高中数学苏教版 (2019)必修 第二册第14章 统计14.2 抽样背景图课件ppt

14.2.2　分层抽样

知识点　分层抽样

(1)分层抽样的概念

当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分，然后按各部分在总体中所占的比实施抽样，这样的抽样方法叫作分层抽样，所分成的各个部分称为层．

分层抽样的总体具有什么特性？

[提示]　分层抽样的总体按一个或多个变量划分成若干个子总体，并且每一个个体属于且仅属于一个子总体．

(2)分层抽样的步骤

①将总体按一定标准分层；

②计算各层的个体数与总体的个体数的比；

③按各层的个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；

④在每一层进行抽样(可用简单随机抽样)．

1．某林场有树苗30 000棵，其中松树苗4 000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为(　　)

A．30　　　B．25　　　C．20　　　D．15

C　[样本中松树苗为4 000×＝4 000×＝20(棵)．]

2．某学院的A，B，C三个专业共有1 200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取________名学生．

40　[C专业的学生有1 200－380－420＝400(名)，由分层抽样原理，应抽取120×＝40(名)．]

类型1　对分层抽样概念的理解

【例1】　(1)某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般工作人员70人，后勤人员20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列方法最合适的是(　　)

A．抽签法   B．随机数法

C．简单随机抽样   D．分层抽样

(2)分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行(　　)

A．每层等可能抽样

B．每层可以不等可能抽样

C．所有层按同一抽样比等可能抽样

D．所有层抽取的个体数量相同

(1)D　(2)C　[(1)总体由差异明显的三部分构成，应选用分层抽样．

(2)保证每个个体等可能的被抽取是三种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取．]

1．使用分层抽样的前提

分层抽样的总体按一个或多个变量划分成若干个子总体，并且每一个个体属于且仅属于一个子总体，而层内个体间差异较小．

2．使用分层抽样应遵循的原则

(1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；

(2)分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比．

[跟进训练]

1．下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是(　　)

A．从10名同学中抽取3人参加座谈会

B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本

C．从1 000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间

D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量

B　[A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无差异且个数较多，不适合用分层抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层抽样．]

类型2　分层抽样的应用

【例2】　某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人．教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层抽样的方法抽取，写出抽样过程．

分层抽样中各层的样本容量如何确定？

[解]　第一步，确定抽样比，样本容量与总体容量的比为＝．

第二步，确定分别从三类人员中抽取的人数，从行政人员中抽取16×＝2(人)；从教师中抽取112×＝14(人)；从后勤人员中抽取32×＝4(人)．

第三步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师人员14人，后勤人员4人．

第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本．

分层抽样的步骤

[跟进训练]

2．某一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程．

[解]　因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层抽样的方法．

具体过程如下：

第一步，将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层．

第二步，按照样本容量的比例求得各乡镇应抽取的人数分别为60人，40人，100人，40人，60人．

第三步，按照各层抽取的人数随机抽取各乡镇应抽取的样本．

第四步，将300人合到一起，即得到一个样本．

类型3　分层抽样中的计算问题

【例3】　(1)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为(　　)

A．101  B．808  C．1 212  D．2 012

(2)将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为5∶3∶2．若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取________个个体．

(3)分层抽样中，总体共分为2层，第1层的样本量为20，样本平均数为3，第2层的样本量为30，样本平均数为8，则该样本的平均数为____________．

(1)B　(2)20　(3)6　[(1)因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12人，

所以四个社区抽取驾驶员的比例为＝，

所以驾驶员的总人数为(12＋21＋25＋43)÷＝808(人)．

(2)∵A，B，C三层个体数之比为5∶3∶2，又有总体中每个个体被抽到的概率相等，∴分层抽样应从C中抽取100×＝20(个)个体．

(3)＝×3＋×8＝6．]

进行分层抽样的相关计算时，常用到的2个关系

1＝；

2总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.

[跟进训练]

3．某教育机构为了了解我省广大师生对新高考改革的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如表，在全体师生中随机抽取1名“赞成改革”的人是学生的可能性为0.3，且z＝2y，现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的学生人数为________．

4　[依题意得＝0.3，解得x＝150，所以y＋z＝500－120－150－40－130＝60．由解得

所以应抽取“不赞成改革”的学生人数为×40＝4．]

1．某校初一有500名学生，为了培养学生良好的阅读习惯，学校要求他们从四大名著中选一本阅读，其中有200人选《三国演义》，125人选《水浒传》，125人选《西游记》，50人选《红楼梦》，若采用分层抽样的方法随机抽取40名学生分享他们的读后感，则选《西游记》的学生抽取的人数为(　　)

A．5  B．10  C．12  D．15

B　[根据分层抽样的定义可得选《西游记》的学生抽取的人数为×125＝10，故选B．]

2．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生的课业负担情况，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是(　　)

A．抽签法   B．简单随机抽样

C．分层抽样   D．随机数法

C　[根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样．]

3．甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生(　　)

A．30人，30人，30人   B．30人，45人，15人

C．20人，30人，40人   D．30人，50人，10人

B　[先求抽样比＝＝，再各层按抽样比分别抽取，甲校抽取3 600×＝30(人)，乙校抽取5 400×＝45(人)，丙校抽取1 800×＝15(人)，故选B．]

4．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为(　　)

A．280  B．320  C．400  D．1 000

C　[依题意，分层抽样抽取的该单位青年职员人数为×200＝80，因为分层抽样每个个体被抽到的可能性相等，所以该单位的青年职员共有＝400人．故选C．]

5．某大学为了了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．

60　[根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为×300＝60．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．简单随机抽样和分层抽样有什么区别和联系？

[提示]　区别：简单随机抽样是从总体中逐个抽取样本；分层抽样则首先将总体分成几层，在各层中按比例分配抽取样本．

联系：(1)抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等；

(2)每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样．

2．在分层抽样中，N为总体容量，n为样本容量，如何确定各层的个体数？

[提示]　每层抽取的个体的个数为ni＝Ni×，其中Ni为第i(i＝1,2，…，k)层的个体数， 为抽样比．

3．在分层抽样中，总体容量、样本容量、各层的个体数、各层抽取的样本数这四者之间有何关系？

[提示]　设总体容量为N，样本容量为n，第i(i＝1,2，…，k)层的个体数为Ni，各层抽取的样本数为ni，则＝，这四者中，已知其中三个可以求出另外一个．