半轴，
∴c＞0．
∴abc＞0．
∴①的结论错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2－4ac＞0．
∴4ac－b2＜0．
∴②的结论正确；
由抛物线可知：当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0．
∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，
∴＝－1．
∴b＝2a．
∴a－2a＋c＜0．
∴c－a＜0．
∴③的结论错误；
∵x＝0时，y＝c，抛物线的对称轴为直线x＝－1，
∴当x＝－2时，y＝c．
∵－n2－2≤－2，
∴由抛物线的对称性可知：当x＝－n2－2时，y≥c．
∴④的结论正确；
∵若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
∴a（x－x1）（x－x2）＝0，A（x1，0），B（x2，0）．
设直线y＝1与抛物线交于点M，N，如图，

分别过点M，N作x轴的垂线，垂足对应的数字为m，n，
即方程a（x－x1）（x－x2）－1＝0的两根m，n，
由图象可得：m＜x1，n＞x2；
∴⑤的结论正确．
综上，正确结论的个数是3个．
故答案为：3个．
三．解答题（共7小题）
16．解下列方程：
（1）（x－2）2－2x＋4＝0；
（2）x2－4x－1＝0．
【分析】（1）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（2）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：（1）（x－2）2－2x＋4＝0，
（x－2）2－2（x－2）＝0，
（x－2）（x－2－2）＝0，
x－2＝0或x－2－2＝0，
解得：x1＝2，x2＝4；

（2）x2－4x－1＝0，
x2－4x＝1，
配方，得x2－4x＋4＝1＋4，
（x－2）2＝5，
开方得：x－2＝，
解得：x1＝2＋，x2＝2－．
17．如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，－1）、（2，1）．
（1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形；
（2）B点的对应点B′的坐标是 　（－6，2）　；C点的对应点C′的坐标是 　（－4，－2）．

【分析】（1）（2）把B、C点的横纵坐标都乘以－2得到B′、C′点的坐标，然后描点即可．
【解答】解：（1）如图，△OB′C′为所作；

（2）B点的对应点B′的坐标是（－6，2）；C点的对应点C′的坐标是（－4，－2）．
18．如图，王海同学为了测量校园内一棵大树EF的高度，他走到了校园的围墙CD外（如图所示），然后他沿着过点F与墙CD垂直的直线从远处向围墙靠近至B处，使大树恰好被围墙挡住顶端C和树的顶端E时，三点在同一条直线上．若BD＝2米，CD＝3米，FD＝8米，王海身高1.6米．求大树的高度．

【分析】作AH⊥EF于H，交CD于G，则AG＝BD＝2，GH＝DF＝8，AB＝DG＝HF＝1.6，CG＝CD－DG＝3－1.6＝1.4，证明△AGC∽△AHE，利用相似比计算出EH，然后计算EH＋FH即可．
【解答】解：如图，作AH⊥EF于H，交CD于G，则AG＝BD＝2，GH＝DF＝8，AB＝DG＝HF＝1.6，CG＝CD－DG＝3－1.6＝1.4，
∵CG∥EH，
∴△AGC∽△AHE，
∴＝，即＝，
∴EH＝7，
∴EF＝EH＋HF＝7＋1.6＝8.6（m）．
答：大树的高度为8.6米．
19．某手机专营店，第一期进了甲种手机50部．售后统计，甲种手机的平均利润是160元/部．调研发现：甲种手机每增加1部，平均利润减少2元/部；该店计划第二期进货甲种手机比第一期增加x部，
（1）第二期甲种手机售完后的利润为8400元，那么甲种手机比第一期要增加多少部？
（2）当x取何值时，第二期进的甲种手机售完后获得的利润W最大，最大利润是多少？
【分析】（1）甲种手机利润＝销售甲种手机的数量×每件甲种手机的利润，根据这个关系即可列出方程；
（2）表示出第二期进的甲种手机售完后获得的总利润，根据二次函数，即可求出最大利润．
【解答】解：（1）根据题意，（50＋x）（160－2x）＝8400，
解得x1＝10，x2＝20，
所以第二期甲种手机售完后的利润为8400元，甲种手机应该增加10或20部；
（2）W＝（50＋x）（160－2x）＝－2（x－15）2＋8450，
当x取15时，第二期进的甲手机售完后获得的总利润W最大，最大总利润是8450元．
20．如图，四边形ABCD为平行四边形，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于E，F，且BE＝BP，求证：
（1）∠E＝∠F；
（2）四边形ABCD是菱形．

【分析】（1）首先判定四边形BPFD是平行四边形，所以BP∥DF，利用平行线的性质可得∠F＝∠BPE，又因为BE＝BP，可得∠E＝∠F；
（2）利用平行线的性质以及菱形的判定方法进而得出即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BP∥DF，
∵EF∥BD，
∴四边形BPFD是平行四边形，
∴BP∥DF，
∴∠F＝∠BPE，
∵BE＝BP，
∴∠E＝∠BPE，
∴∠E＝∠F；

（2）∵EF∥BD，
∴∠E＝∠ABD，∠F＝∠ADB
∴∠ABD＝∠ADB，
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．

21．如图，二次函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数y＝－x＋b的图象交于A，C两点．
（1）求b的值；
（2）求△ABC的面积；
（3）根据图象直接写出当x为何值时，一次函数的值大于二次函数的值．

【分析】（1）令y＝0，y＝x2－2x－3＝0，解得：x＝3或－1，得点A坐标为（－1，0），B（3，0），将点A（－1，0）代入y＝－x＋b，即可求解；
（2）方程组，解得：或，得点C坐标为（2，－3），根据面积公式即可求解；
（3）根据图象可知，－1＜x＜2时，一次函数值大于二次函数值．
【解答】解：（1）∵令y＝0，y＝x2－2x－3＝0，
解得：x＝3或－1，
∴点A坐标为（－1，0），B（3，0），
将点A（－1，0）代入y＝－x＋b，
1＋b＝0，解得b＝－1；
（2）方程组，
解得：或，
∴点C坐标为（2，－3），
∴△ABC的面积＝×4×3＝6；
（3）根据图象可知，－1＜x＜2时，一次函数值大于二次函数值．
22．如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交边BC于点F．
（1）求证：EA＝EF；
（2）写出线段FC，DE的数量关系并加以证明；
（3）若AB＝4，FE＝FC，求DE的长．

【分析】（1）过点E作MN⊥AD于M，交BC于点N，由四边形ABCD为正方形，AE⊥EF，可证明△AEM≌△EFN（ASA），即可得AE＝EF．
（2）由△AEM≌△EFN，∠ADB＝45°，可得CF＝2MD，而DE＝MD，故CF＝DE；
（3）设DE＝x可得：FE2＝AE2＝AM2＋ME2＝（4－x）2＋（x）2，而CF＝DE，若FE＝FC，有（4－x）2＋（x）2＝（x）2，可解得DE＝2－2．
【解答】（1）证明：过点E作MN⊥AD于M，交BC于点N，如图：

∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，AD＝DC，∠ADB＝45°，
∵MN⊥AD，
∴MN⊥BC，
∴四边形NCDM为矩形，
∴MN＝CD，
∵∠ADB＝45°，MN⊥AD，
∴MD＝ME，
∴AM＝EN，
∵AE⊥EF，
∴∠AEM＋∠FEN＝90°．
∵∠AEM＋∠MAE＝90°，
∴∠FEN＝∠MAE，
∴△AEM≌△EFN（ASA），
∴AE＝EF．
（2）解：CF＝DE，理由如下：
由（1）知△AEM≌△EFN，∠ADB＝45°，
∴ME＝FN＝MD，
∵四边形NCDM为矩形，
∴CN＝MD，
∴CF＝2MD，
∵DE＝MD，
∴CF＝DE；
（3）解：设DE＝x．由（1）得：FE2＝AE2＝AM2＋ME2＝（4－x）2＋（x）2，
由（2）得CF＝DE，
∴CF＝x，
∵FE＝FC，
∴FE2＝FC2，
∴（4－x）2＋（x）2＝（x）2，
解方程得：x1＝2－2，x2＝－2－2（舍去），
∴DE＝2－2．