数学九年级下册第26章 二次函数综合与测试课后作业题

这是一份数学九年级下册第26章 二次函数综合与测试课后作业题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．抛物线y＝(x－2)2＋3的顶点坐标是 ( B )
A．(－2，3) B．(2，3)
C．(2，－3) D．(－2，－3)
2．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为
( D )
A．y＝2(x＋1)2＋8 B．y＝18(x＋1)2－8
C．y＝eq \f(2,9)(x－1)2＋8 D．y＝2(x－1)2－8
3．若二次函数y＝3x2＋x－2m的图象与x轴有两个交点，则关于x的一元二次方程3x2＋x＝2m的根的情况是 ( A )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
4.抛物线y＝2x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线的表达式为 ( C )
A．y＝2(x－3)2－2 B．y＝2(x－3)2＋2
C．y＝2(x＋3)2－2 D．y＝2(x＋3)2＋2
5．设A(－2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为 ( A )
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2
C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
6．若函数y＝(2m－8)x|m|－2是二次函数，则m的值为 ( A )
A．－4 B．4
C．4或－4 D．2
7．如图，抛物线y＝x2－2x－3与y轴交于点C，点D的坐标为(0，－1)，在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为 ( A )
A．1＋eq \r(2) B．1－eq \r(2)
C.eq \r(2)－1 D．1－eq \r(2)或1＋eq \r(2)
8．函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一直角坐标系内的图象大致是 ( C )
如图，点C是线段AB上的一点，AB＝1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是
( A )
A．当点C是AB的中点时，S最小
B．当点C是AB的中点时，S最大
C．当点C是AB的三等分点时，S最小
D．当点C是AB的三等分点时，S最大
10．如图为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，则下列说法中错误的是 ( B )
A．abc＞0
B．2a＋b＝1
C．4a＋2b＋c＜0
D．对于任意x均有ax2＋bx≥a＋b
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．二次函数y＝2x2－12x＋5关于x轴对称的图象所对应的函数化成顶点式为 y＝－2(x－3)2＋13 .
12．抛物线y＝(x－1)2＋3的对称轴是直线 x＝1 .
13．二次函数y＝x2－x－2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是 －1＜x＜2 .
14．以抛物线y＝－x2－x＋6与坐标轴的三个交点为顶点所构成的三角形的面积为15 .
15．在某次投篮中，球从出手到投中篮圈中心的运动路径是抛物线y＝－eq \f(1,5)x2＋3.5的一部分(如图)，则他与篮底的水平距离l(如图)是 4 m.
16．已知二次函数y＝x2＋2mx＋2，当x＞2时，y的值随x的增大而增大，则实数m的取值范围是 m≥－2 .
17．若二次函数y＝2(x＋1)2＋3的图象上有三个不同的点A(x1，4)，B(x1＋x2，n)，C(x2，4)，则n的值为 5 .
18．(衡阳中考)在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示，已知A点坐标为(1，1)，过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2 019的坐标为 (－1 010，1 0102) ．
三、解答题(共66分)
19．(8分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，2)且方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－3，1.求：
(1)抛物线的表达式；
(2)抛物线的顶点坐标．
解：(1)依题意，设抛物线的表达式为y＝a(x＋3)(x－1)．
把点(－1，2)坐标代入得2＝a(－1＋3)(－1－1)，
∴a＝－eq \f(1,2)， 故所求的表达式为y＝－eq \f(1,2)(x＋3)(x－1)，
即y＝－eq \f(1,2)x2－x＋eq \f(3,2).
(2)由y＝－eq \f(1,2)x2－x＋eq \f(3,2)＝－eq \f(1,2)(x＋1)2＋2，所以抛物线顶点坐标为(－1，2)．
20．(8分)已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3(m是常数)．
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
(1)证明：Δ＝(－2m)2－4×1×(m2＋3)＝－12＜0，
∴不论m为何值该函数的图象与x轴没有公共点，
(2)解：y＝x2－2mx＋m2＋3＝(x－m)2＋3，顶点坐标(m，3)
∵平移后函数的图象与x轴只有一个公共点，
∴平移后的函数图象顶点在x轴上，纵坐标为0，
∴把该函数的图象沿y轴向下平移3个单位后，得到的函数图象与x轴只有1个公共点．
21．(9分)画出二次函数y＝2x2＋8x＋6的图象．
(1)根据图象写出当y随x的增大而减小时x的范围；
(2)根据图象写出满足不等式2x2＋8x＋6＜0的x的取值范围．
解：(1)画图略．x＜－2时，y随x的增大而减小．
(2)－3＜x＜－1.
22．(9分)一个滑道由滑坡(AB段)和缓冲带(BC段)组成，如图所示，滑雪者在滑坡上滑行的距离y1(单位：m)和滑行时间t1(单位：s)满足二次函数关系，并测得相关数据：
eq \a\vs4\al()
滑雪者在缓冲带上滑行的距离y2(单位：m)和在缓冲带上滑行时间t2(单位：s)满足：y2＝52t2－2teq \\al(2,2)，滑雪者从A出发在缓冲带BC上停止，一共用了23 s，求滑坡AB的长度．
解：设y1＝ateq \\al(2,1)＋bt1，把(1，4.5)和(2，14)代入函数关系式得，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＝4.5，,4a＋2b＝14，))解得：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2.5，,b＝2.))
∴二次函数表达式为y1＝2.5teq \\al(2,1)＋2t1①；
y2＝52t2－2teq \\al(2,2)，函数在对称轴上取得最大值，即滑雪者停下，
此时，t2＝－eq \f(b,2a)＝13，
∵滑雪者在AB段用的时间为23－13＝10 s，
把t＝10代入①式，
解得y1＝270(米)．∴滑坡AB的他要270米．
23．(10分)已知：如图，抛物线y＝a(x－1)2＋c与x轴交于点A(1－eq \r(3)，0)和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P′(1，3)处．
(1)求原抛物线的表达式；
(2)学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P′作x轴的平行线交抛物线于C，D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为“W”，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远，请你计算这个“W”图案的高与宽(CD)的比到底是多少？(结果保留根号)
解：(1)y＝(x－1)2－3.
(2)令y＝(x－1)2－3＝3，得x1＝1＋eq \r(6)，
x2＝1－eq \r(6)，∴CD＝(1＋eq \r(6))－(1－eq \r(6))＝2eq \r(6)，
高为3，
∴“W”图案的高与宽(CD)之比为eq \f(3,2\r(6))＝eq \f(\r(6),4).
24．(10分)(鄂尔多斯中考)某工厂制作A，B两种手工艺品，B每天每件获利比A多105元，获利30元的A与获利240元的B数量相等．
(1)制作一件A和一件B分别获利多少元？
(2)工厂安排65人制作A，B两种手工艺品，每人每天制作2件A或1件B，现在在不增加工人的情况下，增加制作C，已知每人每天可制作1件C(每人每天只能制作一种手工艺品)，要求每天制作A，C两种手工艺品的数量相等，设每天安排x人制作B，y人制作A，写出y与x之间的函数关系式．
(3)在(1)(2)的条件下，每天制作B不少于5件，当每天制作5件时，每件获利不变，若每增加1件，则当天平均每件获利减少2元，已知C每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润W(元)的最大值及相应x的值．
解：(1)设制作一件A获利x元，则制作一件B获利(105＋x)元，由题意得eq \f(30,x)＝eq \f(240,x＋105)，解得x＝15，经检验，x＝15是原方程的根．
当x＝15时，x＋105＝120，
答：制作一件A获利15元，制作一件B获利120元．
(2)设每天安排x人制作B，y人制作A，则2y人制作C，于是有：
y＋x＋2y＝65，∴y＝－eq \f(1,3)x＋eq \f(65,3).
∴y与x之间的函数关系式为y＝－eq \f(1,3)x＋eq \f(65,3).
(3)由题意得
W＝15×2×y＋[120－2(x－5)]x＋2y×30
＝－2x2＋130x＋90y.
又∵y＝－eq \f(1,3)x＋eq \f(65,3)，
∴W＝－2x2＋130x＋90y
＝－2x2＋130x＋90(－eq \f(1,3)x＋eq \f(65,3))
＝－2x2＋100x＋1950.
∵W＝－2x2＋100x＋1950，对称轴为x＝25，而x＝25时，y的值不是整数，根据抛物线的对称性可得：
当x＝26时，W最大＝－2×262＋100×26＋1950＝3 198元．
答：每天制作三种手工艺品可获得的总利润的最大值为3 198元，相应的x的值为26，即每天需安排26人制作B.
25．(12分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－eq \f(1,4)x2＋bx＋c经过点A(－2，0)，B(8，0)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点C是抛物线与y轴的交点，连结BC，设点P是抛物线上在第一象限内的点，PD⊥BC，垂足为点D.
①是否存在点P，使线段PD的长度最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②当△PDC与△COA相似时，直接写出点P的坐标．
解：(1)y＝－eq \f(1,4)x2＋eq \f(3,2)x＋4.
(2)由(1)知C(0，4)，∵B(8，0)，
将点B，C的坐标代入一次函数表达式并解得直线BC的表达式为
y＝－eq \f(1,2)x＋4，
①过点P作PG⊥x轴于G，PG交BC于E，
在Rt△BOC中，OC＝4，OB＝8，
∴BC＝eq \r(42＋82)＝4eq \r(5)，
在Rt△PDE中，PD＝PE·sin∠PED＝PE·sin∠OCB＝eq \f(2\r(5),5)PE，
当线段PE最长时，PD的长最大，
设P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t，－\f(1,4)t2＋\f(3,2)t＋4))，则E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t，－\f(1,2)t＋4))，
PE＝PG－EG＝－eq \f(1,4)t2＋eq \f(3,2)t＋4＋eq \f(1,2)t－4＝－eq \f(1,4)(t－4)2＋4(0＜t＜8)，
当t＝4时，PE有最大值是4，此时P(4，6)，
∴PD＝eq \f(8\r(5),5).
即当PD的长度最大值为eq \f(8\r(5),5)时，点P的坐标为(4，6)．
②易得△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°∴Rt△COA∽Rt△BOC.
当Rt△PDC∽Rt△COB时，P(6，4)；
当Rt△PDC∽Rt△BOC时，P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(25,4))).
∴P点的坐标为(6，4)或 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(25,4))).滑行时间t1/s
0
1
2
3
4
滑行距离y1/m
0
4.5
14
28.5
48