人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用完美版课件ppt

环节一  用向量来表示空间中的点、直线和平面

【引入新课】

前面几节课，我们已经将向量从平面推广到了空间，利用空间向量解决空间中有关位置关系和度量的立体几何问题.

思考：通过体会空间向量解决立体几何问题的过程，利用空间向量解决立体几何问题的关键是什么？

【探索新知】

利用空间向量解决立体几何问题的关键是要建立空间向量与几何要素之间的对应关系。我们知道点、直线和平面是空间中的基本图形，是构成空间几何体的基本几何要素.如果我们要用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面.

问题1：如何用向量表示空间当中的一个点P?

答案：空间当中点的位置一定是相对于某一固定参照物来说的.如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示,我们把向量称为点P的位置向量.                             

问题2：如何用向量表示空间中的直线l？

答案：我们知道空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l．

a是直线l的方向向量，在直线l上取a,设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得ta ， 即．

因此可以利用点A和直线l的方向向量表示直线上的任意一点． 

追问1：取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是什么？

答案：取定空间中的任意一点O，将分解为以O为起点的向量，

          由于 ta

得到点P在直线l上的充要条件是：存在实数t，使

+ ta  ①      将a代入①式，得+ t②

①       式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知，空间任意直线由空间一点及直

线的方向向量唯一确定.

问题3：我们知道，空间中的平面可以由内两条相交直线确定，如何用向量表示空间中的平面？

答案： 设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使得xa+yb，这样，点O与向量a和b不仅可以确定平面，还可以具体表示出内的任意一点.这种表示在解决几何问题时往往起到非常重要的作用．

追问1：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是什么？

答案：不共线的三点A、B、C构成两个不共线的向量、，平面内任意一点P，存在实数x、y，使得.取定空间内任意一点O，得到 .因此空间一点P位于平面ABC内的充要条件是：存在实数x、y使x+ y③.称之为空间平面ABC的向量表示式．

追问2：如何说明空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．

答案：表示平面内的任意向量，表示以为O起点，平面内任意一点为终点的向量，所以空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．

问题4：一个定点和两个定方向，能确定一个平面，一个定点和一个定方向能否确定一个平面？

答案：给定空间中一点A和一条直线l，由立体几何知识可知过点A且垂直于直线l的平面唯一确定．

追问1：如何用向量表示这个平面？

答案：如图，直线，取直线的方向向量a，我们称向量a为平面的法向量．因此给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定.表示为集合．

追问2：如果另有一条直线，在直线m上任取向量b，b与a有什么关系？

答案：由立体几何知识知由，，得到，即a//b．

所以，存在实数t，使得t．

因此平面可也表示为集合，即平面可由一点和任意一个法向量唯一确定．

小结：

平面有两种表示方法．一种是用平面内一个定点A和这个平面内的两条相交直线的方向向量a和b，P为平面上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使x+ y.另一种是用平面内的一个定点A和平面的一个法向量将平面表示为点P的集合a ．

两种表示法的目的都是建立平面与向量的联系，用向量表示平面，为通过向量运算研究图形的性质奠定基础．两种表示方法各有特点：一个是充分运用平面向量基本定理，通过向量的线性运算表示平面；另一个是借助平面的法向量，通过向量的数量积运算表示平面．解决具体问题时，两种方法往往综合使用．

综上所述，用空间向量表示点、直线、平面时，首先要确定一个定点，然后用向量表示它们．“确定一个定点”是用空间向量表示点、直线、平面的基础．

【知识应用】

例1 如图，在长方体中，，，，是的中点．以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

（1）求平面的法向量；

（2）求平面的法向量．

分析：（1）平面与轴垂直，其法向量可以直接写出；（2）不容易找出与平面垂直的直线，平面可以看成由，，中的两个向量所确定，运用法向量与它们的垂直关系，可转化为数量积运算求得法向量．

解：（1）因为轴垂直于平面，所以是平面的一个法向量．

追问1：平面是否还有其他的法向量？

答案：与共线的向量都是平面的法向量.

（2）因为，，，是的中点，所以、的坐标分别为(3，2，0)， (0，4，0)， (3，0，2) ．因此

，．

设是平面的法向量，则

， ．

所以    

解得

取z＝3，则x＝2，y＝3．于是是平面的一个法向量．

追问2：平面的法向量是唯一的吗？

答案：不唯一，对z赋予非零的数，得到不同的法向量.可以知道：直线的方向向量有无数多个，它们互相平行，平面的法向量有无数多个，它们互相平行.

问题5：结合本题，请总结求直线的方向向量和平面的法向量的方法.

问题6：请同学们说说本节课的学习内容.

答案：本节课学习了用向量表示点，用向量表示直线，以及用向量表示平面. 

问题7：通过本节课的学习，你掌握了解决问题的哪些方法？有什么体会？

答案：学会了求直线的方向向量和平面法向量的方法，我们完成了将几何对象点、直线、平面、向量化的过程，这样就可以以向量为工具解决立体几何问题了.