2023届湖南省天一大联考高三上学期11月考试 数学试题 PDF版

2023届高三11份质量检测数学参考答案

选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

5.A  解析：由题可得圆台型纸杯的体积为，

小铁球的体积为，由题可得，即.

6.B  解析：依题意可知函数的对称轴方程为，在上单调递增，且，

设，则函数的对称轴方程为，在上单调递增，且，∴是偶函数，且当时，.因此函数也是偶函数，其图象关于轴对称，故可以排除选项A和D；当时，，由此排除选项C，故选B.

7.D  解析：连接OP，则，∵点P在线段CD上，∴，∴，则，故选D.

8.A  解析：构造函数，则，∴在上是减函数，故，∴.

10.ABC  解析：如图所示，将三棱锥P-ABC放到正方体模型中，根据条件容易求得正方体的棱长为2.

在旋转过程中，C点的的轨迹是以D点为圆心，DC为半径的圆的四分之一,其长度为，A正确；

由得,∴点B到平面PAC的距离为，B正确；

易得△PAC为正三角形，∴直线AP与直线PC所成角为，C正确；

建系计算所得直线AB与平面PBC所成角的正弦值为，D错误.

11.ABD  解析：∵，∴，当且仅当，即时取等号，∴成立，故A正确；

∵，∴，当且仅当时取等号，

∴，故B正确；

∵，∴，∴.

记，则，∴，∴

，即.故C错误；

，当且仅当时等号成立，故D正确.

12.BD  解析：由得，令，则

故有，可得，∴，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，即在上单调递增，故无极大值，A错误；

∵，，由得，

∴，D正确；，C错误；

∵，，∴在上单调递增，∴.∵在上单调递增  ∴ 故有， B正确.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） [

13..       14.           15.            16.

15.  解析:由，设切点为，则切线的斜率，∴切线方程为，又在切线上，，即有两个不同的解，令，则，当时，；当时， ，在上单调递增，在上单调递减，，又时，；时，，，解得，即实数的取值范围是．

16.  解析：记正四棱锥高与侧棱的夹角为,高为,底面中心到底面各顶点的距离为.

∵正四棱锥外接球的体积为,∴外接球的半径

又,,

,正四棱锥的底面积.

故该正四棱锥的体积.

令,.

,.

令,,则.

故当时, ,函数单调递增;

∴当时, , 当时, ,

∴,，∴该正四棱锥体积的取值范围是.

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17.解析：(1)由题知，依题意得，故.（4分）

（2）∵是的充分条件，∴，结合数轴可知，即.（10分）

18.解析：（1）正弦定理角化边得，再用余弦定理得

，∴，

又，∴，即，

∴.（6分）

（2）∵，∴（其中），∴，

∵三点共线，∴，∴，∴.（12分）

19.解析：（1）令，得，令，得.（2分）

（2）根据题意得，，

∴，

 ∴数列是，的等比数列，故.（7分）

（3）由（2）可得，∴数列前10项中所有奇数项的和

..（12分）

20. 解析：（1）取AD,CD的中点O,G,连接PO,FG,MG，OC,则OC=AB=2,OP=.

∵PC=,∴,∴BAPO,

又BAAD,ADPO=O,∴BA平面PAD.

∵M,G分别为CE,CD的中点，∴MG//PD,且MG不在平面PAD内，

∵PD在平面PAD内，∴MG//平面PAD.

同理，FG//平面PAD.

∵MGFG=G，∴平面FGM//平面PAD,∴BA平面FGM.

∵FM在平面FGM内，∴BAFM.（4分）

（2）由（1）可知AB⊥平面PAD,∴∠AEF即为直线EF与平面PAD所成的角.

∵,∴当AE的长最小时，∠AEF最大，此时AE⊥PD,即E为PD的中点.因此，以点O为坐标原点，以OC所在的直线为x轴，OD所在的直线为y轴，OP所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则,,.∴,

设平面ACE的法向量为,则,令得，

由题意易知平面PAD的一个法向量为,

∴,∴平面ACE与平面PAD夹角的余弦值为.（12分）

21.解析：（1）由题意得，解得.

设经过分钟，这杯茶水降温至，则，

解得（分钟），

故欲将这杯茶水温度降至，大约还需要13分钟.（5分）

（2）当该企业该型号的变频空调总产量为30千台时，获利最大，最大利润为3400万元.

设2022年该企业该型号的变频空调的利润为，

当时，

当时取最大值3400万元；

当时，

∵，当且仅当x=60时等号成立，∴当x=60时取最大值3380万元，

∵，∴当该企业该型号的变频空调总产量为30千台时，获利最大，最大利润为3400万元.（12分）

22.解析：（1）令，由题意有两个不同的零点：，

当m≤0时，上恒成立上单增，至多有一个零点，不合题意；

当m＞0时：单增；单减，要使得g（x）有两个不同零点，则

，，

取，则，

，使得，时g(x)有两个零点，符合题意.（5分）

(2），

，，

令，

则对t>1恒成立，h（t）在t>1时单增，

，

令，则，

要证

，只需证，

只需证，

又，只需证，

令，

，∴.（12分）