2020-2021学年24.2.3 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系精品综合训练题

2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【沪科版】

专题24.5圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2020秋•鼓楼区校级月考）下列说法正确的是　　

A．相等的圆心角所对的弦相等、弧相等 

B．等弧所对的弦相等，圆心角相等 

C．过弦的中点的直径垂直于弦 

D．圆内任意一点到圆心的距离都相等

【分析】根据圆心角、弧、弦三者的关系，垂径定理，一一判断即可．

【解析】、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等、弧相等，故不符合题意．

、等弧所对的弦相等，圆心角相等，故符合题意．

、经过非直径弦的中点的直径一定垂直于该弦，故不符合题意．

、圆上的点到圆心的距离都等于半径，故不符合题意．

故选：．

2．（2020秋•金乡县期中）有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等；③圆中的角所对的弦是直径；④相等的圆心角对的弧相等．其中正确的有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据圆心角、弧、弦的相关知识进行解答．

【解析】①正确；

②能够重合的弧叫做等弧，等弧所对的弦相等；故②正确；

③圆中圆周角所对的弦是直径；故③错误；

④在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故④错误；

因此正确的结论是①②；

故选：．

3．（2019秋•天心区校级期中）下列说法正确的是　　

A．等弧所对的弦相等 

B．平分弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧 

C．相等的弦所对的圆心角相等 

D．相等的圆心角所对的弧相等

【分析】根据垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可．

【解析】、正确．本选项符合题意．

、错误．应该是平分弦（此弦非直径）的直径垂直弦并平分弦所对的弧，本选项不符合题意．

、错误，必须在同圆或等圆中，本选项不符合题意．

、错误．必须在同圆或等圆中，本选项不符合题意．

故选：．

4．（2019•东台市模拟）如图，是的弦，半径，为圆周上一点，若的度数为，则的度数为　　

A． B． C． D．

【分析】利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到，利用垂径定理得到，然后根据圆周角定理计算的度数．

【解析】的度数为，

，

半径，

，

．

故选：．

5．（2019秋•建水县期末）如图，的半径等于4，如果弦所对的圆心角等于，那么圆心到弦的距离等于　　

A．1 B． C．2 D．

【分析】由圆心角，可得是等腰三角形，又由，再利用含角的直角三角形的性质，可求得的长．

【解析】如图，圆心角，，

是等腰三角形，

，

，，

．

故选：．

6．（2020秋•新化县期末）如图，为的直径，点、是的三等分点，，则的度数为　　

A． B． C． D．

【分析】先求出，根据点、是的三等分点求出的度数是，再求出答案即可．

【解析】，

，

的度数是，

点、是的三等分点，

的度数是，

，

故选：．

7．（2020秋•郁南县期末）如图，为半圆的直径，点、为的三等分点，若，则的度数是　　

A． B． C． D．

【分析】求出，可得结论．

【解析】点、为的三等分点，

，

，

，

，

故选：．

8．（2020秋•昆明期末）如图，半径为5的中，有两条互相垂直的弦、，垂足为点，且，则的长为　　

A．3 B． C． D．

【分析】作于，于，连接，，根据垂径定理得出，，根据勾股定理求出和，证明四边形是正方形，即可解决问题．

【解析】如图，作于，于，连接，．

，，

，

，，

，

，

，

四边形是矩形，

，

四边形是正方形，

，

故选：．

9．（2019秋•吴兴区期中）如图，是的直径，点，在上，，，，则的半径为　　

A． B． C． D．

【分析】作半径，连接，作于，如图，利用等角的余角相等得到，则，利用三角形内角和可计算出，所以，从而可计算出，利用勾股定理计算出，然后根据为等腰直角三角形可得到的长．

【解析】作半径，连接，作于，如图，

，，

，

，

，

，

，

在中，，

为等腰直角三角形，

．

故选：．

10．（2019秋•台江区期中）如图，点是半圆上的一个三等分点，点为弧的中点，是直径上一动点，的半径是2，则的最小值为　　

A．2 B． C． D．

【分析】首先作关于的对称点，连接，然后根据圆周角定理、圆的对称性质和勾股定理解答．

【解析】作关于的对称点，连接，，交于，此时，

根据两点之间线段最短，的最小值为的长度，

连接，，

点是半圆上的一个三等分点，

．

弧中点，

，

，

．

的半径是2，

，

，即的最小值为．

故选：．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2021秋•广陵区月考）半径为的中，弦长为的弦所对的圆心角度数为 　　．

【分析】作于．根据垂径定理可得长，再解直角三角形可得．

【解析】如图，作，由垂径定理知，点是的中点，

，

，

，

，

，

故答案为：．

12．（2021春•射阳县校级期末）如图，点、、、在上，，则　　（填“”“ ”或“” ．

【分析】根据同圆与等圆中，圆心角、弦、弧的关系得出即可．

【解析】，

，

即，

，

故答案为：．

13．（2021•下城区一模）如图，点，点，点在上，分别连接，，．若，，则　　．

【分析】首先连接，，然后根据等弦对等圆心角得到，再根据三角形内角和得到，再由，，即可得到结果．

【解析】如图，连接，，

，

，，

，

，

，

，，

．

故答案为：．

14．（2021•青浦区二模）如图，在半径为2的中，弦与弦相交于点，如果，，那么的长为　　．

【分析】根据圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系以及勾股定理可求出、，再利用全等三角形可求出，进而利用直角三角形的边角关系求解即可．

【解析】如图，过点作，，垂足为、，连接，

则，，

在中，

，，

，

，

，

又，

，

，

，

故答案为：．

15．（2020秋•顺义区期末）如图，在中，若，则与的大小关系是：　　．（填“”，“ ”或“”

【分析】如图，连接、，根据题意知，，又由三角形三边关系得到得到：．

【解析】如图，连接、，

在中，若，

，

在中，．

．

故答案是：．

16．（2019春•西湖区校级月考）如图，是的直径，、分别是，的中点，，，则的度数　　．

【分析】根据圆心角、弧、弦的关系和含的直角三角形的性质解答．

【解析】是的直径，、分别是，的中点，

，，

，，

，

，

，

，

的度数是，

故答案为：

17．（2019•淄川区二模）如图，已知点是的直径上的一点，过点作弦，使．若的度数为，则的度数是　　．

【分析】连接、，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可．

【解析】连接、，

的度数为，

，

，

，

，

，

，

，

，

的度数是．

故答案为．

18．（2019•桂林模拟）如图，的半径为2，动点从点处沿圆周以每秒圆心角的速度逆时针匀速运动，即第1秒点位于如图所示位置，第2秒点位于点的位置，，则第2019秒点所在位置的坐标为　，　．

【分析】作于，分别求出前4秒点的坐标，总结规律，根据规律解答．

【解析】作于，

由题意得，，

，，即点的坐标为，，

则第1秒点所在位置的坐标，，

第2秒点所在位置的坐标，

第3秒点所在位置的坐标，，

第4秒点所在位置的坐标，

，

则第2019秒点所在位置的坐标为，，

故答案为：，．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2021秋•玄武区校级月考）如图，在中，、分别为半径、上的点，且．为弧上一点，连接、、，且．

求证：为的中点．

【分析】由证明，得出对应角相等，由圆心角，弧，弦的关系即可得出结论．

【解析】证明：，，

，

在和中，

，

，

，

，即为的中点．

20．（2021•秦淮区二模）如图，的弦、相交于点，且．求证．

【分析】连接，利用圆心角、弧、弦的关系、等腰三角形的判定定理解答即可．

【解析】证明：连接．

，

，即，

，

．

21．（2021•鄞州区模拟）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆，交于点，交于点，连接．

（1）若，求的度数；

（2）若，，求的长．

【分析】（1）连接，求出，再利用等腰三角形的性质解决问题即可．

（2）如图，过点作，垂足为．利用面积法求出，再利用勾股定理求出，可得结论．

【解析】（1）如图，连接．

，，

．

，

，

，

．

又，

．

（2）如图，过点作，垂足为．

，，，

．

又，

，

．

，，

．

22．（2020秋•涟水县期末）如图，、是的直径，弦，为．求的度数．

【分析】连接，由弧的度数为，得到，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出，而弦，即可得到．

【解析】连接，如图，

为，

，

，

，

，

弦，

．

23．（2019秋•海淀区期末）如图，在中，，于点，于点．

（1）求证：；

（2）若，，求四边形的面积．

【分析】（1）连接，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到，根据角平分线的性质定理证明结论；

（2）根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案．

【解析】（1）证明：连接，

，

，又，，

；

（2）解：，

，

，

，

，

，

的面积，

同理可得，的面积，

四边形的面积．

24．（2019秋•宿豫区期中）如图，的弦、的延长线相交于点．

（1）如图1，若为，为，求的度数；

（2）如图2，若，求证：．

【分析】（1）连接．根据为，为，可得到，，根据，得出；

（2）连接．由，得到，推出，所以，因此．

【解析】（1）解：连接．

为，为，

，，

；

（2）证明：连接．

，

，

，

，

．