江苏省无锡市新吴区新一教育集团2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 （含答案）

这是一份江苏省无锡市新吴区新一教育集团2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 （含答案），共27页。试卷主要包含了0分，0分)，【答案】A，【答案】B，【答案】D等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省无锡市新吴区新一教育集团九年级（上）期中数学试卷
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。


第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列方程中，是一元二次方程的是(    )
A. 3(x+2)=8 B. 3x2+6x=8
C. ax2+bx+c=0 D. 1x+2=1
2. 一元二次方程x2-3x+1=0的根的情况(    )
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
3. 某商店在一周内卖出某种品牌球鞋的尺寸(单位：码)整理后的数据如下：36，38，38，39，40，40，41，41，41，41，42，43，44.那么这组数据的中位数和众数分别为(    )
A. 40，40 B. 41，40 C. 40，41 D. 41，41
4. 抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷6次都是正面朝上，则抛掷第7次(    )
A. 正面朝上的可能性大 B. 反面朝上的可能性大
C. 正面朝上与反面朝上的可能性一样大 D. 无法确定
5. 在直角坐标系中，圆心为坐标原点，⊙O的半径为5，则P(3,4)与⊙O的位置关系为(    )
A. 点P在⊙O上 B. 点P在⊙O外 C. 点P在⊙O内 D. 无法确定
6. 下列命题中正确的是(    )
A. 三点确定一个圆 B. 在同圆中，同弧所对的圆周角相等
C. 平分弦的直线垂直于弦 D. 相等的圆心角所对的弧相等
7. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为直径，BD平分∠ABC，若∠ABC=40°，则∠A的度数为(    )
A. 105°
B. 110°
C. 115°
D. 120°
8. 如图，线段AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，∠E=42°，则∠CDB等于(    )
A. 22°
B. 24°
C. 28°
D. 48°
9. 如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是AC的中点，AC与BD交于点E.若E是BD的中点，则AC的长是(    )

A. 523 B. 33 C. 32 D. 42
10. 如图，点A，B的坐标分别为A(2,0)，B(0,2)，点C为坐标平面内一点，BC=1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为(    )

A. 2+1 B. 2+12 C. 22+1 D. 22-12
第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 一元二次方程x2-x=0的解是______．
12. 一元二次方程2x2+4x-1=0的两根为x1、x2，则x1+x2的值是______．
13. 一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”“2”“2”“3”“3”“3”.掷小正方体后，朝上的一面数字为2的概率是______ ．
14. 一组数据5、8、6、7、4的方差为______．
15. 已知圆锥的底面圆半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是______．
16. 在半径为3的⊙O中，弦AB的长是33，则弦AB所对的圆周角的度数是______．
17. 如图所示，一个半径为1的圆过一个半径为2的圆的圆心，则图中阴影部分的面积为______．


18. 如图，△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F.将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最大值是______．



三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题16.0分)
解下列方程：
(1)2x2=8；
(2)x2-5x-6=0；
(3)2(x-3)=3x(x-3)；
(4)x2-2x-5=0(配方法)．
20. (本小题8.0分)
已知关于x的方程x2+mx+m-2=0．
(1)若此方程的一个根为1，求m的值；
(2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
21. (本小题8.0分)
某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：
3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，5，4，4，2，4
根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：
次数
1
2
3
4
5
6
人数
1
2
a
6
b
2
(1)表格中的a= ______ ，b= ______ ；
(2)在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为______ ，中位数为______ ；
(3)若该校初三年级共有300名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数．
22. (本小题8.0分)
某社区组织A，B，C，D四个小区的居民进行核酸检测，有很多志愿者参与此项检测工作，志愿者王明和李丽分别被随机安排到这四个小区中的一个小区组织居民排队等候．
(1)王明被安排到A小区进行服务的概率是______．
(2)请用列表法或画树状图法求出王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率．
23. (本小题8.0分)
如图，△ABC内接于⊙O，AD//BC交⊙O于点D，DF//AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．
(1)求证：AC=AF；
(2)若⊙O的半径为3，∠CAF=30°，求AC的长(结果保留π)．

24. (本小题10.0分)
如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE//AD交CD于点E，连接BE．
(1)直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；
(2)若CA=2，CD=4，求DE的长．

25. (本小题8.0分)
如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作：
(1)请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，D点坐标为______；
(2)连接AD、CD，求⊙D的半径及扇形DAC的圆心角度数；
(3)若扇形DAC是某一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径．

26. (本小题10.0分)
戴口罩是阻断呼吸道病毒传播的重要措施之一，某商家对一款成本价为每盒50元的医用口罩进行销售，如果按每盒70元销售，每天可卖出20盒．通过市场调查发现，每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒．
(1)若每盒售价降低x元，则日销量可表示为______盒，每盒口罩的利润为______元．
(2)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款口罩，每盒售价应定为多少元？
(3)当每盒售价定为多少元时，商家可以获得最大日利润？并求出最大日利润．
27. (本小题10.0分)
如图，∠BAO=90°，AB=8，动点P在射线AO上，以PA为半径的半圆P交射线AO于另一点C，CD//BP交半圆P于另一点D，BE//AO交射线PD于点E，EF⊥AO于点F，连接BD，设AP=m．
(1)求证：∠BDP=90°．
(2)若m=4，求BE的长．
(3)在点P的整个运动过程中，当AF=3CF时，求出所有符合条件的m的值．

28. (本小题10.0分)
问题提出
(1)如图①，已知直线a//b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，则S△ACD ______ S△BCD(填“>”“<”或“=”)；
问题探究
(2)如图②，⊙O的直径为20，点A，B，C都在⊙O上，AB=12，求△ABC面积的最大值；
问题解决
(3)如图③，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=20，BC=10，根据设计要求，点D为∠ABC内部一点，且∠ADB=60°，过点C作CE//AD交BD于点E，连接AE，CD，试求满足设计要求的四边形ADCE的最大面积．

答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：A、3(x+2)=8，是一元一次方程，故A不符合题意；
B、3x2+6x=8，是一元二次方程，故B符合题意；
C、ax2+bx+c=0(a,b,c是常数，a≠0)是一元二次方程，故C不符合题意；
D、1x+2=1是分式方程，故D不符合题意；
故选：B．
根据一元二次方程的定义，即可判断．
本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．

2.【答案】B 
【解析】解：∵Δ=(-3)2-4×1×1=5>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
先计算根的判别式的值得到Δ>0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．

3.【答案】D 
【解析】解：把已知数据重新从小到大排序后为36，38，38，39，40，40，41，41，41，41，42，43，44，
∴中位数为41，众数为41．
故选：D．
首先把所给数据重新从小到大排序，然后根据中位数和众数的定义即可求出结果．
本题用到的知识点是：
①一组数据从小到大依次排列，把中间数据(或中间两数据的平均数)叫做中位数；
②给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．一组数据是不一定存在众数的；如果一组数据存在众数，则众数一定是数据集里的数．

4.【答案】C 
【解析】解：虽然连续抛掷一枚质地均匀的硬币6次都是正面朝上，
但抛掷第7次正面朝上与反面朝上的可能性也一样大．
故选：C．
根据大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小(概率)，可得答案．
本题考查了概率，大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小(概率)．

5.【答案】A 
【解析】解：∵圆心P的坐标为(3,4)，
∴OP=32+42=5．
∵⊙O的半径为5，
∴点P在⊙O上．
故选：A．
先根据勾股定理求出OP的长，再与⊙O的半径为5相比较即可．
本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．

6.【答案】B 
【解析】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；
B、同圆中，同弧所对的圆周角相等，正确；
C、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故错误；
D、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误，
故选B．
利用确定圆的条件、圆周角定理、垂径定理等知识分别判断后即可确定答案．
本题考查了确定圆的条件、圆周角定理、垂径定理等知识，难度不大，熟记有关性质及定理是解答本类题目的关键．

7.【答案】B 
【解析】解：∵BD平分∠ABC，∠ABC=40°，
∴∠DBC=20°，
∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠C=90°-∠DBC=90°-20°=70°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A=180°-∠C=180°-70°=110°，
故选：B．
首先根据角平分线的定义及∠ABC的度数求得∠BDC的度数，然后求得∠C的度数，利用圆内接四边形的性质求得答案即可．
本题考查了圆内接四边形及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补，难度不大．

8.【答案】B 
【解析】解：连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE=90°，
∵∠E=42°，
∴∠COE=90°-42°=48°，
∴∠CDB=12∠COE=24°．
故选：B．
连接OC，根据切线的性质可知∠OCE=90°，再由直角三角形的性质得出∠COE的度数，由圆周角定理即可得出结论．
本题考查的是切线的性质，熟知圆的切线垂直于经过切点的半径是解答此题的关键．

9.【答案】D 
【解析】
【分析】
连接OD，交AC于F，根据垂径定理得出OD⊥AC，AF=CF，证明△EFD≌△ECB，进而证得DF=BC，根据三角形中位线定理求得OF=12BC=12DF，从而求得BC=DF=2，利用勾股定理即可求得AC．
本题考查了垂径定理，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
【解答】
解：连接OD，交AC于F，

∵D是AC的中点，
∴OD⊥AC，AF=CF，
∴∠DFE=90°，
∵OA=OB，AF=CF，
∴OF=12BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在△EFD和△ECB中，∠DFE=∠BCE=90°∠DEF=∠BECDE=BE,
∴△EFD≌△ECB(AAS)，
∴DF=BC，
∴OF=12DF，
∵OD=3，
∴OF=1，
∴BC=2，
在Rt△ABC中，AC2=AB2-BC2，
∴AC=AB2-BC2=62-22=42，
故选D．  
10.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了点与圆的位置关系，坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点．
根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，当点C是线段DB延长线与圆B的交点时，OM最大，再根据三角形的中位线定理可得结论．
【解答】
解：如图：
∵点C为坐标平面内一点，BC=1，
∴点C在⊙B上，且半径为1，
取OD=OA=2，连接CD，

∵AM=CM，OD=OA，
∴OM是ΔACD的中位线，
∴OM=12CD，
当OM最大时，即CD最大，而当D，B，C三点共线即C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB=OD=2，∠BOD=90°，
∴BD=22，
∴CD=22+1，
∴OM=12CD=2+12，即OM的最大值为2+12，
故选：B．  
11.【答案】x1=0，x2=1 
【解析】解：x2-x=0，
x(x-1)=0，
∴x=0或x-1=0，
∴x1=0，x2=1，
故答案为：x1=0，x2=1．
利用因式分解法解一元二次方程即可．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法，解决本题的关键是掌握用因式分解法解一元二次方程的步骤．

12.【答案】-2 
【解析】解：∵方程2x2+4x-1=0的两根为x1、x2，
∴x1+x2=-ba=-2．
故答案为：-2．
根据方程的系数结合根与系数的关系，即可得出x1+x2的值．
本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和为-ba是解题的关键．

13.【答案】13 
【解析】解：∵一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”“2”“2”“3”“3”“3”，
∴掷小正方体后，朝上的一面数字为2的概率是：26=13．
故答案为：13．
由一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”“2”“2”“3”“3”“3”，直接利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

14.【答案】2 
【解析】解：这组数据的平均数为4+5+6+7+85=6，
∴这组数据的方差为15×[(4-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(7-6)2+(8-6)2]=2，
故答案为：2．
先计算出这组数据的平均数，再根据方差的定义列式计算即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义与计算公式．

15.【答案】15π 
【解析】解：圆锥的侧面展开图面积=12×2π×3×5=15π(cm2).
故答案为：15π．
利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

16.【答案】60°或120° 
【解析】解：如图所示，
连接OA、OB，过O作OF⊥AB，则AF=12AB，∠AOF=12∠AOB，
∵OA=3，AB=33，
∴AF=12AB=332，
∴sin∠AOF=AFAO=3323=32，
∴∠AOF=60°，
∴∠AOB=2∠AOF=120°，
∴∠ADB=12∠AOB=12×120°=60°，
∴∠AEB=180°-60°=120°．
故答案为：60°或120°．
先根据题意画出图形，连接OA、OB，过O作OF⊥AB，由垂径可求出AF的长，根据特殊角的三角函数值可求出∠AOF的度数，由圆周角定理及圆内接四边形的性质即可求出答案．
此题考查的是圆周角定理及垂径定理，解答此题时要注意一条弦所对的圆周角有两个，这两个角互为补角．

17.【答案】1 
【解析】解：⊙O的半径为2，⊙C的半径为1，点O在⊙C上，连OA，OB，OC，
由OA=2，CA=CB=1，则有(2)2=12+12，
∴OA2=CA2+CB2，
∴△OCA为直角三角形，
∴∠AOC=45°，
同理可得∠BOC=45°，
∴∠AOB=90°，
∴AB为⊙C的直径．
∴S阴影部分=S半圆AB-S弓形AB=S半圆AB-(S扇形OAB-S△OAB)=12π×12-90π×(2)2360+12×2×2=1．
如图，连OA，OB，OC，由OA=2，CA=CB=1，则有(2)2=12+12，得到△OCA为直角三角形，则∠AOC=45°，同理可得∠BOC=45°，得到AB为⊙C的直径．所以S阴影部分=S半圆AB-S弓形AB=S半圆AB-(S扇形OAB-S△OAB)，然后根据圆、扇形和三角形的面积公式进行计算即可得到阴影部分的面积．
本题考查了扇形的面积公式：SS=nπR2360，也考查了勾股定理以及90度的圆周角所对的弦为直径．

18.【答案】1033 
【解析】解：∵△ABC和△DCE是等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
BC=AC∠BCD=∠ACECD=CE，
∴△BCD≌△ACE(SAS)，
∴∠DBC=∠EAC，
又∵∠BGC=∠AGF，
∴∠BCG=∠F=60°，
∴点A，点B，点C，点F四点共圆，
如图，过点A，点B，点C，点F四点圆为⊙O，连接OA，OF，OC，过点O作OH⊥AB于H，

∵△ABC是等边三角形，OH⊥AB，
∴点O是△ABC的内心，也是△ABC的外心，
∴∠OAB=30°，AH=BH=52，
∴AH=3OH，AO=2OH，
∴AO=533，
∵点F在⊙O上运动，
∴AF的最大值为1033，
故答案为：1033．
由“SAS”可证△BCD≌△ACE，可得∠DBC=∠EAC，可证点A，点B，点C，点F四点共圆，由等边三角形的性质可求OA的长，由点F在⊙O上运动，则AF是直径时最大，即可求解．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，等边三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

19.【答案】解：(1)2x2=8，
x2=4，
开方得：x=±2，
即x1=2，x2=-2；

(2)x2-5x-6=0，
(x-6)(x+1)=0，
x-6=0或x+1=0，
解得：x1=6，x2=-1；

(3)2(x-3)=3x(x-3)，
2(x-3)-3x(x-3)=0，
(x-3)(2-3x)=0，
x-3=0或2-3x=0，
解得：x1=3，x2=23；

(4)x2-2x-5=0，
x2-2x=5，
配方得：x2-2x+1=5+1，
(x-1)2=6，
开方得：x-1=±6，
解得：x1=6+1，x2=-6+1． 
【解析】(1)先方程两边都除以2，再开方即可；
(2)先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
(3)移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
(4)移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．

20.【答案】解：(1)根据题意，将x=1代入方程x2+mx+m-2=0，
得：1+m+m-2=0，
解得：m=12；
(2)∵Δ=m2-4×1×(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+4>0，
∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 
【解析】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．
(1)直接把x=1代入方程x2+mx+m-2=0求出m的值；
(2)计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可．

21.【答案】解：(1)4；5；
(2)4；4；
(3)300×620=90(人)．
答：估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数有90人． 
【解析】
【分析】
此题考查了频数分布表，众数、中位数，样本估计总体，掌握众数、中位数的定义是本题的关键，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，众数是一组数据中出现次数最多的数．
(1)由题中的数据即可求解；
(2)根据中位数、众数的定义，即可解答；
(3)根据样本估计总体，即可解答．
【解答】
解：(1)由该20名学生参加志愿者活动的次数得：a=4，b=5，
故答案为：4，5；
(2)该20名学生参加志愿者活动的次数从小到大排列如下：
1，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，6，
∵4出现的最多，
∴众数为4，中位数为第10和第11个数的平均数，即为4+42=4，
故答案为：4，4；
(3)见答案．  
22.【答案】14 
【解析】解：(1)王明被安排到A小区进行服务的概率是14，
故答案为：14；
(2)列表如下：

A
B
C
D
A
(A,A)
(B,A)
(C,A)
(D,A)
B
(A,B)
(B,B)
(C,B)
(D,B)
C
(A,C)
(B,C)
(C,C)
(D,C)
D
(A,D)
(B,D)
(C,D)
(D,D)
由表知，共有16种等可能结果，其中王明和李丽被安排到同一个小区工作的有4种结果，
所以王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率为416=14．
(1)根据概率公式求解即可；
(2)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

23.【答案】(1)证明：∵AD//BC，DF//AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵∠AFC=∠B，∠ACF=∠D，
∴∠AFC=∠ACF，
∴AC=AF．
(2)解：连接AO，CO，

由(1)得∠AFC=∠ACF，
∵∠AFC=180°-30°2=75°，
∴∠AOC=2∠AFC=150°，
∴AC的长l=150×π×3180=5π2． 
【解析】
【分析】
本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，圆的性质与弧长公式，考查化归与转化思想，推理能力，几何直观等数学素养．
(1)根据已知条件可证明四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形的性质可得∠B=∠D，等量代换可得∠AFC=∠ACF，即可得出答案；
(2)连接AO，CO，由(1)中结论可计算出∠AFC的度数，根据圆周角定理可计算出∠AOC的度数，再根据弧长计算公式计算即可得出答案．  
24.【答案】解：(1)直线BE与⊙O相切，
理由：连接OD，

∵CD与⊙O相切于点D，
∴∠ODE=90°，
∵AD//OE，
∴∠ADO=∠DOE，∠DAO=∠EOB，
∵OD=OA，
∴∠ADO=∠DAO，
∴∠DOE=∠EOB，
∵OD=OB，OE=OE，
∴△DOE≌△BOE(SAS)，
∴∠OBE=∠ODE=90°，
∵OB是⊙O的半径，
∴直线BE与⊙O相切；
(2)设⊙O的半径为r，
在Rt△ODC中，OD2+DC2=OC2，
∴r2+42=(r+2)2，
∴r=3，
∴AB=2r=6，
∴BC=AC+AB=2+6=8，
由(1)得：△DOE≌△BOE，
∴DE=BE，
在Rt△BCE中，BC2+BE2=CE2，
∴82+BE2=(4+DE)2，
∴64+DE2=(4+DE)2，
∴DE=6，
∴DE的长为6． 
【解析】(1)连接OD，理由切线的性质可得∠ODE=90°，然后利用平行线和等腰三角形的性质可得OE平分∠DOB，从而可得∠DOE=∠EOB，进而可证△DOE≌△BOE，最后利用全等三角形的性质即可解答；
(2)设⊙O的半径为r，先在Rt△ODC中，利用勾股定理求出r的长，再利用(1)的结论可得DE=BE，最后在Rt△BCE中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了切线的判定与性质，直线与圆的位置关系，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及勾股定理是解题的关键．

25.【答案】(1)(2,0)；
(2)如图；

AD=AO2+OD2=42+22=25；
故⊙D的半径为25，
作CE⊥x轴，垂足为E．
同理DC=25，
又OD=CE=2，
AD=DC，
∠AOD=∠DEC，
故△AOD≌△DEC，
∴∠OAD=∠CDE，
又∵∠OAD+∠ADO=90°，
∴∠CDE+∠ADO=90°，
∴扇形DAC的圆心角为90度；

(3)∵弧AC的长度即为圆锥底面圆的周长．l弧=nπR180=90π⋅25180=5π，
设圆锥底面圆半径为r，则2πr=5π，
∴r=52． 
【解析】
解：(1)如图；D(2,0)

(2)见答案；
(3)见答案．
【分析】
(1)找到AB，BC的垂直平分线的交点即为圆心坐标；
(2)利用勾股定理可求得圆的半径；易得△AOD≌△DEC，那么∠OAD=∠CDE，即可得到圆心角的度数为90°；
(3)求得弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．
本题用到的知识点为：非直径的弦的垂直平分线经过圆心；圆锥的弧长等于底面周长．  
26.【答案】(20+2x)  (20-x) 
【解析】解：(1)由题意可知：每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒，
∴降低x元，销售量增加2x盒，
那么日销售量为(20+2x)盒，每盒口罩利润为(20-x)元，
故答案为：(20+2x)，(20-x)；
(2)设每盒售价降低x元，根据题意可知：
(20+2x)(20-x)=400，
解得：x1=0(舍去)，x2=10，
∴售价应定为70-10=60元，
答：若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款口罩，每盒售价应定为60元；
(3)设当每盒售价定为x元时，商家获得的利润为W元，
由题意可知：W=(20+2x)(20-x)
=-2x2+20x+400，
∵a=-2<0，
∴抛物线开口向下，
当x=-b2a=5时，W有最大值，即W最大值=450元，
∴售价应定为70-5=65元，
答：当每盒售价定为65元时，商家可以获得最大日利润，最大日利润为450元．
(1)利用日销售量=20+2×降低的价格，每盒口罩的利润=售价-进价，即可求出结论；
(2)根据日利润=日销售量×每盒口罩利润解答即可；
(3)根据二次函数的性质解答即可．
本题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，熟练掌握题干中的等量关系是解答本题的关键．

27.【答案】解：(1)如图1，∵PA=PC=PD，
∴∠PDC=∠PCD，
∵CD//BP，
∴∠BPA=∠PCD、∠BPD=∠PDC，
∴∠BPA=∠BPD，
∵BP=BP，
∴△BAP≌△BDP(SAS)，
∴∠BDP=∠BAP=90°．

(2)∵∠BAO=90°，BE//AO，
∴∠ABE=∠BAO=90°，
∵EF⊥AO，
∴∠EFA=90°，
∴四边形ABEF是矩形，
设BE=AF=x，则PF=x-4，
∵∠BDP=90°，
∴∠BDE=90°=∠PFE，
∵BE//AO，
∴∠BED=∠EPF，
∵△BAP≌△BDP，
∴BD=BA=EF=8，
∴△BDE≌△EFP，
∴PE=BE=x，
在Rt△PFE中，PF2+FE2=PE2，即(x-4)2+82=x2，
解得：x=10，
∴BE的长为10．

(3)如图1，当点C在AF的左侧时，
∵AF=3CF，则AC=2CF，
∴CF=AP=PC=m，
∴PF=2m，PE=BE=AF=3m，
在Rt△PEF中，由PF2+EF2=PE2可得(2m)2+82=(3m)2，
解得：m=855(负值舍去)；
如图2，当点C在AF的右侧时，

∵AF=3CF，
∴AC=4CF，
∴CF=12AP=12PC=12m，
∴PF=m-12m=12m，PE=BE=AF=m+12m=32m，
在Rt△PEF中，由PF2+EF2=PE2可得(12m)2+82=(32m)2，
解得：m=42(负值舍去)；
综上，m的值为855或42． 
【解析】(1)由PA=PC=PD知∠PDC=∠PCD，再由CD//BP知∠BPA=∠PCD、∠BPD=∠PDC，据此可得∠BPA=∠BPD，证△BAP≌△BDP即可得；
(2)易知四边形ABEF是矩形，设BE=AF=x，可得PF=x-4，证△BDE≌△EFP得PE=BE=x，在Rt△PFE中，由PF2+FE2=PE2，列方程求解可得答案；
(3)分点C在AF的左侧和右侧两种情况求解：左侧时由AF=3CF知CF=AP=PC=m、PF=2m、PE=BE=AF=3m，在Rt△PEF中，由PF2+EF2=PE2可得关于m的方程，解之可得；右侧时，由AF=3CF知CF=12AP=12PC=12m、PF=12m、PE=BE=AF=32m，利用勾股定理求解可得．
本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、全等三角形的判定和性质及勾股定理、三角形的面积等知识点．

28.【答案】= 
【解析】解：(1)如图①所示，分别过A、B两点向直线b作垂线，垂足为M、N．
∵a//b，
∴∠MAB=∠AMN=90°，
∴四边形AMNB是矩形，
∴AM=BN，
∴CD⋅AM=CD⋅BN
又S△ACD=12CD⋅AM，S△BCD=12CD⋅BN，
∴S△ACD=S△BCD；
故答案为：=；
(2)取优弧AB的中点记为C1，过C1作AB的垂线，垂足为D，由垂径定理知C1D过O且AD=BD，如图②所示．
过点C作AB的平行线a，
∵当直线a向上平移时，a距AB的距离增大，即△ABC的AB边上的高增大，
∴当a运动到最高点C时，△ABC的AB边上的高最大，
又∵AB为常数，
∴当C运动到C1时，△ABC的面积最大，
下面计算△ABC1的面积：
连接OB，
在Rt△OBD中，
∵AB=12，⊙O的直径为20，
∴BD=6，BO=10，OC1=10，
由勾股定理得：
OD=BO2-BD2=102-62=8，
∴C1D=OD+OC1=8+10=18，
∴△ABC1的面积为：12AB⋅C1D=12×12×18=108，
∴△ABC面积的最大值为108；
(3)过点C作CF//BD交AD的延长线于F，如图③-1所示，
∵CF//BD，
∴∠F=∠ADB=60°，
∵AD//CE，
∴四边形DECF是平行四边形，
∴DF=CE，FC=DE，
∵DC=CD
∴△DFC≌△CED(SSS)，
∴S△DFC=S△CED，
又由(1)的结论知S△DAC=S△DAE，
∴S四边形ADCE=S△DAE+S△CED=S△DAC+S△DFC=S△AFC，
所以只需求得S△AFC最大值即得S四边形ADCE的最大值．
以AC为边向△ABC外作等边三角形△AGC，再作等边△AGC的外接圆，过G作GJ⊥AC于J，如下图③-2所示，
∵∠F=60°，
∴点F在△AGC的外接圆上，
由第(2)问的解决知，当F运动到点G时，S△AFC最大=S△ACG；
在Rt△ABC中：
由勾股定理得AC=AB2-BC2=202-102=103，
∴AJ=12AC=53，
∴GJ=32×103=15，
∴S△ACG=12AC×GJ=12×103×15=753；
∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=20，BC=10，
∴AC=AB2-BC2=202-102=103，
∴S△ABC=12AC×BC=12×103×10=503，
∴四边形ADCE的最大面积是753+503=1253．
(1)由平行线的性质，根据同底等高的两三角形面积相等作答；
(2)AB长不变，只要AB边上的高最大，△ABC面积最大；由图知当C是优弧AB的中点时，AB边上的高最大，△ABC面积最大，求得优弧AB的中点到AB的距离就可求得△ABC最大面积；
(3)过C作CF//BD交AD的延长线于F，得∠F=∠ADB=60°，先证得四边形ADCE的面积=△ACF的面积；根据∠F=60°得点F在以AC为边向△ABC外作的等边三角形△AGC的外接圆上，受解决(2)的启发得，当F运动到点G时，△ACF的面积最大，即四边形ADCE的面积最大．最后计算出△ACF的面积即是四边形ADCE的面积最大值．
此题考查了三角形等积变形、定角对定边的三角形的面积最大值、等边三角形及其外接圆、平行四边形的判定和性质等考点，熟练掌握相关知识并能综合应用是解题关键．