苏教版高中数学必修第一册第8章章末综合提升课件+学案+测评含答案

类型1　函数的零点与方程的根的关系及应用

根据函数零点的定义，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有根，有几个根．从图形上说，函数的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数的零点、方程的根、函数的图象与x轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题．

从高考题型上看，这类题目，既有选择题，也可以出现解答题，解题时应注意通过数与形的相互结合，将三者进行相互转化．

【例1】　(1)函数f(x)＝log3 [log2(4－2x)]的零点为________．

(2)函数g(x)＝lg x与f(x)＝x2－6x＋9的图象的交点个数为________，设最右侧交点的横坐标x0，则存在n0∈N*，使x0∈(n0，n0＋1)，则n0＝________.

[思路点拨]　　(1)可通过解方程来求零点．

(2)通过图象和零点存在定理来解．

(1)1　(2)2　3　[(1)f(x)＝0时，log3[log2(4－2x)]＝0，则log2(4－2x)＝1，∴4－2x＝2，∴2x＝2，∴x＝1.

(2)在同一个坐标系中做出f(x)和g(x)的图象，如图，易知交点个数有2个，设h(x)＝g(x)－f(x)，∵h(2)＝lg 2－1<0，h(3)＝lg 3>0，h(4)＝lg 4－1<0，x0为最右侧交点，故x0∈(3,4)，∴n0＝3.

]

[跟进训练]

1．已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．

(1)求m的取值范围；

(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m的值．

[解]　(1)当m＋6＝0，即m＝－6时，函数为y＝－14x－5，显然有零点．

当m＋6≠0时，由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)

＝－36m－20≥0，得m≤－.

∴当m≤－且m≠－6时，二次函数有零点．

综上所述，m≤－.

(2)设x1，x2是函数的两个零点，则有

x1＋x2＝－，x1x2＝.

∵＋＝－4，即＝－4，

∴－＝－4，解得m＝－3.

且当m＝－3时，m＋6≠0，Δ>0符合题意，

∴m的值为－3.

类型2　函数的零点的应用

函数的零点的应用很广泛，特别是在求参数的取值范围，函数在指定区间上的零点、方程的根的分布等诸多方面，与零点有关的参数的取值范围问题综合性比较强，一般思路就是通过分离参数简化问题求解，即先分离参数，也可以转化为相关的函数图象的交点的个数问题，通过数形结合，求出参数的取值范围．该类问题属中档题，常与其他问题交汇命题．

【例2】　若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，求实数a的取值范围．

[解]　因为函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，

所以方程4x－2x－a＝0在[－1,1]上有解，即方程a＝4x－2x在[－1,1]上有解．

方程a＝4x－2x可变形为a＝2－，

因为x∈[－1,1]，所以2x∈，所以2－∈.

所以实数a的取值范围是.

[跟进训练]

2．已知函数f(x)＝－x2－2x, g(x)＝

(1)求g(f(1))的值；

(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．

[解]　(1)g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2.

(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)上有2个不同的解，

则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t<1)的图象，如图，由图象可知，当1≤a<时，函数y＝g(t)(t<1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是.

类型3　构建函数模型解决实际问题

数学建模是学生必备的学科素养之一，主要培养和提升建模能力和实际应用能力，将是以后高考的重要内容，利用建模解决实际问题的主要步骤为．

(1)建模：抽象出实际问题的数学模型．

(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解．

(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．

即：

(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．

(2)利用模型f(x)＝ax＋求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．

【例3】　小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)．在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．

(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)

(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

[解]　(1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，

依题意得，当0<x<8时，

L(x)＝5x－－3＝－x2＋4x－3；

当x≥8时，L(x)＝5x－－3＝35－.

所以L(x)＝

(2)当0<x<8时，L(x)＝－(x－6)2＋9.

此时，当x＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9万元．

当x≥8时，L(x)＝35－≤35－2 ＝35－20＝15，当且仅当x＝时等号成立，

即x＝10时，L(x)取得最大值15万元．

因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．

[跟进训练]

3．某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x(单位：万元)在8万元以下，没有奖金；

②年销售额x(单位：万元)，x∈[8,64]时，奖金为y万元，且y＝logax，y∈[3,6]，且年销售额越大，奖金越多；

③年销售额超过64万元，按年销售额的10%发奖金．

(1)求奖金y关于x的函数解析式；

(2)若某营销人员争取奖金y∈[4,10](单位：万元)，则年销售额x(单位：万元)在什么范围内？

[解]　(1)依题意，y＝logax在x∈[8,64]上为增函数，所以

解得a＝2，所以y＝

(2)易知x≥8，当8≤x≤64时，要使y∈[4,10]，则4≤log2x≤10，解得16≤x≤1 024，所以16≤x≤64；当x>64时，要使y∈[4,10]，则40≤x≤100，所以64<x≤100.

综上所述，当年销售额x∈[16,100](单位：万元)时，奖金y∈[4,10](单位：万元)．

(2020·北京高考)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，用－的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．

给出下列四个结论：

①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；

④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强．

其中所有正确结论的序号是________．

①②③　[由题图可知甲企业的污水排放量在t1时刻高于乙企业，而在t2时刻甲、乙两企业的污水排放量相同，故在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；由题图知在t2时刻，甲企业对应的关系图象斜率的绝对值大于乙企业的，故②正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，③正确；甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力明显低于[t1，t2]时的，故④错误．]