精品解析：黑龙江省大庆市肇源县2021-2022学年九年级学期期中数学试题（解析版）

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2021-2022年度上学期初四数学期中检测
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A的三角函数值
A. 也扩大3倍 B. 缩小为原来的
C. 都不变 D. 有的扩大，有的缩小
【答案】C
【解析】
【详解】根据锐角三角函数的概念，可知在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，锐角A的三角函数值不变．
故选C．
2. 如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，则tanA的值为(　　)

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=15，
∴tanA=
故选D
3. 函数的图象的顶点坐标是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用顶点式的特点即可求顶点坐标．
【详解】函数的图象的顶点坐标是（1，2），
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：y＝a（x−h）2＋k（a≠0）的顶点坐标为（h，k）．
4. 点关于y轴对称的点的坐标是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点为：横坐标互为相反数，纵坐标不变进行解题即可．
【详解】解：点化简得，
∴关于y轴对称的点的坐标是；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
5. 在△ABC中,若|sinA﹣|+(﹣cosB)2=0,∠A,∠B都是锐角,则∠C度数是（）
A. 75° B. 90° C. 105° D. 120°
【答案】C
【解析】
【详解】解：由题意得：|sinA﹣|=0，（﹣cosB）2=0，
∴sinA﹣=0，﹣cosB=0，
∴sinA=， =cosB，
∴∠A=45°，∠B=30°，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=105°．
故选C．
【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握二次根式、绝对值、非负数等考点的运算．
6. 若函数是二次函数，则m的值是（）
A. 2 B. -1或3 C. -1 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的一般形式，可列出方程和不等式，计算即可．
【详解】根据题意得：
解得：m=3．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数概念，熟练掌握二次函数一般形式满足的条件是解题的关键．
7. 抛物线的部分图象如图所示，若，则x的取值范围是（）

A. B. C. 或 D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），然后结合二次函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），
∵抛物线开口向下，
∴当﹣3＜x＜1时，y＞0．
故选：B．
点睛】本题主要考查的是二次函数与不等式的关系，根据函数图象确定出抛物线与x轴两个交点的坐标是解题的关键．
8. 函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．
【详解】解：由解析式y=-kx2+k可得：抛物线对称轴x=0；
A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则-k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上，而不是交于y轴正半轴，故选项A错误；
B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则-k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故选项B正确；
C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则-k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，而不是y轴的负半轴，本图象不符合题意，故选项C错误；
D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则-k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，而不是开口向上，本图象不符合同意，故选项D错误．
故选B．
【点睛】本题考查二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求．
9. 在平面直角坐标系中，如果抛物线不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依题意，即将抛物线向下、向左平移2个单位，再根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可．
【详解】依题意，即将抛物线向下、向左平移2个单位，得到的新的解析式为：
故选C
【点睛】本题考查了抛物线的平移问题，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．
10. 已知二次函数，当时，函数值为；当时，函数值为，若，则下列表达式正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可以得到a、x1和x2的关系，从而可以判断哪个选项是正确的．
【详解】解：∵y=a（x+1）2+c（a＜0），
∴该二次函数的开口向下，对称轴是直线x=1，
又∵当x=x1时，函数值为y1；当x=x2时，函数值为y2，y1＞y2，
∴假设a=1，x1=0，x2=1或a=1，x1=0，x2=3或a=1，x1=2，x2=3，
当a=-1，x1=0，x2=1时，则A选项错、B选项正确，C选项错，D选项错误；
当a=1，x1=0，x2=-3时，则A选项错、B选项B正确，C选项错，D选项错误；
当a=1，x1=2，x2=3时，则A选项错、B选项B正确，C选项错，D选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
二．填空题（每题3分，共24分）
11. 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为________．
【答案】y=x2﹣4x+3，或y=（x﹣2）2﹣1．（答案不唯一）
【解析】
【分析】由题意得，设，此时可令，然后再由与y轴的交点坐标为(0，3)求出k的值，进而可得到二次函数的解析式．
【详解】解：设，
将(0，3)代入，
解得，
故或y=x2﹣4x+3．
故答案为：y=x2﹣4x+3或y=（x﹣2）2﹣1．（答案不唯一）
【点睛】本题考查了二次函数的图象及其性质，解题的关键是掌握二次函数的基本性质．
12. 若一个三角形三个内角度数的比为，那么这个三角形最小角的正切值为______．
【答案】
【解析】
【分析】设这三个内角分别为x，2x，3x，根据三角形的内角和为180°，列方程求出角的度数，然后根据特殊角的三角函数值求出最小角的正切值．
【详解】解：设这三个内角分别为x，2x，3x，
由题意得，x+2x+3x=180°，
解得：x=30°，
即最小角为30°，
则tan30°=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是根据三角形的内角和公式求出角的度数．
13. 若抛物线y＝x2－2x－3与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为________．
【答案】4
【解析】
【分析】与x轴交点就是令y=0求解即可
【详解】解：，
令y=0，，
解得：，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴交点问题，解题关键是熟练运用解一元二次方程求出抛物线与x轴交点坐标．
14. 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，则AB的长为_______．

【答案】3＋
【解析】
【详解】过C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°．
∵∠B＝45°，
∴∠BCD＝∠B＝45°，
∴CD＝BD．
∵∠A＝30°，，
∴，
∴．
由勾股定理得：，
∴．
故答案是：3＋

15. 将二次函数化成的形式，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用配方法，加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即可把一般式转化为顶点式．
【详解】解：，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的三种形式：一般式：，顶点式：；两根式：．正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．
16. 若点(2，5)，(4，5)是抛物线上的两个点，那么这条抛物线的对称轴是_____
【答案】x=3
【解析】
【分析】根据抛物线的对称性即可确定抛物线对称轴．
【详解】解：∵点（2，5），（4，5）是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点，且纵坐标相等．
∴根据抛物线的对称性知道抛物线对称轴是直线x==3．
故答案为：x=3．
17. 某人沿着坡度的山坡起点向上走了50米，则他离地面高______ 米．（坡度：坡面铅直高度与水平宽度的比）
【答案】25
【解析】
【分析】利用相应的坡度求得坡角，然后运用三角函数求垂直高度．
【详解】解：∵坡度，
∴坡角=30°．
∴他离地面的高度=50×sin30°=25（米）．
故答案为：25．
【点睛】此题主要考查坡度坡角及三角函数的运用，正确运用相关知识是解题的关键．
18. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：；；；若点、点、点在该函数图象上，则；若方程的两根为和，且，则其中正确的结论是______．

【答案】（1）（3）（5）
【解析】
【分析】（1）正确．根据对称轴公式计算即可．
（2）错误，利用x=-3时，y＜0，即可判断．
（3）正确．由图象可知抛物线经过（-1，0）和（5，0），列出方程组求出a、b即可判断．
（4）错误．利用函数图象即可判断．
（5）正确．利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题．
【详解】（1）正确．∵-=2，
∴4a+b=0．故正确．
（2）错误．∵x=-3时，y＜0，
∴9a-3b+c＜0，
∴9a+c＜3b，故（2）错误．
（3）正确．由图象可知抛物线经过（-1，0）和（5，0），
∴
解得，
∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a，
∵a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，故（3）正确．
（4）错误，∵点A（-3，y1）、点B（-，y2）、点C（，y3），
∵-2=，2-（-）=，
∴＜
∴点C离对称轴的距离近，
∴y3＞y2，
∵a＜0，-3＜-＜2，
∴y1＜y2
∴y1＜y2＜y3，故（4）错误．
（5）正确．∵a＜0，
∴（x+1）（x-5）=-3/a＞0，
即（x+1）（x-5）＞0，
故x＜-1或x＞5，故（5）正确．
∴正确的有三个，
故答案为：（1）（3）（5）
【点睛】本题考查二次函数与系数关系，灵活掌握二次函数的性质是解决问题的关键，学会利用图象信息解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（66分）
19. 计算：；
【答案】3
【解析】
【分析】由负整数指数幂、零指数幂、绝对值的意义、特殊角的三角函数进行化简，即可得到答案．
【详解】解：
=
=．
【点睛】本题考查了负整数指数幂、零指数幂、绝对值的意义、特殊角的三角函数，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
20. 如图，在中，，AD是BC边上的高，若，，求AC的长．

【答案】
【解析】
【分析】由题意，根据等角的余角相等得到，则，即可求出AC的长度．
【详解】解：根据题意，
∵，AD是BC边上的高，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角函数，等角的余角相等，解题的关键是掌握所学的知识，正确的得到，从而进行解题．
21. 如图的一座拱桥，当水面宽AB为12 m时，桥洞顶部离水面4 m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是，求选取点B为坐标原点时的抛物线解析式．

【答案】
【解析】
【分析】根据题意得出A点坐标，进而利用顶点式求出函数解析式即可．
【详解】解：如图：

由题意可得出：y=a（x+6）2+4，
将（12，0）代入得出，0=a（12+6）2+4，
解得：，
∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，利用顶点式求出函数解析式是解题关键．
22. 一条自西向东的观光大道ｌ上有A、B两个景点，A、B相距2km，在A处测得另一景点C位于点A的北偏东60°方向，在B处测得景点C位于景点B的北偏东45°方向，求景点C到观光大道l的距离．（答案可保留根号）

【答案】
【解析】
【分析】过点C作CD⊥l于点D，设CD=xkm．先解直角△ACD，得出AD=CD=km，再解直角△BCD，得出BD=CD=xkm，然后根据ADBD=AB，列出关于x的方程，解方程即可．
【详解】解：如图，过点C作CD⊥l于点D，设CD=xkm．

在△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，
∴AD=CD=xkm．
在△BCD中，∵∠BDC=90°，∠CBD=45°，
∴BD=CD=xkm．
∵ADBD=AB，
∴xx=2，
∴x=+1．
故景点C到观光大道l的距离约为km．
【点睛】本题考查解直角三角形知识的实际运用，难度适中，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
23. 已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点.
(1)求k值：
(2)若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标.
【答案】(1)k=-3；(2)点P的坐标为(2，－5)或(－2，－5).
【解析】
【分析】(1)根据抛物线的对称轴是y轴以及对称轴公式可得关于k的方程，解方程后再根据抛物线与x轴的交点个数即可确定答案；
(2)由点P到y轴的距离即可确定出点P的横坐标，再根据抛物线的解析式即可求得点P的纵坐标即可得答案.
【详解】(1)∵抛物线y=x2+(k2+k－6)x+3k的对称轴是y轴，
∴，
即k2+k－6=0，
解得k=－3或k=2，
当k=2时，二次函数解析式为y=x2+6，它的图象与x轴无交点，不满足题意，舍去，
当k=－3时，二次函数解析式为y=x2－9，它的图象与x轴有两个交点，满足题意，
∴k=－3；
(2)∵P到y轴的距离为2，
∴点P的横坐标为－2或2，
当x=2时，y=－5；
当x=－2时，y=－5，
∴点P的坐标为(2，－5)或(－2，－5).
【点睛】本题考查了抛物线的对称轴，抛物线与x轴的交点等知识，熟练掌握相关内容是解题的关键.
24. 现有一块直角三角形的材料，cm，cm，用它截下一个矩形，如图是截法示意图，求这种截法下矩形的最大面积是多少？

【答案】1200cm2
【解析】
【分析】由题意，先证明△AEF∽△ACB，然后设，则，求出EF的长度，再根据面积公式即可得到答案．
【详解】解：∵四边形BFED是矩形，
∴EF∥CB，
∴，
∵，
∴△AEF∽△ACB，
∴，
∵cm，cm，
设，则，
∴，
∴，
∴（），
∴当时，S有最大值；
∴这种截法下矩形的最大面积是1200 cm2．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是正确得到，从而进行解题．
25. 根据道路管理规定，在羲皇大道秦州至麦积段上行驶的车辆，限速60千米/时．已知测速站点M距羲皇大道l（直线）的距离MN为30米（如图所示）．现有一辆汽车由秦州向麦积方向匀速行驶，测得此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，∠AMN=60°，∠BMN=45°．
（1）计算AB的长度．
（2）通过计算判断此车是否超速．

【答案】（1）AB=米；
（2）不会超速．
【解析】
【分析】（1）已知米，，求的长度，可以转化为解直角三角形；
（2）求得从到的速度，然后与60千米时米秒，比较即可确定答案．
【详解】解：（1）在Rt△AMN中，，，
（米．
在Rt△BMN中，
，
（米．
米；
（2）此车从点行驶到点所用时间为6秒，
此车的速度为：（米秒），
千米时米秒，

不会超速．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中抽象出直角三角形，难度不大．
26. 已知，如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB的面积．

【答案】（1）y=﹣x2+4x+5；（2）15．
【解析】
【分析】（1）由A、C、（1，8）三点在抛物线上，根据待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）由B、C两点的坐标求得直线BC的解析式；过点M作MN∥y轴交BC轴于点N，则△MCB的面积=△MCN的面积+△MNB的面积=
【详解】（1）∵A（﹣1，0），C（0，5），（1，8）三点在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴，
解方程组，得，
故抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5；
（2）∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣5）（x+1）=﹣（x﹣2）2+9，
∴M（2，9），B（5，0），
设直线BC解析式为：y=kx+b，

解得,
则直线BC的解析式为：y=﹣x+5.
过点M作MN∥y轴交BC轴于点N，

则△MCB的面积=△MCN的面积+△MNB的面积=
当x=2时，y=﹣2+5=3，则N（2，3），
则MN=9﹣3=6，
则
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点和待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键.
27. 某商场试销一种成本为60元/件的T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于40%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元/件）符合一次函数y＝kx+b，且x＝70时，y＝50；x＝80时，y＝40；
（1）求出一次函数y＝kx+b的解析式
（2）若该商场获得利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式，销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）y＝﹣x+120；（2）当销售价定为84元/件时，商场可以获得最大利润，最大利润是864元．
【解析】
【分析】（1）可用待定系数法来确定一次函数的解析式．
（2）根据利润＝销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润．
【详解】（1）由题意得：，
∴ ．
∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+120；
（2）w＝（x﹣60）（﹣x+120）＝﹣x2+180x﹣7200＝﹣（x﹣90）2+900，
∵抛物线开口向下，
∴当x＜90时，w随x的增大而增大，
而60≤x≤84，
∴当x＝84时，w＝（84﹣60）×（120﹣84）＝864．
答：当销售价定为84元/件时，商场可以获得最大利润，最大利润是864元．
【点睛】本题考查的是一次函数的应用：
（1）问中，主要考察用待定系数法求一次函数的综合应用；
（2）问中，主要结合（1）问中一次函数的性质，求出二次函数的最值问题；
主要运用了一次函数及二次函数的性质．在本题中，还需注意的是自变量的取值范围，否则容易按照“顶点式”的做法，求出误解．

28. 二次函数图象的顶点在原点O，经过点；点在y轴上．直线与y轴交于点H．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线交于点M，试用下图，求证：FM平分；

【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意可设函数的解析式为，将点A代入函数解析式，求出a的值，继而可求得二次函数的解析式；
（2）过点P作PB⊥y轴于点B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可得PF=PM，∠PFM=∠PMF，结合平行线的性质，可得出结论；
【详解】解：（1）∵二次函数图象的顶点在原点O，
∴设二次函数的解析式为，
将点A（1，）代入得：，
∴二次函数的解析式为；
（2）证明：∵点P在抛物线上，
∴可设点P的坐标为（x，），
过点P作PB⊥y轴于点B，

则BF=，PB=|x|，
∴Rt△BPF中，PF=，
∵PM⊥直线y=-1，
∴PM=，
∴PF=PM，
∴∠PFM=∠PMF，
又∵PM∥y轴，
∴∠MFH=∠PMF，
∴∠PFM=∠MFH，
∴FM平分∠OFP；
【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、角平分线的性质及直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练基本知识，数形结合，将所学知识融会贯通．